MA
le nombre k s'appelle le rayon de yiralion relatif à l'axe A.
Remarque. — Pour calculer le moment d'inertie d'un corps continu, un solide par exemple, on le partage en un grand nombre d'éléments dont chacun sera assimilé à un point matériel; la masse de chaque élément est arfy et le moment d'inertie est ïl/V^^*'- 0^ i^^^^P'^^cera cette somme par la valeur limite obtenue quand on suppose que le nombre des éléments croît indéfiniment et que les dimensions de chacun d'eux tendent vers zéro. On a alors
1= Ç f f^rHv.
Moments d'inertie par rapport à des axes parallèles. — Le calcul du moment d'inertie par rapport à des axes parallèles se ramène au calcul du moment d'inertie pour l'un de ces axes, au moyen du théorème :
Soit I le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe A, et I,. le
DY.NAMiyib: DES SYSTEMES
moment d'inerlie par rapport à l'axr parallrle à A Jiiené par le centre de gravité, on a la relation
dans laquelle M désigne la masse totale du sgsténie et d la distance des
deux axes.
Prenons comme axe des : l'axo parallèle à A mené par le centre de
gravilé G et soient
x=:a, </==/'' les équations de A.
Le carré de la distance d'un point M{x,y, z) h l'axe A est
r- = {x — a)- -+- {y — b)- = ./•- h- (/- — 2ax — 26»/ -+- «- -f- b- ;
donc
I ?/!?•- = :! //((a?- -h y-) — 'la^mx — 'ib'^my -\- {a--\-b-)Em.
Or, ï m = M ; a- -^ b- =: d- et ï mx z=: M : = 0, ï! my = M r, = 0, puisque le point G est sur 0:: il reste
Si Ion pose 1 = M/v- et ],. = Mo-, on a, entre les rayons de giration,
la relation
Moments d'inerlie par rapport à des axes concourants. — Étudions
les variations de I pour des axes issus d'un même point 0. Soit un
— >■ axe (>D défini par les projections a, p, y du vecteur OU, de longueur
un. porté par cet axe. Il faut calculer la distance >-::=MH du point M à l'axe ()D; or, Mil représente la grandeur du produit'vectorielnU X O.M,
MOrVKMKNT I) LN SULIIiK AlTOl U l)'UN AXK 479
puisque! c esl l'airL* du parallélograinnie consiruil sur ces deux vecteurs; les couiposantes de ce produit sont[ic — Y.VjY-^ — a:, a»/ — [lor, donc
uu
7-' = ( (/- -I- :'^) a- -i- (:- -f- a^'j '^- -h (a-^ H- ?/-) y' — :2,j/: [•J-; — 2:.y 72 — 2xjy x'i^
v ////■' =r -/-i: m ( //- -I- Z-) -f- (i-i: 7/i ( :- -+- x^) -h Y^v 7n ( .v- -h ^^ ) — ij;i-;ï mj/:
— 27 al mzx — 2xÔi: mxy ,
c"esl-à-dire
I = A a- 4- B [i- + C f — 2D [iy — '1\L va — -2F a[i .
Pour voir comment I varie avec la direction de OD, portons sur
Taxe OD la longueur L>F' ^ — : les coordonnées X, V, Z du point P sont
>/ï' Vi' ^ vî'
et, en remplaçant x, Ti, y par Xyl' YvÎj Zy^^ dans l'équation précédente, on obtient
AX- 4- \i\- -h CZ- — 2DYZ — :iEZX — :il XV = 1.
Le lieu du point P esl une surface du second de^i'é qui est évidemment un ellipsoïde puisque, 1 n'étant nul que dans un seul cas, OP reste toujours Uni. Cet ellipsoïde a son centre à l'origine. Il porte le nom (ï cllipsijide d'inertie relatif au point 0.
L'ellipsoïde d'inertie relatif au centre de gravité s'appelle re//î;j50trfe central d'inertie.
Remarque I. — Nous avons vu que I ne peut être nul, pour un axe, que si tous les points du système sont sur cet axe. Cela ne peut arriver que pour une seule direction, ODj. Dans ce cas exceptionnel, le lieu du point I^ est un cylindre de révolution autour de UDj. Dans le cas général, l'ellipsoïde d'inertie a trois axes de symétrie que l'on appelle axes principaux d'inertie relatifs au point 0. Lorsque l'ellipsoïde est de révolution, il y a une inlinité d'axes principaux situés dans le plan de l'équateur.
Remarque II. — Pour que l'axe 0: soit un axe principal d'inertie relatif au point 0, il faut et il suftit que l'ellipsoïde soit symétrique par rapport à 0:;, cest-à-dire que son équation ne contienne pas de termes en YZ ni en ZX. Les conditions sont donc
Pour que l'axe 0: soit, en outre, axe principal d'in'-rtie pour un autre
480 ItYNAMiniK DKS SYSTK.MES
point 0, do colo /(. il t'aul (iiio les produits diiiortio correspondanls
Sî/ij/ : — h) et ^mx[z — h) soionl nuls. ( tr,
^my{z — h) = -inijZ — /ilif/ny = — AM r,, i:?».r(: — /M = i:??tr; — Aï vi.r = — //M ;.
Il faut donc que ; = r, = 0, c'esl-à-dire que 0; pasi»e par 0. Dans ce cas, quoi que soit /i, l'axe 0: est un axe principal pour 0'. Donc :
Un axe principal cVinertie de Vellipsoide central est axe principal pour tous ses points.
108. Mouvement d'un solide autour d'un axe. — Prenons l'axe (Ixe pour axe des -, et soient 0 et 0' les points que l'on a fixés. Le point 0 est lorigine des coordonnées, le point 0' a la cote h. Si le solide est buté en () et" 0', il subira en ces points des actions de directions arbitraires dont les composantes seront X', Y', Z pour 0, et X", Y", Z" pour ()'. Les six équations générales donnent
v,ng==X + X' + X",
v,ng = Y + Y' + Y", Or=Z + Z'4-Z",
— ï:w;-rfT = L — h^ , al-
dt-
^, .,doj -, l.mr-^ = \
car : est constant.
La forme de la dernière équation résulte du calcul de la somme des moments des quantités de mouvement autour de iaxe de rotation fait au paragraphe 100. Comme celle équation ne contient pas les réactions, elle déterminera le mouvement. On peut l'écrire, en remplaçant ï?/i?'par M/i-. .
dl
Si N = U, -r^=0, to est constant, et le mouvement est uniforme. d t
Remarque. — Le théorème de la force vive conduirait à la même
équation; en effet, la force vive est MA-w- el le Iravail élémentaire Xcorf/,
puisque le Iravail des forces intérieures et celui des réactions sont nuls,
on a donc ^
(/^MA;-oj^=: Noj(//,
dt
m()lvi:mi:nt d un solide altoir dYn axe
Calcul des réactions. — Les réactions seront fournies par les cinq premières équations.
Les composantes de l'accélération du point M sont, avec les notations du paragraphe 21 ,
Y^ est porté par l'axe CM' : le vecteur OM' a les composantes X. y. donc le vecteur y, a les composantes — o/'^a:,— c.j-y,puis-
que Y,= — w'OM. De même, le vecteur directement perpendiculaire à OM' et de longueur OM' a les composantes — y, x, donc, le vecteur v^, a les composantes — ui'y, ui'x et les composantes de l'accélération J du point M sont
JC
-jj^ = — oy-x — o> y,
dh.
Les équations deviennent
X -h X' -I- X" = — or^mx — o>'ïmy, Y -h y -f- Y" = — w-i: my -f- w'X mx, Z + Z' -4- Z" = 0,
L — AY" = ui^^myz — (n'^mxz^ M -+- h\" =^ — <.->*'^mxz — (o'Xwîyz.
Les deux dernières donnent X" et Y", les deux premières donnent ensuite X' et Y', et il ne reste, pour déterminer Z' et Z", que Tunique équation
Nous rencontrons ici le même fait que dans le problème de statique correspondant (§ 98). Si le corps n'est pas buté en 0', la réaction en ce point est normale à 0: :
Z" = 0, et Z'= — Z.
Les composantes des réactions dépendent de w'; lorsque la vitesse angulaire augmente, les réactions deviennent considérables et peuvent amener des détériorations et des ruptures. Il y a donc intérêt, pour les pièces des machines qui tournent à grande vitesse, à rendre les réactions indépendantes de or; il faut et il suffit pour cela que
482 DYNAMIQI K DES SYSTEMES
c'est-à-dire que l'axe de rotation soit un axe principal d'inertie relatif au tonire de gravité. Il est donc avantageux de faire tourner la pièce autour d'un tel axe.
liemarquc I. — Supposons que les forces extérieures aient une résultante passant par 0 ; on aura L = M = N = 0, et par suite, w' = 0, donc
X + X'-hX" = — M-^Hmx^ — h\" = (o'-imj/z, Y 4- Y' -4- Y" = — co*! mij, -h h \" = — co^v mxz. Z-f-Z' + Z" = 0,
Si le corps n'est pas buté en 0', Z" = 0; pour que la réaction de 0' soit nulle, il faut et il sufiil que
S mxjz = X mxz = 0,
c'est-à-dire que O2 soit un axe principal d'inertie pour le point 0. 11 est alors inutile de guider le corps en 0' et il suffit de le fixer en 0. Donc :
Si un corps solide, qui a un point fixe 0 et qui est soumis à des forces ayant une résultante passant par 0, commence à tourner autour d'un axe principal d'inertie relatif au point 0, il continue à tourner d'un mouvement uniforme autour de cet axe.
Remarque IL — Supposons que les forces extérieures soient en équilibre, on aura
X' -h X" = — to'^i] mx, — h\" = co-S myz, Y' -\- Y" =■ — orS mij. H- h\" =. — w-S mxz . Z'-^Z" = 0.
On peut prendre Z"=:0, par suite Z' = 0. Pour que les réactions soient nulles, il faut et il suftit que
^mx=^0. 'Lmy=0, ^inxz = i), i:?/ny::=0,
c'est-à-dire que 0; soit un axe principal d'inertie pour le centre de gravité. Dans ce cas, les appuis sont inuliles et peuvent être supprimés. Donc :
Si un corps solide, qui nest soumis à aucune force, commence à tourner autour d'un axe principal d'inertie relatif au centime de gravité, il continue à tourner d'un mouvement uniforme autour de cet axe.
109. Pendule composé. — On appelle pendule composé un solide mobile autour d'un axe horizontal et soumis seulement à la pesanteur. Prenons comme axe des - l'axe de suspension et, comme plan desxy, le plan vertical perpendiculaire à O2 et contenant le centre de gravité;
MOrVKMKNT I) IN SOLIDE AL'TOLIl I) UN AXE
l'axe Ox sera vertical et dirigé vers le bas. Appelons 0 l'angle de OG avec Oj', / la distance OG, M la masse du pendule. L'équalion du mouvement sera
M k- ^j = N = — M^/ sin 0 ;
ou, comme (0=:
rfO dt
cm ni . ,
Cette équation détermine 0 en fonction du temps l; elle est identique à l'équation d'un pendule simple de longueur /'
si l'on prend l'=.-r. Le pendule simple de longueur /' s'appelle le pendule synchrone du pendule composé. Portons sur OG la longueur
00'^/'. Les points de la parallèle 0'; à Os menée par 0' se meuvent comme des pendules simples de longueur /'. Comme on a le- = -J -i- /-, p étant le rayon de giralion pour la parallèle à 0: menée par G, on voit que
on peut obtenir 0' en portant sur OG, au delà, de G, la longueur G0' = ^ . La droite O'i' s'appelle Vaxe d'oscillation. La relation
GO.GO' = p^
484 DYiNAMIQUE DES SYSTÈMES
montre que si le pendule est mobile autour de l'axe 0':', c'est-à-dire si 0 :' devient Vars.e de suspension, l'axe d'oscillation sera 0-. Il y a donc réciprocité entre l'axe de suspension et l'axe d'oscillation.
Calcul des réactions. — Nous supposerons que le pendule admet le plan des xy comme plan de symétrie, alors Oz est un axe principal d'inertie pour le point 0. Les équations du mouvement peuvent être écrites en prenant des axes rectangulaires Oa',j/,z tels que {Jx^ coïncide avec la position de OG au temps /; on a alors, pour les coordonnées du poids, X, = Mycose, Y, = — M7 sinO, Z =0; L, =:M,=0 et, par suite,
Mg cosO + Xî -h X'i' =: — o/^S }nx^ — w'STny, =: — o)^Ul, — M<^ sin 0 -H Yj H- Y',' = — w^'^ my -+- (o'S mx = 0/ Ml,
z'4-z"=o, — /iY'; = o, hx';=o,
puisque Oz est un axe principal d'inertie pour 0. Comme on peut prendre Z"=rO, on voit que la réaction Xp Y,", Z" est nulle. Il reste, pour la réaction en 0,
XJ = — oj^M/ — Mg cosO,
Y\ = oy'Ml-{-Mg sinO,
Or, co' = — T2 sin6; d'autre part, l'équation de la force vive donne
c?|MA^co2==M^rf^,;
d'où
et, comme Çj=:/cosO,
