CHOCS ET PERCUSSIONS

sfante, de coefficients directeurs a, [i. v, la percussion if a la même direction; car. si

on a

X = x f'i'dt, \\ = ^ f'Fdt, Z = -' f'Fdl,

ou, en posant

.= j;",.vy,,

—y Remarquons que I est l'impulsion pendant le temps IJ^ : on a donc,

en utilisant les formules (3) du paragraphe précédent,

X-\-jnxi, — mx[ = 0, 'l[H-7;iyi — 7n7/( = 0, 2 -+- mzô^ ni:î = 0,

ou

(3) le-4-mV„ — mV.r^O;

en d'autres termes, les vecteurs mV,,, — wiV,, et 'i* sont en équilibre, si

on les considère comme représentant des forces appliquées au point

matériel M.

112. Choc pour un système matériel. — Considérons un système matériel dans lequel se produit un choc. L'équation (3) est applicable

— >à chacun des points du système à condition de désigner par F la

somme de toutes les forces intérieures ot exléri,eures appliquées à ce

point. 11 y a donc équilibre entre tous les vecteurs mVg, tous les

vecteurs — mW^, et tous les vecteurs 5*. En raisonnant comme on l'a fait au paragraphe 7 4 dans l'étude de l'équilibre d'un système matériel quelconque, on voit que les percussions relatives aux forces intérieures sont deux à deux directement opposées et disparaissent. D'autre part, les termes relatifs aux forces extérieures finies, comme la pesanteur, sont supprimés comme négligeables. 11 ne reste plus que les percussions extérieures. Donc :

Il y a équilibre entre les vecteurs //îV^, les vecteurs — mV, et les percussions extérieures ou encore : le système des percussions extérieures est

équivalent au système des vecteurs w(Vj — V^), différences des quantités de mouvement

Dans l'évaluation des percussions extérieures, il faut compter les percussions dues aux forces de liaison : par exemple, si un corps solide tourne autour d'un axe, on introduira les deux percussions

relatives aux deux points de Taxe que l'on a fixés pour réaliser la liaison.

Les percussions des forces de liaison intérieures donneront une somme nulle, parce que si deux corps du système se touchent en un point A, les actions mutuelles des corps en ce point sont deux vecteurs opposés et il en est, par conséquent, de même pour les percussions correspondantes. Leur somme esl donc nulle.

Les deux systèmes des vecteurs Tn(V, — Vo) et des percussions extérieures étant équivalents, leurs résultantes générales sont égales donc :

Théorème. — La variation, après un cfioc, de la somme des quantités de mouvement est égale à la somine des percussions extérieures.

On peut énoncer ce résultat autrement :

Nous avons vu, au paragraphe 103, que la quantité de mouvement du centre de gravité G d'un système, en supposant que la masse totale du système soit concentrée en ce point, est égale à la somme des quantités de mouvement des points du système. Celte quantité

de mouvement au temps t^ est la résultante générale des vecteurs mV,

et au temps t^, elle est la résultante générale des vecteurs m\\. La variation de cette quantité de mouvement est la résultante générale

des vecteurs mlV, — Vf,); on peut donc énoncer aussi, sous la forme suivante, le théorème précédent :

Théorème. — La variation de la vitesse du centre de gravité après un choc est la même que si l'on suppose toute la masse du système concentrée en ce point et toutes les percussions extérieures remplacées par des vecteurs égaux appliqués à ce point.

Prenons, de même, la somme des moments des quantités de

mouvement m\\ par rapport à un point 0. puis la somme des moments

des vecteurs — /nV^ par rapport au même point. La somme des deux

vecteurs obtenus représente la variation de la somme des moments des

quantités de mouvement pendant le choc. C'est le moment résultant,

par rapport à 0, du système des vecteurs m{Yg — V,). Ce moment est

égal au moment résultant des percussions extérieures. Donc :

TnÉORÈME. — La variation, après un choc, de la somme des moments des quantités de mouvement des points d'^un système matériel est égale à la somme des moments des percussions extérieures .

Menons, par le point 0, un axe quelconque (A); le moment d'un

CHOCS ET IMvRCLSSIONS

système de veclcurs pur rapport à (A) est le nombre qui mesure, sur (A), la projection du moment résultant du système par rapport au point 0. Comme les moments résultants en 0, des systèmes formés

par les vecteurs /«(V, — V„) et par les percussions extérieures sont identiques, il en est de môme de leurs projections sur (A), et, par suite, le théorème précédent est applicable, r/ue les momenls soient pris par rapport à un point ou par rapport à un axe.

Exemple. — Pendule balistique. — Considérons un solide (S) pouvant tourner autour d'un axe (A), perpendiculaire au plan de la figure. Un mobile P, de masse m, décrit une trajectoire recliligne (D) perpendiculaire à (A) avec la vitesse constante V. Ce mobile vient toucher le solide (S), d'abord au repos, et reste incorporé à ce solide qui prend la vitesse angulaire initiale w. Cherchons la relation qui lie V et (o.

roj

Prenons la somme des momenls des quantités de mouvement, par rapport à (A), du système matériel formé par le solide (S) et le mobile P. Au début du choc, (S) est immobile et P a une quantité de mouvement mV dont le moment est m\b, b désignant la distance des droites (D) et A. A la fin du choc, le système oscille autour de (A) et la somme des moments des quantités de mouvement est Iw pour (S), I désignant le moment d'inertie du solide par rapport à A, et elle est a^mo> pour le point P, a désignant la distance OP. La variation de la somme des moments est Iw + ma^M — mbV. Considérons les percussions : en P, les percussions sont intérieures et n'interviennent pas. Les percussions sur l'axe, rencontrant (A), comme les réactions, donnent des moments nuls; donc

(I -f- ma-] (D — mbY = 0.

Cette équation donne l'une des vitesses w ou V lorsqu'on connaît l'autre. On a, par exemple,

I H- ma^

mb

la mesure de eu foarnit la vitesse V du inohile I*. C'est le principe du pendule balistique qui servait jadis ii la mesure des vitesses des projectiles.

113. Détermination des variations de vitesses. — Considérons un corps qui subit un choc pendant l'inlervalle de temps tJ^. Avant linslant /^, le mouvement du corps était déterminé par les équations de la dynamique, les forces étanl supposées connues. Après linslanl l^, nous avons de nouveau les équations de la dynamique et le mouvement

sera déterminé si nous connaissons les vitesses initiales Vj au temps t^, puisque les positions sont les mêmes qu'au temps t^. Le problème posé par le choc est donc le suivant : étant données les vitesses au début du choc, trouver les vitesses à la fin de ce choc.

Nous avons pu résoudre ce problème dans l'exemple précédent, parce que les deux corps qui se sont choqués sont devenus solidaires. Mais nous n'aurions pas pu le résoudre si le mobile P, après le choc, avait

rebondi en abandonnant (S). La vitesse initiale V, de P après le choc serait, dans ce cas, une nouvelle inconnue dont la valeur dépend de l'état physique des corps qui sont venus au contact et ne peut être déterminée que par des lois expérimentales.

Considérons, par exemple, une petite balle, de masse m, qu'on laisse

tomber d'une hauteur h sur un sol horizontal poli : le vecteur mV^ est vertical et \l = '2gh. La percussion $ est un vecteur vertical, comme la

réaction du sol; donc, mV, est vertical. L'expérience seule permettra de

déterminer V,. Supposons que la balle remonte à la hauteur h', on

aura \i = ^gh' et ^=i\/ —; comme h' < /<, la vitesse a été réduite

dans un rapport qui peut varier depuis zéro, pour /«' = 0, jusqu'à un, pour A' = A. La force vive de la balle a diminué, pendant le choc, de m (Vf, — \i) = ^2mg{h — h').

En fait, pendant la durée du choc, les deux corps se déforment : cette déformation entraîne une variation de la force vive totale du système de ces deux corps, une partie de cette force vive étant absorbée par la déformation. Si les corps sont peu élastiques ou mous, la déformation produite subsiste après le choc, les deux corps demeurent solidaires, comme nous l'avons supposé dans l'exemple de la balle P qui vient s'écraser sur le corps (S). Si les deux corps sont parfaitement élastiques, les déformations produites disparaissent à la fin du choc, les difîérents points matériels qui constituent les

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corps reprennent leurs positions initiales; le travail des forces intérieures et de contact est nul et lu furcr vive totnir ti'ii pas varié, lintre ces deux cas extrêmes, se placent les cas intermédiaires, pour lesquels la force vive totale diminue. 11 faudrait ajouter au phénomène de déformation un mouvement vibratoire des particules des corps qui subsiste après le choc, mais nous le négligerons.

Exemples. — I. — Un mouton de masse m doit enfoncer dans le sol un pilotis de masse m'. Un mouton est un cylindre d'axe vertical que Ton remonte à une certaine hauteur, puis qu'on laisse tomber, entre des glissières verticales, sur la tête du pilotis; soit V^ la vitesse au moment du choc. Nous admettrons que le cylindre agit comme un corps inélastique et reste adhérent au pilotis à la fin du choc. Le système total, de masse in-hju', descend avec la vitesse initiale V,. Pour ce système, il n'y a pas de percussion extérieure, donc la somme des quantités de mouTement n'a pas varié :

mV^ = (m-l-m')Vi.

La perte de force vive est

m\*, — {m -+- m'} Vf = vi\l

La force vive du système est absorbée par le travail des réactions du sol lorsque le pilotis s'enfonce. H y a intérêt à ce que cette force vive soit la plus grande possible. Pour un travail donné T, travail qui correspond à la marche ascendante du mouton, m\l est donné, c'est le double de T. comme le montre le théorème de la force vive appliqué au mouton partant du repos et arrivant au bout de sa marche ascendante.

La perte de force vive au moment du choc est ' ^^,'i il faut

augmenter m, masse du mouton, pour diminuer la perte de force vive due au choc,et par conséquent, puisque in V^' = 2T, réduire V^-Si le corps mobile devait agir à la manière d'un bélier, c'est-à-dire détruire un corps de masse m', il faudrait, pour un travail donné T, augmenter la force vive absorbée par la déformation de ce corps, augmenter V„ et, par suite, diminuer m.

H. — Soient deux sphères parfaitement élastiques, de masses m cl m', animées de mouvements de translations rectilignes et uniformes tels que leurs centres décrivent la même droite (D). Soient v^ et t?^ les valeurs algébriques des vitesses. Les deux sphères se choquent et se séparent; calculer les valeurs algébriques v^ et r^ des vitesses, après le choc.