EXERCICES SUR LK LIVRE IV
pour que ce point 0 demeure immobile? Quelles sont alors les Ir.ijectoires des points A, B, C? Peut-on choisir les vitesses initiales de ces points pour que, le point 0 restant fixe, le triangle ABC conserve une grandeur invariable. Quels sont, dans ce dernier cas, les mouvements des trois points?
3. — Une plaque homogène, de poids 1*, a la forme d'un triangle équilatéral ABC de côté a. La plaque est dans un plan vertical et le côté BC glisse sans frottement sur une horizontale. Un point matériel de poids P glisse sans frottement sur le côté AC, A étant placé audessus de BC. Au début, le point est abandonné en A sans vitesse initiale.
Calculer la longueur du déplacement de la plaque lorsque le point matériel a parcouru le côté AC.
4. — Un fil flexible, inextensible, de masse négligeable, est attaché à un point fixe 0, par une de ses extrémités; il passe ensuite sur la gorge d'une poulie mobile de centre C et de poids P, puis sur la gorge d'une poulie fixe de centre C. Le brin libre du fil supporte, à son extrémité S, un poids Q. Les poulies sont homogènes et le frottement du fil sur leurs gorges est négligeable.
1" Étudier le mouvement du point S et celui du point C. Calculer la tension du fil. A l'origine des temps, le système est abandonné sans vitesse initiale.
2° A l'instant /„, on coupe le fil près de S. Le point C, qui occupe à
cet instant une position C^, repasse par cette même position, au bout
p du temps t^. En déduire le rapport ^.
5. — Une tige homogène AB, de longueur /, de densité À, se meut dans un plan de manière que ses extrémités A et B glissent sans frottement sur deux axes rectangulaires Oo^, Oy. Chaque élément MM' de la tige est attiré par 0>j et la grandeur de la force attractive est ÀMM'.MP, MP désignant la distance de M à Oy.
Déterminer la résultante des forces attractives. Calculer le travail de cette résultante pour un déplacement de la tige. Calculer l'énergie cinétique de la tige.
Écrire l'équation différentielle du mouvement et intégrer cette équation lorsque la tige peut venir se placer sur Ox de manière que tous ses points aient une vitesse nulle.
6. — Un fil flexible et inextensible passe sur une poulie fixe de rayon r, mobile autour de son axe horizontal. Le fil ne peut glisser sur la gorge de la poulie; il supporte à une extrémité un poids P et à l'autre un
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poids P-hp. Trouver le moiiveinenl du système, en appliquant au système total le théorème de la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe de la poulie. {Machine d'Atwood.)
7. — Un disque circulaire homogène pesant est mobile le long d'une ligne de pente d'un plan incliné poli; le plan du disque coïncide avec le plan vertical de la ligne de pente. Trouver le mouvement du centre du disque et montrer que la vitesse angulaire de rotation du disque est constante.
8. — Un réservoir ayant la forme d'un parallélépipède droit h base rectangle horizontale contient ^5 m^ d'eau. Les dimensions de la base sont 2,15 m. et 3,20 m. On fait monter 10 m* de cette eau dans un autre réservoir, ayant la forme d'un cylindre de révolution, dont la base est un cercle horizontal de 2,20 m. de diamètre, situé à C,oO m. au-dessus du plan de base du premier réservoir.
Calculer le travail dû à la pesanteur.
9. Un cône de révolution homogène, de masse spécifique p., a pour hauteur /i et pour rayon de base R. Déterminer l'ellipsoïde d'inertie au sommet du cône, au centre de la base, et l'ellipsoïde central d'inertie.
10. — On fait osciller un pendule composé, successivement, autour de deux axes parallèles placés horizontalement; au moyen d'une masse mobile, on règle l'appareil de façon que les durées des oscillalions soient égales. Le plan des deux axes contient le centre de gravité du pendule. Montrer que la distance des deux axes est alors égale à la longueur du pendule simple synchrone. Déduire, de l'observation, la valeur de l'accélération due à la pesanteur, au lieu considéré. {Pendule réversible de Kater.)
11. — Une tige OA, homogène, pesante, de longueur a, se meut dans un plan vertical autour de son extrémité tixe 0. A l'iustant zéro, la barre est horizontale et lancée vers le bas avec la vitesse angulaire y/ — - Calculer la vitesse angulaire pour les positions verticales de la barre et le temps mis par la barre pour atteindre ces positions.
12. — Un pendule composé est formé par une tige rectiligne homogène AB, de longueur 2/ et de masse m. A l'extrémité A se trouve une sphère homogène de centre A, de rayon r et de masse M. Une autre sphère identique a son centre 0' en un point arbitraire de la tige et peut glisser le long de cette tige. On pos«ra 00'==x, 0 étant le milieu de
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AB. Laxe de suspension, hoii/.uiilal, est perpendiculaire à AB, en son milieu 0.
l'étudier les variations de la durée de roscillaliun de ce pendule lors(iue X varie.
Calculer la longueur du pendule simple synchrone, en négligeant
les rapports g et ^"devant l'unité.
13. — Un pendule composé oscille autour d"unaxe(A)qui faitTanglet avec le plan horizontal. Soit () le pied de la perpendiculaire ahaissée du centre de gravité G sur (A); on prendra comme variahle l'angle 0 (jue fait OG avec le plan vertical passant par (A).
Trouver ré(|uation différentielle du mouvement; les conditions d'équilihre du système; la longueur du pendule simple synchrone oscillant autour d'un axe horizonlal. Comment varie la durée d'oscillation de ce pendule composé lorsque l'axe (A), d'abord horizonlal, fait ensuite l'angle i avec le plan horizontal?
14. — Une balle élastique rebondit sur un plancher parfaitement poli. Après chaque choc, la composante verticale de la vitesse est multipliée par le facteur e inférieur à l'unité. La balle est lancée, au début, sous l'angle a, avec une vitesse de grandeur V. Montrer que la somme des durées des bonds a une limite à partir de laquelle la balle ne rebondit plus et roule sur le sol. Exemple : e = 0,8; Vsina, composante verticale de la vitesse ijiitiale, est égale à -4 m. /s.
15. — Une porte a la forme d'un rectangle qui serait mobile autour d'un de ses côtés placé verticalement. Cette porte est frappée normalement avec la vitesse v^ par une balle en caoutchouc. La porte et la balle étant supposées parfaitement élastiques, calculer la vitesse angulaire de la porte, après le choc. A quelle distance de Taxe le choc doit-il avoir lieu pour que celle vitesse angulaire soit maximum?
