ÉQUATIONS GÉNÉRALES

101. Quantité de mouvement. — Un système matériel étant composé de » points Mj, M^, . . ., M„, on peut écrire les équations différentielles du mouvement de chacun de ces points. Ces équations font intervenir les forces extérieures et les forces intérieures du système. Les combinaisons de ces équations qui permettent déliminer les forces intérieures conduisent aux équations générales de la dynamique des systèmes, comme les combinaisons des équations d'équilibre des /( points qui permettent déliminer les forces intérieures cunduisent aux équations générales de l'équilibre des systèmes.

Pour énoncer facilement les résultats, il est commode d'introduire le vecteur quantité de mnnvevienl.

On appelle quantité dr mouvement, à Vinstant l, d un point matériel M,

de masse ?«, le vecteur d origine M et égal à mV.

Les composantes de ce vecteur sont : m ^y , ^n-rj-, "i -tt •

D'autre part, les équations du mouvement du point sont

dt- dt- dt-

que l'on peut écrire

d f dx\ .. d ( diA ,. d / dz\ .,

dt['^dt) = ^^ dtV''lt) = ^- diV''dT) = ^-

468 DYNAMIQI'E DKS SYSTÈMES

Si Ion considèro une de ces é(iu;ili«>ns, la première par exemple, on voit que :

La dérivée par rapport au temps de la projection sur uu axe A de la t/uantité de mouvement dun point est égale à la projection, sur cet axe, de la résultante des forces qui agissent sur le point.

Car on peut toujours supposer (]ue Taxe A a été pris comme axe des X.

On obtient les équations du mouvement en appliquant le théorème précédent à chacun des axes de coordonnées.

On déduit, des équations du mouvement, les équations suivantes

/ d'il d^x\ ,, ,. V

''Vw-ydt^)=''^-''^ = ^^

que Ion peut écrire dt

Les expressions entre crochets représentent les moments du vecteur quantité de mouvement par rapport aux axes de coordonnées. On peut donc énoncer le théorème suivant :

La dérivée par rapport au temps du moment par rapport à un axe A de la quantité de mouvement d^un point est égale au moment, par rapport à cet axe, de la résultante des forces qui agissent sur le point.

Système des vecteurs quantités de mouvement. — Dans un système de n points matériels, les quantités de mouvement forment, à chaque

instant, un système de n vecteurs. Soient 0;, la résultante générale

et 0(7, le moment résultant à l'origine, de ce système, à l'instant /. La

composante de Oc suivant Ox est

dx, , dx., ,

dx, d .,

en désignant par ;, r„ ^ les coordonnées, au temps /, du centre de gravité du système et par M la masse de ce système. On a donc, pour

les composantes a, ^i, •;, de Op.

., dxk ,.dl ^ „ (/(/,. .,^71 ., dzh y.dî^

EQUATIONS OKNKHALKS 469

Les composaules À, a, v do OTSont, de même,

102. Théorème des projections des quantités de mouvement. — Mouvement du centre de gravité. — Écrivons la première équation du mouvemenl de chaque point du système,

d Y dx.\ .. d( dx.,\ V df dx,,\ ,.

et ajoutons ces équations membre à membre, il vient

dr'^'iti=-'^'-

Dans ce qui précède, Xp \,, . . . X„ sont les composantes, suivant Ox, des sommes F,, F.^ . . . F„ des forces agissant sur chaque point. La

force F/,, par exemple, est une somme de forces intérieures et de forces extérieures. La somme XX/. est donc étendue à toutes les forces agissant sur le système. Or, nous savons que, dans cette somme, les projections des forces intérieures ont une somme nulle; il ne reste plus que la somme X des projections des forces extérieures, c'est-àdire la composante suivant Ox de la résultante générale OU des forces extérieures agissant sur le système. Comme on peut supposer que l'on a pris comme axe des x un axe quelconque 1, on obtient ainsi le théorème général suivant :

Thf.orème. — Là dérivée par rapport au temps de la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe A est éyale à la somme des projections des forces extérieures sur cet axe.

En appliquant ce théorème à chacun des axes de coordonnées, nous obtenons les trois équations générales

. dt-''^^'dt=^- rf?-"'^!^^' rf/^"*^rff=^-

On peut donner une autre forme à l'énoncé précédent en remarquant que les projections de la résultante générale des quantités de mouvemenl sont

^^dt^ ^'W' ^^Tf •

Il vient alors

Mg=X. ».5=V, .Mg = Z.

On oblienl ainsi le théorème du mouvement du centre de gravite :

Théorème. — Le centre de gravité d'un système de points matériels a le même mouvement que si toute la masse du système y était concentrée et s'il était soumis à la résultante générale des forces extérieures.

Exemples. — 1° S'il n'y a pas de forces extérieures, le centre de gravité a une accélération nulle; son mouvement est rectiligne et uniforme. C'est ce qui se passe approximativement pour le centre de gravité du système solaire, si Ton néglige les actions des étoiles.

2° Si la seule force extérieure est la pesanteur, le centre de gravité se meut comme un point pesant dont le poids serait égal à celui du système. Dans le vide, il décrit une parabole. Si Ton pouvait faire éckiter un obus supposé lancé dans le vide, le centre de gravité du système décrirait, avant comme après l'éclatement, des arcs d'une même parabole.

3" Si toutes les forces du système sont parallèles à 0:, la projection du centre de gravité sur le plan des xy est immobile ou bien a un mouvement rectiligne et uniforme. Si le corps pari du repos, le centre de gravité se déplace sur une parallèle à 0:.

C'est ce qui se passe pour un homme placé sur un plan horizontal parfaitement poli, un plan de glace par exemple. Les forces extérieures sont le poids, et les réactions du plan, qui sont verticales puisqu'il n'y a pas de frottement. L'homme peut élever ou abaisser son centre de gravité, mais il ne peut lui donner aucun déplacement horizontal : la marche est impossible en l'absence du frottement. Si l'on imprime au corps des vitesses initiales, le centre de gravité se déplace dans un plan vertical dont la direction ne peut changer que si l'homme rencontre un obstacle.

-i" Supposons que le tube d'un canon soit un cylindre circulaire d'axe horizontal Oa, placé dans un demi-cylindre creux de même rayon et maintenu sur un bâti. Considérons le système matériel formé par le tube et Tobus. Les forces extérieures sont les poids et les réactions de l'appui, normales au cylindre si l'on néglige le frottement. Toutes ces forces sont perpendiculaires à Ox. Donc, la projection sur Oj- du centre de gravité G a une accélération nulle. Avant le départ du coup, la vitesse de ce point est nulle, donc cette projection reste immobile. Comme l'obus et les gaz de l'explosion sont proj étés en avant, il faut que le tube soit projeté en arrière de manière

EQUATIONS GENERALKS 47|

qui' l'abscisso de G ne l'hange pas. Ce recul est d'aulanl plus faible que la masse du lul>c est plus considérahlo, car, la résullanlc dos poids du lube el de roi)Us passant toujours en G, le bras de levier corresdanl au poids du lube sera, à chaque instant, d'aulanl plus petit (|uo ce poids ost plus considt'rable.

103. Théorème des moments des quantités de mouvement. — Kcrivons l'équalion

d [' / (Iz, dij,\ 1

et les équations analo^^ues pour les points M.,, M^, . . . .M„. Kn faisant la somme de toutes ces équations nous aurons

Dans le premier membre ligure la dérivée par rapport à / de la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à ()x. Dans le second membre se trouve la somme des moments de toutes . les forces par rapport à Ox. Dans celle somme, les termes relatifs aux forces intérieures disparaissent, puisqu'ils sont deux à deux opposés, et il ne reste que la somme L des moments dès forces extérieures par rapport à Ox, c'est-à-dire la composante suivant Ox du

moment résultant OG. Comme on peut supposer que Ion a pris comme axe des x un axe quelconque A, on obtient ainsi le théorème général suivant :

TnÉoRÈ.ME. — La dérivée par rappori au temps de la somme des uionients des quantités de mouvement par rappori à un axe A est égale à la somme des moments des forces extérieures par rappori à cet axe.

En appliquant ce théorème à chacun des axes de coordonnées, nous obtenons les trois nouvelles équations générales

rf „ / dzi, diJi,\ , d^ l dxk dzA .,

ïrt^'"-'V'i[t-y'iûj-^-

Conséquence. — Supposons que la somme des moments des forces extérieures par rapport à un axe A soit nulle et prenons cet axe comme axe des :; il viendra

C étant une constante.

472 ItYN.VMIQlK DES SYSTKMKS

Or, r^-jTj — yk^jT 6Sl 11' double do la dérivée aréolaire pour la projection M^ du point M;, sur le plan des xy\ appelons .1/. l'aire balayée par le rayon vecteur OM^ à partir de l'instant initial, nous aurons

- W'fc

i:î»A.lA = »»,-l', -|-»'»2.1s-h»J3.1.3-h . . . -hm„.i„=^^C<,

sans ajouter de constante car le premier membre est nul pour t = 0. On dit que la projection du mouvement du système sur le plan ./■()(/

s'etïectue suivant la loi des aires. Si le système part du repos, toutes

les dérivées aréolaires sont nulles à l'instant initial, et C = 0. La somme i2 //</.. l.;. est toujours nulle, i^es points M',, ne peuvent pas, à partir de leurs positions initiales, tourner tous dans le même sens autour de 0; il faut que, à chaque instant, les uns tournent dans un sens et les autres dans le sens opposé.

Cela n'empêche pas que, au bout d'un certain temps, tous les points du système aient pu faire un tour complet autour de 0:. Par exemple, un homme étant placé

sur un plan de glace horizontal, toutes les forces extérieures sont

verticales et N=:0. Si l'homme est d'abord au repos i: m/..t./,= 0;

l'homme peut cependant arriver à se retourner sur le plan de glace

sans que la loi des aires cesse d'être vérifiée.

Si le moment résultant OG est nul, on a les intégrales premières „ / dz, di/,\ ^ „ ( d.vu dzu\ r,,

yi^"

dxi, dl

Les projections des mouvements sur les plans de coordonnées s'efTecluent suivant la loi des aires. Par exemple, si les seules forces extérieures sont dues à la pesanteur el si le corps part du repos, le centre de gravité G décrit une verticale 0;; la résultante des forces

KQUATIONS GÉNÉriALKS

extérieures passe toujours par 0, et la projection du mouvement sur un plan quelconque passant par 0 s'ellectue, autour du contre U, suivant la loi des aires.

104. Interprétation géométrique des équations générales. — Les six équations générales du mouvement sont

d „. rf-

dr'^'di -

d^. ( dz,

■dr'"''Vi'-^

7n-""-'-di=^-

. d!fi\

[ dxi dz,\ . .,

dt-^'

dl - '^'

En introduisant les composantes a, [i, y de la résullante générale Op

des quantités de mouvemenl et les composantes /,, a, v du moment

— >résultant Ocr des (juanlités de mouvement, ces équations peuvent

s'écrire

Les équations de la première ligne expriment que le vecteur Vj, vitesse de l'extrémité du

vecteur Oi, est égal à OH.

Celles de la seconde ligne

expriment que le vecteur V„ vitesse de l'extrémité du

vecteur 0<j, est égal à UG.

Lorsque les forces extérieures ont une résultante unique passant par 0, le

vecteur 00 est nul, les nombres À, a, V sont les constantes C, C, C". et le point 7 est immobile. Le théorème des aires s'applique à un plan quelconque passant par (i et la constante des

aires correspondante est la projection du vecteur invariable 0? sur la

normale au plan. Le plan perpendiculaire à Ou correspond à la plus grande valeur absolue de cette constante; on l'appelle le plan du ynavimum des aires.

105. Théorème de la force vive. — Kcrivtms le théorème de la force vive pour lo point M,, sous la forme dilTérentielle,

et les équations semblables pour les autres points M.^, M,, . . ., M,,. En ajoutant membre à membre, il vient

d^^m^vj = ï X,4xk h- Y,.rft/,, -+- 'A,.dzK.

Appelons force rivedu système la somme des forces vives de ses différents points; l'équation précédente nous donne le théorème suivant :

Théorème. — La di/fércnt'telle de la demi-force vive d'un système de points matériels est égale à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces agissant sur le système.

Il importe de remarquer que la somme des travaux des forces intérieures n'est pas nulle, en général. Comme nous l'avons vu au paragraphe 100, cette somme est nulle pour un corps solide.

Les six équations générales du mouvement ne font intervenir que les forces extérieures; l'équation de la force vive fait intervenir les forces extérieures et les forces intérieures. Dans le cas du solide, il suffit de calculer le travail des forces extérieures.

En intégrant entre les limites t^ et t les fonctions du temps qui figurent aux deux membres de l'équation de la force vive sous forme différentielle, on obtient l'équation de la force vive sous forme finie ;

2 [X m,vl — ï m;, (v,X-] = ^2 £ \,,dx,. -h Y,.rf(yA -4- Z,//w. = X G,.

La demi-variation de la force vive du système pour un intervalle de temps est égale à la somme des travaux, pendant cet intervalle de temps, des forces agissant sur le système.

.Dans le cas du solide, il peut arriver que chacune des forces extérieures dérive d'une fonction de forceS; il en sera de même du système de ces forces, qui dérivera d'une fonction de forces égale à la somme des précédentes :

UK, î/i, :„ a-,, ij.„ :,, . . . , x,„ yn, :„).

On a alors

d^^}i.ni/,v'j ■= du,

^,):i'hvj — u

KQUATIONS GÉNÉRALES 475

h étant unr constante. Vènergie totale du systènne, somme d<' V'-nergic rïnéiique ^^m^vl et de Véneryic potentielle — U, est constante.

liemurque. — Le théorème de la force vive joue un riMe important dans l'étude des machines mécaniques. Dans l'équation

le second membre contient le travail moteur Ç,„ et le travail résistant— Ç,; ce dernier comprend le travail utile et le travail des résistances passives telles que les frottements. Ainsi.

|[i:7n,i;*-vm,(r;')^] = G,„-G..

Si la macliine fonctionne à ïétat de réfjime^ le mouvement est périodique et, si / — /„ est égal à une période, les vitesses de tous les points sont les mêmes aux temps / et l,^. Alors,

' C,„ = Cr,

le travail moteur pendant une période est égal au travail résistant.

Si I < — 1^\ est inférieur ù une période, cette égalité n'a plus lieu. On réduit d'ailleurs autant que possible les variations de vitesse, en particulier, par l'emploi de volants.

CHAJ'ITUE 11