ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE
5i 1. — (iÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
317. Équations différentielles. — Supposons qu'une fonclian inconnue y dune variable indépendante x soit assujettie à satisfaire à une équation
où figurent, en môme temps que x et y, certaines dérivées de y par rapport à x. Cette équation s'appellera une équation différentielle; toute fonction qui y satisfait s'appellera une solution, ou une intégrale, de l'équation; la courbe y = f{x) qui représente une solution, s'appellera une courbe intégrale. Trouver toutes les intégrales d'une équation diflférentielle donnée, s'appellera intégrer cette équation.
Si -pf, 6st la dérivée de l'ordre le plus élevé figurant dans une
équation différentielle, cette équation est dite d'ordre n.
Exemples. — 1" Le chapitre précédent a été consacré à l'intégration des équations différentielles du premier ordre du type le plus simple :
La solution la plus générale est donnée par une formule de la forme
où c est une constante arbitraire, et où ^(x)= j f\x)dx.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
2° Soit à trouver les courbes dont la sous-normale est constante.
L'équation générale de la normale
étant (X — x)dx -(- (Y — y)dy = 0, ou ea
dv tire, pour \ = 0,X — x = y^. Donc,
dy
jn a, pour la sous-normale, UN = y-p»
Les courbes cherchées sont donc les courbes intégrales de l'équation dilTé-
dy
renliellc :
si on se donne la valeur constante p de la sous-normale. En écrivant cette équation
ydy = pdx,
ou p'eut intégrer les deux membres (n" 128, Remarque 2) i'*, ce qui donne :
■^ = px + c,
OU, en posant c = — pxo, Xq étant la constante arbitraire définitive,
[2] y'- = 2p{x-Xo).
Si on porte l'origine au point Oi, d'abscisse Xq, l'équation deviendra y- = 2px,. Donc la famille des courbes cherchées, pour une valeur p de la sous-normale, se déduit de la parabole j* = 2px, en la faisant glisser de manière que son axe reste appliqué sur Ox.
3° Courbes dont la normale est constante. Dans la figure précédente, on a
dy\
MN
^ = MU^ + U.V = y^ + (yg)-
L'équation différentielle des courbes cherchées, si on se donne la longueur R de la normale, est donc
ou
En l'écrivant
ydy = slR^ — y^.dx.
\\r--y'on peut, comme dans l'exemple précédent, intégrer les deux membres, ce qui donne :
ou enfin
On trouve, comme on pouvait s'y attendre, les cercles de rayon R, centrés sur Ox. 4* Les fonctions y = c^ cosx -}- c^sinx, ayant pour dérivées
dy
-i^=z — c, sin j" -h c, cosa:, dx '
satisfont à l'équation différentielle du second ordre
(I) Voir le n° 323, pour une justification détaillée de cette intégration des deux membres.
• ÉQUATIONS DIFFÉKKNTIELLES 37
quelles que soient les valeurs des conslunles c,, c^. On démontre que ce sont les seules intégrales de cette équation.
Intégrale générale. — Conditions initiales.
En général, Vintégration complète d'une équation différentielle d'ordre n est donnée par une formule où figurent n constantes arbitraires c„ Cj, . . ., c„; soit sous forme explicite
(2) y = '^{^, ("il ^s, •••. c„), soit sous forme implicite
d'^v Pour préciser davantage, il faut supposer l'équation résolue en ^,
^^1 dx" — 'V^y^dx' • • • ' dx"-'J
On démontre alors qu'i7 existe une intégrale et une seule satisfaisant à des conditions initiales données; en entendant par là que, pour une valeur particulière x = XQde la variable, l'intégrale y et ses dérivées successives jusqu'à l'ordre (n — 1) doivent prendre des valeurs initiales données :
^'■'^ ^^•/«' rfl^^»' di'^y^' •■•' 5^1 = ^" ' (pourx = a'„).
Comme la valeur x^ peut être choisie la même pour les diverses intégrales, cela prouve bien que l'intégrale la plus générale dépend des n constantes arbitraires y^, yé, y"n ■ - •■> î/»"^''-
Cela posé, on dira qu'une formule (2) ou (3), renfermant n constantes arbitraires Cj, c.„ ..., c,i, est Vintégrale générale de l'équation (l) ou (-4) donnée, si elle définit, quelles que soient les valeurs de ces constantes, une solution de cette équation, et si on peut disposer de ces constantes de manière à satisfaire à des conditions initiales (5) données.
Ce calcul des constantes se fera en associant à l'équation (2) ou (3) ses n — 1 premières dérivées, et en donnant ensuite à
dy rf"-\v
^' î/' rfo;' "■' rfor"-^'
dans le système d'équations ainsi obtenu, les valeurs (5).
Opérons, par exemple, sur l'équation (3), et désignons, pour abréger l'écriture,. les dérivées par des accents.
En différentiant une première fois, on obtient, en vertu du théorème des fonctions composées (n° 176),
qui est de la forme ^^{x, y, y'\ c^ c^, . . . , c„) = 0.
38 KQIATIONS DIFFERENTIELLES
Eo opérant de mémo sur cette équation, on obtient
qui est do la forme ']\{j\ y. y\ y"; o,, c.,. . . ., '■„) = 0; et ainsi de suite, chaque opération introduisant une nouvelle dérivée,
On obtiendra ainsi un système d'équations :
«I»,.,(ar,i/,y', ...,y("-';r„ ...,,-„) = 0.
Et, en y remplarant j\ y, y\ ..., y'"''' par les valeurs arbitraires ^0' î/o' î/ô. •••! î/u""' •, elles devront pouvoir se résoudre par rapport aux inconnues <•,, t%, . . . , c„.
Comme il y a ?j inconnues et n équations, ce sera, en général, possible; de sorte qu'on dit souvent que l'intégrale générale d'une équation dilTérenlielle d'ordre n est une intégrale qui dépend de n constantes arbitraires.
La possibilité de cette résolution pourra se discuter, du reste, sur les équations (6), car le fait de remplacer x, y, . . . , qui sont des indéterminées, par des valeurs arbitraires x^, y^, . . . , ne peut modifier la résolution de ces équations en Cj, . .., c^.
Exemple. — Pour l'équation -r^, -)- y ^0, il est facile de vérifier
que î/ = c, cosa^H- c, sinj7 est,, au sens que nous venons de préciser, l'intégrale générale de cette équation. Car les équations (6) sont ici
y r= c, cosar-i- c.,sinx, ;/'=: — c^ sinx-h c.^cosx; et on en tire
c, = î/co.5T — y' sinx, c^^ ;/ sinx + i/'cos.c.
318. Formation des équations différentielles par élimination des constantes. — Sous forme abrégée, nous pouvons conclure de ce qui précède que l'ensemble des courbes intégrales d'une équation difîérentielle d'ordre n est une famille de courbes qui dépend de n paramètres arbitraires.
Réciproquement, une telle famille de courbes satisfait à une équation différentielle dont elle est l'intégrale générale.
Reprenons, en effet, pour représenter ces courbes, l'équation (3), I'(aî, y; Cj, ...,c„)=0; et formons parle calcul ci-dessus, le système des équations (6) qui sont vérifiées par chacune des courbes considérées. En différentiant encore la dernière, nous obtiendrons
K QUATIONS UIFFKRENTIELLES
En résolvant alors le système ((>) par rapport à c,, . . ., r„, ot portant dans cette équation (7), on obtiendra l'équation dilVérentielle annoncée.
licmarquf. — Nous avons supposé iiiiplicilement que le système (G) pouvait se résoudre en c,, ..., cn. Dans le cas contraire, l'élimination des cotistantes serait possible déjà entre Jes é<juations (6), et donnerail une éiiualion dilTérenlielle d'ordre inférieur à n, à huiuelle satisferaient toutes les courbes (3). Mais, comme l'intégrale générale de cette équation dépendrait alors de moins de n conslaules, la famille des courbes considérées pourrait se représenter par une équation où flgureraieftt moins de n constantes arbitraires; ou, comme l'on dit, les n paramètres Ci, .... d ne seraient pas tous essentiels pour la représentation des courbes données.
Exemples. — 1° Equation différentielle des paraboles (homofocalcs), qui ont pour foyer l'origine des coordonnées et pour axe l'axe des X.
La directrice ayant pour équation x = — p, où //, pouvant être ici positif ou négatif, a pour valeur absolue le paramétre, l'équation de l'une des paraboles considérées est Mil = MO, ou j HÂÎ 1 = OM. Donc \x — (—p)\ = \x-^-{-yi, on {x + p)2 = x^ -\- y^, ou enfin
[1] y'-—2px-p'- = 0.
En dillérenliant on obtient :
[2] yy- - p = 0.
Pour éliminer p entre [1] et [2], il suffit de tirer '
p = yy' de [2], cl de porter cette valeui*dans [1]. Après division par j il reste l'équation différentielle cherchée :
[3] y — 2xy' — yy'-^ = 0.
2° Équation différentielle des cercles. — L'équation d'un cercle quelconciue est (x — a)- + (y — b)^ — R2 = 0, (a, 6) étant les coordonnées du centre, et R le rayon. Elle s'écrit donc
[1] x^+yi~2ax—2by-\-c = 0, (c = a^ + 6^ R2).
Il y a ici trois constantes a, h, c, à éliminer; il faudra donc différentier trois fois. On obtient, en différentiant deux fois, les équations
•r + yy' — a — by' — 0, 1 -f y'-i + yy" — by" — 0.
La dernière ne contenant plus ([ue la constante b, on éliminera cette constante, en écrivant
et en différentiant à nouveau; ce qui donne :
ou, après simplifications,
y"'([+y-'-)-iyy"-^ = 0.
On remarquera que cette équation exprime que le rayon de courbure est constant,
car le carré du rayon de courbure est (n" 237) 77^ — ; et, pour exprimer qu'il est
constant, on égalera à zéro la dérivée, ou, plus simplement, le numérateur de cette dérivée. Cela donne
3 (1 + ^'2)2 . 2yy" . y"'^ - ( 1 + y'2)3 . 2y"y"' = 0.
40 KQIATIONS niFFÉREiNTIELLES
Le facteur 2(! + y'*)- n'est pas nul, et le facteur y" ne s'annule que pour les droites, puisque y" = 0 sii^nilie que y est un binôme de premier degré [n" 127, théorème 2]. On peut donc supprimer ces facteurs, ce qui donne bien l'équation 12].
