GÉNÉRALITÉS SUR L'ÉQUATION DU PREMIER ORDRE

319. Courbes intégrales. — L'inlégrale générale d'une équation dilTérentit'lle du premier ordre,

est, d'après les généralités précédentes, de la forme

c étant une constante arbitraire. Chaque intégrale particulière j/ est définie par la condition de prendre, pour x^x^, une valeur donnée y^: ce qui donne, pour déterminer o, la condition <I'(Xg, j/^,; f)=0.

.\u point de vue géométrique, cela revient à assujettir la courbe intégrale correspondante à passer par un point du plan, {x^, r/oK arbitrairement donné.

Si l'équation est du premier degré en -J^ , c'est-à-dire de la forme

cette condition initiale définit sans ambiguïté l'intégrale : il y a une courbe intégrale et une seule paxsant par un point donné. Certains points singuliers pourraient seulement faire exception.

Si l'équation (1) n'est pas du premier degré, (en -r^j, il y aura

autant de courbes intégrales passant par un point du plan que de fonctions, implicites y' = f{x, y) définies par F{x, y, y') = 0. Si, par

exemple, l'équation (1) est du second degré en -r-, elle se décompose

en deux équations de la forme (3), et il y a deux courbes intégrales passant par chaque point du plan.

Ainsi, dani l'exemple 2°, du numéro 317, il v a une parabole et une seule, passant par chaque point du plan, et de sous-normale p, pourvu (|ue cette sous-normale soit, comme nous l'avons admis, en écrivant LN=p, donnée en grandeur et en signe. Dans l'e.xemple 3", il y a deux cercles [2], de normale R donuée (en valeur absolue), qui passent par un point donné, dont l'ordonnée y^ est comprise entre — R et -f R. [c = -r,) ± y/R- — yj] ; il n'y en a ([u'un si y^ = ± R, [c = x^] ; il n'y ea a point si I Joi > R.

ÉQUATIONS DIFFKnENTIELLES

Interprétation géométrique de l'équation différentielle. nous, pour simplitier, à l'équalion résolue (3).

Bornons-

Pour vérilier si une courbe (C) est une courbe intégrale, on devrait, pour chacun de ses points M, de coordonnées {x, y), vérifier si le

coefficient angulaire -p de la tangente MT est bien égal à f{x, y).

En d'autres termes, se donner l'équation diiïérenlielle (3) équivaut ù se donner, en chaque point M, {x, y), du plan, une droite passant par ce point : la droite MT qui a pour coefficient angulaire m = f(x, y).

Et dire quune courbe (C) est une courbe intégrale, c'est dire qu'en chacun de ses points, elle, a pour tangente la droite associée à ce point.

Remarque I. — Supposons qu'on ait affaire à une équation différentielle non résolue (1); et pour fixer les idées, supposons-la du

second degré en -^- . Elle fera correspondre à chaque point deux directions MT,, MT5, et les courbes intégrales passant en M devront être tangentes à l'une ou à l'autre.

Ainsi, dans l'exemple 1° du numéro 318, les racines de l'équation [3], en y', qui'sont les coefficients angulaires des deux tangentes, ont pour produit — 1 : ces tangentes sont donc rectangulaires. On peut, dès lors, en conclure que, par un point du plan, passent deux paraboles homofocales de la famille, et qu'elles s'y coupent à angle droit.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Renuirque 2. — Appelons élémml linéaire le syslcme formé par un point M et un petit segment AB, do milieu M, pris sur une droite MT passant par ce point. Nous dirons que les éU'ments lincttires d\inc courbe sont ceux (jui sont formés par ses points, et des petits segments, ayant ces points pour centres, et tangents en ces points; car, dans le voisinage de l'un do ces points, la courbe se confond ap|»ro.\imativement avec sa tangente en ce poii<t, de sorte (|u'on est conduit à considérer les éléments infinitésimaux de la courbe comme confondus avec les éléments indnilésimaux de aes tangentes. En réalité cependant; ce que nous appelons ainsi éiéiMciits linéaires de la courbe ne sont que des éléments tangents.

L*é(iuation dilTérentieilo (3) associe à cliaquo point un élément linéaire déterminé, celui qui se compose de ce point et dun petit segment de la droite de coefficient angulaire m =J(x, y), passant par ce point. Ces éléments linéaires peuvent s'appeler les éléments intégraux de Téciuaticn dilferentielle.

Avec cette terminologie une courbe intégrale est unç courbe dont les éléments linéaires sont des éléments intégraux.

Intégrer ré(]uation différentielle, cest associer ses éléments linéaires de manière à en constituer des liles, qui appartiennent à une même courbe : les courbes ainsi obtenues seront les courbes intégrales.

Tout ceci s'ap|ili(iue à une équation (I), non résolue, mais clia<iue ])oint sert de support à plusieurs éléments intégraux.

Lignes de forces. — Un exemple de cette interprétation est fourni par les lignes de forces d'un champ plan.

A chaque point M du plan, de coordonnées (a?, y), se trouve associé

le vecteur F, de composantes \{x, y), Y{x, ij), qui déhnit le champ en ce point; c'est-à-dire la force qui s'exercerait sur r-unité de masse, supposée placée en ce point.

Les lignes de forces du champ sont celles qui, en chacun de leurs points M, sont tangentes au vecteur F, associé à ce point.

Ce sont donc les intégrales de l'équation dilTérentielle, du premier ordre et du premier degré

dy y{x,y) ^„ dx dy .

dx-\(x,yy °^ \{x,y) \{x,yy

Inversement, toute équation différentielle du premier ordre et du premier degré (3) peut être considérée comme l'équation différentielle des lignes de forces d'un champ plan: et cela d'une infinité de

manières, puisque seul le rapport des composantes j^^/{x,xj) est

donné par l'équation différentielle : on peut choisir arbitrairement la composante X, et en déduire Y = /'(x, y)X.

l.ni ATID.NS 1)11 TKKKNTIKI.LKS -tJ

320. Intégration graphique. — Kn ulilisaul la propriété précédente, on peut tracer des contours polygonaux qui donnent une forme approximative des courbes intégrales : l'approximation sera dautant plus grande que les cMés seront plus petits.

Clierchons la courix' intff,^rale de l'équation

qui passe en un point M^, de coordonnées [Xq, y^). Supposons par exemple qu'on cherche à la tracer à partir de ce point, dans le sens des x croissants.

On mènerala droite, de coefficient angulaire /(Xq, ijf,) = /J,, passant par

Mp, et on conservera sur celte droite, à partir de M,, et dans le sens des X croissants, un petit segment M^M,, qu'on prendra pour représenter la courbe intégrale dans le A'oisinage de M^. Soient {x^, yj les coordonnées de Mj. On tracera, de même, la droite passant "par M,, et ayant pour coefficient angulaire f{x^,y^)=zf^\ et on en prendra, pour continuer le tracé, un petit segment M^M^, dans le sens des x croissants. On opérera de même à partir de Mji et ainsi de suite.

Le conlonr polygonal ainsi obtenu satisfait à Téquation diflërentielle, en chacun de ses sommets, dans la direction des x croissants.

Calcul approché d'une intégrale. — On peut présenter les choses un peu ditréremment, en se donnant l'abscisse x d'un point quelconque

de la courbe intégrale cherchée, et en cherchant l'ordonnée y correspondante.

44 EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Entre a„ el x inlercalons les valeurs

1' t' • • • » •"'II— 1?

arbitrairement choisies; et limitons les côtés successifs de la ligne brisée (construite comme on vient de l'expliquer), aux parallèles à Oi/, qui correspondent à ces abscisses. Nous aurons une ligne brisée de n côtés. Calculons les ordonnées »/,, i/^, ..., ?/„ des sommets successifs.

L'équation de M^M,, dont le coefficient angulaire est f{Xg, j/^), est

Elle donne, pour x = x^, l'ordonnée y = »/, de M, ; qui est donc :

yi = !/o-^(-ri — j^d)/K>!/o);

et on aura de même, de proche en proche,

La dernière de ces équations donne la valeur cherchée y„.

On démontre que si on augmenle indéfiniment le nombre des valeurs intercalaires x^, x^, ..., Xn-i, de manière que le plus grand des intervalles x^ — Xq\, \x^ — 'x^\, ..., \x — x„i\ tende vers zéro, yn tend vers une limite y ''.

Comme la valeur x est arbitraire, cette limite y est une fonction de x. On démontre que c'est une intégrale de l'équation différentielle. Cela fait, on a prouvé qu'il y a bien une fonction y de x, qui satisfait à l'équation difTérentielle donnée, et qui prend, pour x = x^, la valeur arbitrairement fixée, y,,.

Au point de vue géométrique, cela signifie que le point M„, tend, dans les conditions spécifiées, vers une position limite M, qui est le point où la courbe intégrale passant en M^ vient couper la parallèle à Oy, d'abscisse x.

321. Méthode des isoclines. — On obtient de meilleurs résultats, au point de vue graphique, en utilisant la remarque suivante.

Considérons la courbe définie par l'équation

où f{x, y) est le second membre de l'équation différentielle (3) donnée,

(1) Conformément aux acceptions, précisées au début du 'Cours d^analyse, du mol limite, il faut entendre par là, que, si on désigne par 5 l'étendue du plus prand de& intervalles considérés, à tout nombre positif e correspond un nombre positif r, tel que l'inégalité i o j < t, entraîne l'int-galité \ y — y» K £•

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES

el m une constante. Par chaque point M de cette courbe (K) passe une courbe intégrale (C), dont la tangente a pour coefficient angulaire

Mais, puisque le point M appartient à (K), dont l'équation est (4), ce coefficient angulaire est égal à m. Il est donc le même tout le long de la courbe (K).

En d'autres termes, à leur reixcontre avec (K), toutes les courbes intégrales ont la même pente, qui est la valeur de m, correspondant, dans l'équation (4), à celte courbe (K).

Les diverses courbes (K), qui correspondent aux diverses valeurs de m, portent, pour cette raison, le nom d'isoclines (égale inclinaison). Il en passe une et une seule par chaque point x = x„, y =: yj, ; car si on exprime que la courbe (4) passe en ce point, on obtient la valeur de m. m=.f{x^, t/J.

Voici, dès lors, comment on opérera pour tracer rapidement autant de courbes intégrales que l'on voudra.

On commencera par tracer un certain nombre d'isoclines, régulièrement espacées, qu'on numérotera 1, 2, 3, .... Si on porte sur Oy, en

ordonnées, les valeurs de m correspondantes : m^=: Ob\, m.^z= OF.,, . . ; et si on joint les points F^, Fg, ..., au point P dabscisse — 1, les

46 EQIATIONS niFFEUENTIELLES

droites PKp IM\„ . . ., donnent la direction des tangentes aux courbes intégrales, à leur intersection avec chacune des isoclines*".

Cela posé. partiMis d'un ]ioint Mq tle Tisocline 1; on tracera M„M, parallèle à Pl\. et on l'arrêtera en M, vers le milieu de la Ijaiide comprise entre les isoclines 1 et 2. Par ce point M,, on mènera une parallèle MjM^ à PF.„ et on l'arrêtera en M^ vers le milieu de la handt^ comprise entre les isoclines 2 et 3. On opérera à partir de M^ comme on a opéré à partir de M,; et ainsi de suite.

Le contour M^,M,^^,M:, • • • ainsi obtenu coupe Tisocline 1 en M^, l'isocline 2 en A.,, risocline 3 en A3, etc. On tracera une courbe qui soit tangente en iVI^^à M^iVli; en A^-ii M.Mî, en A3 à M.Mj, etc. Cette courbe satisfait k. l'équation différentielle à son intersection avec chacune des isoclines. C'est, par suite, une forme approchée de la courbe intégrale issue du point M^.

322. Emploi de la série de Taylor. — Désignons par ?/„, j/û, y'„', . . . , les valeurs d'une fonction y de x, et de ses dérivées successives, pour x^=x^\ la formule de Taylor, [n° 123], s'écrira :

ii-i

y = yo-^—i j/u-^ — o~^" ^ •••"'" 1.2 .. : (ji — i)'^" "^ "'

T„ désignant le terme complémentaire de la formule. On a vu au numéro 132 que si T„ tend vers zéro pour n infini, on peut écrire le développement en série, dit série de Taylor,

qui représente la fonction dans le voisinage de la valeur x = x^, de môme que la série de Mac-Laurin représente une fonction dans le voisinage de a" ^0.

Ceci rappelé, si on admet, ce que l'on peut démontrer "-', que toute intégrale de l'équation différentielle (8)

peut, dans le voisinage de la valeuf inTtiale cr„, se représenter par une série de Taylor (3), il sera facile de calculer autant de termes de cette

(1) Pour cette partie de la cotislrucliun, on peut se servir d'un nxo iiuelconiiue 0,ji parallèle à Oy, à condition de prendre 07P = — 1. Cela permettra, le cas échéant, de dégager la partie du dessin où on doit tracer les courbes intégrales.

(2) Cela suppose (|ue |)our x = x^y, y = y», valeurs initiales' données, /(x, y) ne présente pas de singularité. On ne peut préciser davantage cette restriction, sans sortir du cadre de ce Cours.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTlIiLLES 47

série que l'on voudra; et du oMiiMulra ainsi une représentation approchée des intégrales.

En eflet, l'équation (3) donne déjà, pour x = x^, puisque ?/ doit prendre la valeur </„, la valeur de ?/„.

Pour calculer y'^, on commencera par différentier (."{). ce qui donne, d'après le théorème des fonctions composées,

(6) ,f = lL-^y'^I = f^[x,y,y').

Mais pour x = .r^, on sait que .v = i/„ y =!ji On conclut donc de (6), pour X = .r^, la valeur de yl.

En ditrérentianl de même l'équation (6), on calculera ?/;"; et ainsi de suite.

^; 3. - CAS D'IXTÉGRABIl^ITÉ PAR QUADRATURES (•>

323. Séparation des variables. — Supposons que, dans l'équation différentielle

(1) si = «-•••/)■

le second membre soit le produit d'une fonction de x par une fonction de y, ou le quotient d'une fonction de x par une fonction de y, ou inversement,

(2) /^=.\{x)\(y), ou j^ = Y{^y ou ^;, = X(^)-

On pourra séparer les variables, en faisant passer dans le premier membre tout ce qui contient y, et dans le second membre tout ce qui contient x; cela donnera, respectivement,

(3) ^=\{x)dx, Y{y)du = X{x)dx, j||^=:^.

Nous allons montrer que chacune de ces équations s'intègre alors membre à membre, en traitant les lettres x et y comme des variables

(1) On appelle quadrature, pour des raisons qui seront indiquées plus loin, le calcul d'une intégrale indéfinie quelconque / f{x)dx.

48 EQUATIONS DIFFERENTIELLES

indépendantes. On obtient ainsi, par deux qiiadrntwes, l'intégrale générale de l'équation donnée, sous les formes respectives :

Démonstration. — Chacune des équations (3) est de la forme

(5) g{y)dy = h{x)dx.

Considérons, pour un moment, x el y comme des variables indépendantes, et introduisons les intégrales indéfinies des deux niembres

(6) G{y) = f9(y)dy, ii{x) = fh{x)dx,

l'équation (5) pourra s'écrire sous la forme équivalente

(7) dG{y) = dl\{x).

11 s'agit de trouver les fonctions 7=: o{x) qui, mises à la place de y, transforment celle équation en une identité en x.

Or, lorsqu'on remplace y par une fonction o{x) quelconque, le premier membre de (7) devient la difîérentielle, prise par rapport à a?, de Ja fonction de fonction G{y) = G{'j{x)); et, pour que les dilTérenlielles de deux fonctions de x soient égales quel que soit x, il faut et il suffit que ces fonctions ne diffèrent que par une constante addilive'".

Donc y^z>{x) transformera (7) en identité sous la condition, nécessaire et suffisante, qu'elle satisfasse, quel que soit x, à l'équation

(8) G{y) = H{x)-hc;

pour une valeur convenable de la constante c.

En d'autres termes, Véquation (7) est équivalente à l'équation (8), oii c désigne une constante arbitraire.

Cela équivaut à dire (en vertu des notations (6)), que Véquation (5) est équivalente à Véquation

(9) Jg{y)dy = Jh{x)dx-{-c,

obtenue en l'intégrant membre à membre. C'est ce qu'il fallait démontrer. Remarque. — Dans le cas considéré sont contenus les cas simples : (5) -t^=:/"(t), ou dy = f{x)dx; intégrale : y=: 1 f(x)dx-{-c;

(1) Cet énoncé n'est qu'une autre forme du résultat du numéro 302 : la forme générale des intégrales indéllnies d'une même dillérentielle en x est F{x) = Fo{a;)-f- c, •où Foix) est une de ces fonctions.

EQUATIONS niFl'KUKNTIELLES

et

(6) ^( = Ay). 0" /t)==^'' "^^^^'■«^'^••//^|] = ^-+-^-

Exemple 1. — Traclrice. — Clierchons les courbes dunt les Uinjentes uni une lomjueur

conslanle donnée.

Il s'agit d'exprimer que MT- = a2, a étant une longueur donni-e. De l'équation de la tangente

X — X __ V —y dx dy '

on déduit d'abord, pour la sous-tangente ÛT, en faisant Y = 0, la valeur

Ou alors MT- = UM- + UT^; et l'équation du problème est

Elle se décompose en deux :

'^"'-y'-'^y^-dx,

et

\«- — y--dy y

■=-\- dx

où les variables sont séparées.

On peut se borner à la" première, car on passe de l'une à l'autre en changeant x en — X, ce qui revient à prendre les symétriques des courbes intégrales par rapport à 0/.

Nous devons intégrer membre à membre. Pour intégrer le premier facilement, nous poserons :

[2J y = asin5

On en tire

car C0S5 est positif; et

\a- — ^2 ^^ a Y 1 — g[Qi - r= a cos ï ,

dy ^ a cossd^.

1 — sin^

L'équation [1] devient ainsi