TOT COS
[3] a— — ^dc5 = — dx,
■^ ■■ sin» ^
ou encore
dx = — a —r^ sin ïd; !•
Lsin;; ■ J
! :p = — dx
L'intégration est alors immédiate, et donne, Xq étant une constante arbitraire,
[4] x = Xo — a^log tg|| + cos3J.
Il resterait à tirer ; de [21 et à porter dans [4]. Mais il vaut mieu.x garder les deux équations, (lui représentent, puramétriquement, les courbes intégrales.
On remarquera de plus ([u'en faisant le transport d'origine x = Xo + Xi, yz=y^, on obtient la courbe unique :
X, = — a(cos3 + log tg|h, Ji = asin;
riO EQUATIONS I)IFfi;iu:.\tii:lles
qui se déduit de la courbe représentée par les équatious
-gj ^ = -«(eos? + log|tg||).
y ^ a sin?.
par la translation qui amène le sj'stème yOx sur le système .ViO-r. Cette courbe est celle qui correspond à la valeur Xq = 0 de la constante d'intégration.
Toutes les courbes intégrales se déduisent donc de la courbe [5] par des translations parallèles à Ox.
C'est là un fait qui se retrouvera pour toutes les équations différentielles du type (6), de même que, pour les équations différentielles du type (o), les courbes intégrales se déduisent de l'une quelconque d'entre elles par des translations parallèles à Oy.
La courbe (5) est symétrique par rapport à Ox, car en changeant 3 en — ?, on ne change pas la valeur de x et y se change en son opposée. Nous avons figuré seulement la partie supérieure de la courbe. D'après la valeur (3) de dx, on voit que x
décroît toujours lorsque 3 varie de 0 à ^; et, d'après [5], il décroît de +<» à zéro.
.A.U contra'ire, y croît de 0 à a. On a donc la forme de courbe indiquée, avec Ox
pour asymptote, puisque y tend vers zéro, en même temps que x devient infini.
dv Enfin au point A, {x = 0. y = a), la tangente est Oy, car, d'après [1], -~ est infini
pour y^a.
Exemple 2.
dy^l+y2 dx l -\-x-
En séparant les variables, on obtient
dy
l+y2~l+x2' et, en intégrant membre à membre,
[1] Arc tgy = Arctgx4- Y-
Sous celte forme, l'intégrale est transcendante, mais il résulte du théorème d'addition de l'arc tanjente, (n" lOl), qu'elle est algébrique. Posons, en eiïet,
Arctgx = a, Arctgy=ft; d'où .-E = tga, y = tgP; et l'équation [1] s'écrit : ^ — a = y» ou, en prenant les tangentes des deux membres :
tg^ — tgg 1+tgptga
= tgY,
c'est-à-dire
f- = tgv = l -|- xy " ' c
Nojs introduisons comme constante arbitraire c= . — , au lieu de v, ce qui donne le résultat définitif.
xy + c{x — y) + 1 =0.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
En éi'iivanl celle équation
on voit iiu'elle se réduirait à 2xji — — k-, en faisant le changement d'origine x = c + xi. j' = -c + r,. et posant /c^ = —^-
Elle représente donc une hyperbole équilatcro, IIH', dont le centre décrit la seconde bissectrice des axes de coordonnées, dont les asymptotes sontfparalléles aux axes, et
qui est placée comme l'indique la ligure. La grandeur est connue, pour chaque position de son centre (demi-axe focal a=:K/-^ — j-
Elle coupe Ox, pour x^ ; et Oy, pour y^=~-
Les deux branches sont toujours séparées par la droite H, y = x, première bissectrice des axes, qui est l'intégrale particulière correspondant à c = «j , y = 0. Pour c = 0, on a l'hyperbole équilatère HoHq, dont l'équation estxy=:— 1.
Quand c varie de 0 à + oo, la branche H se déplace et se déforme en balayant la portion du plan comprise de Hq à B; la branche H' se déplace et se déforme en balayant la portion du plan à gauche de Hq, et elle s'éloigne indéfiniment.
Quand c varie de 0 à — oo, U a passé de l'autre côté de 11,,, et balaye la portion du plan à droite de Hq; 11' est alors placé entre 11^ et B et balaye le plan II,, à B.
324. Équation linéaire. — On appelle équation linéaire une équation qui est du premier degré en y et -p. La forme générale d'une telle équation est donc :
i° Equation sans second membre. — On dit que l'équation linéaire est homogène, ou sans second membre, si elle est homogène en y et
-f; c'est-à-dire si G(i) = 0, (identiquement). L'équation est ah
dx
lors
52 E^J^ ATioNs difi'i;iu:ntielles
ou, en séparaol les variables,
(9) <V^Bl£L,.
Remarquons que Tinlégrale indélînie du premier membre
J^ = logl!/l + «i avec la constante arbitraire d'intégration a, peut s'écrire
c étant aussi une constante arbitraire, dont le signe est celui de y, de
sorte que - est positif. Car cela revient à poser «^ — logjc], d'oii
c = zhc~"'i ce qui détermine a quand c est donné; et c quand a est
donné, en tenant compte de la condition de signe - > 0. De sorte
que c est, comme a, une constante arbitraire. Cela posé, l'intégration des deux membres de (9) donne
(11) log^ = H(ar), avec ti{x) = - f^^dx;
d"où, en passant des logarithmes aux nombres,
(11) y = ce»-', avec \^{x) = - f^^dx.
L'intégration se fait donc par une quadrature; et la constante arbitraire figure en facteur dans la valeur générale de y.
Remarque. — Soit j/, une intégrale particulière de l'équation (8) ; on a, pour une valeur de c, de c, j/j = c,e" ^ ; et on peut écrire la formule ( 10)
Mais — est arbitraire, puisque c est arbitraire. La formule devient
donc y=:c'yi, c' étant une constante arbitraire; ou, en changeant de notation,
(11) y = cy,.
Donc, l'intégrale générale d'une équation linéaire du -premier ordre sans second membre s'obtient en multipliant par une constante arbitraire une intégrale particulière quelconque de cette équation '".
(1) On peut aussi remaniuer que r<'ciuation (8) ne change pas quand on remplace y par cv, où c est une constante arbitraire; et on en conclut immédiatement que si r, est une solution de celle équation, cy^ en est une également.
EQUATIONS DIFFKRENTIELLES 53
2° Equation avec second membre. — Les variables se sépareraient, dans l'équation linéaire générale,
(7) k{x)'Jli + ^{x)y = G{x)
si le terme en y manquait. On va faire un changement de variable destiné à faire disparaître ce second terme : c'est la fonction inconnue qu'on changera, en posant :
OÙ u est l'inconnue nouvelle, et a (a-) une fonction de x qu'on déterminera de manière que le terme en u disparaisse dans l'équatiun transformée. Celle-ci est, en supprimant les parenthèses {x), pour abréger l'écriture,
. /', du d'/.\ r. ' o
du /. rfÀ
Pour faire disparaître le terme en u, on choisira donc l par la condition
ce qui revient à dire que À est une intégrale particulière de Véquation linéaire sans second membre (8) qu'on déduit de l'équation (7) donnée en remplaçant le second membre par 0.
L'équation (12) se réduit alors à :
qui s'intègre par une quadrature
dx
On a donc, en portant cette valeur dans (11). l'intégrale générale,
/ y ^\{x)k{x)-hcl{x),
\ avec les deux quadratures
En résumé, on pose dans l'équation y = AU, À étant une intégrale partirulière quelconque de Véquation sans second membre déduite de
54 EQUATIONS DIFFERENTIELLES
régualion donni-i'; u disparait dans l'équation transformée, qui ne contient plus qw t— , et s'intègre par une quadrature.
La constante arbitraire figure au premier degré dans la valeur générale de y.
Remarqué I . — Soit g^ une solution particulière de l'équation (7); on aura donc, d'après la formule (15), pour une valeur c=zc^ de la constante
En retranchant de y = Ak-\-cl,
il vient y j/^ = (c Co)X.
Mais c — Co est, comme c, une constante arbitraire. En la désignant par c\ on a donc ?/ = «/„ h- c'a. On peut enfin remarquer que a étant une intégrale particulière de Téqualion sans second membre, c'a en est l'intégrale générale.
Donc : l'intégrale générale ds l'équation (7), avec second membre, peut s'obtenir en ajoutant, à une intégrale particulière de cette équation, l'intégrale générale de Véqtiation sans second membre qui s''en déduit ^^K
L'intégration se simplifiera donc, si on peut calculer directement une intégrale particulière de l'équation donnée.
Remarque 2. — Comme cX{x) est l'intégrale générale de l'équation sans second membre, le changement de variable t/ = MÀ(a:) revient à remplacer la constante d'intégration c, dans celte intégrale générale, par une variable u. C'est ce qu'on appelle : employer la méthode de la variation des constantes.
Exemple 1. — Les équations linéaires se rencontrent fréquemnieut en piiysique. C'est ainsi que Vinlensilé d'un courant de fermeture est définie, en fonction du temps t, par réquation
Dans celte équation, i est l'intensité variable du courant, R la résistance du circuit, L sa self-induction; le courant est supposé fermé sur une source, de force eleclromotrice E et de résistance négligeable (ou comprise dans H). On suppose R, L, E donnés, et constants.
L'équation a alors la solution particulière constante '=r(- fJ'aulre part, l'équadi dt
di
tien sans second membre, L j-. + Ri = 0, s'écrit dt ,
et son intégrale est, par suite,
(1) Comparez numéro 330, théorème L
EQUATIONS DIFFERENTIELLES 55
L'intégrale de [1] s'obtient donc en ajoutant a i = ce i- , solution générale de [-], E la solution particulière 1 = 1. de [1], ce qui donne la formule
[3] i = ce L -t- R •
ï?i on compte le temps l à partir du moment où on ferme le circuit, l'intensité i est
nulle pour / = 0; c'e^t-ù-dire que la solution qui convient au problème s'obtiendra en
choisissant, dans [3], la valeur de la constante d'intégration c de manière que cette
formule soit vcrifiie par i = 0, i = 0. Gela donne
0 = c + j^, ou Cz= — ~.
La solution particulière de [1] qui répond au problème est donc
L'intensité i, ainsi définie, croit avec l, et tend vers i = -n pour l infini. Comme
l'exponentielle e •- tend vers zéro très rapidement, l'intensité i atteint très vile une valeur voisine de sa valeur limite y., qui correspond au réyime régulier du courant, -supposé établi.
Exemple 2. — Soit à intégrer l'équation linéaire complète :
[1] sinxj^ — y=:cosx.
Uéqualion sans second membre correspondante, est :
dy n dv dx
y sinx
D'où, en intégrant, l'intégrale générale de cette équation ') : log-J = logjtg||, y = ctg|.
Mais on n'a besoin que d'une intégrale particulière. On posera donc, dans la proposée,
[3] . .v = "tg|
ce qui revient à faire varier la constante c. 11 viendra ainsi
r. X du , 1-1 .X
sinx tg:r.:T- + u — utgs = C03x.
[2] sinx~-y^O,
r. X du , 1-1 . X
Le coefficient de u disparaît bien, car
sinx """"2
(1) On devrait écrire à la ligne suivante, d'après le calcul, j':=ci tg^i; mais eu
posant c' = c, et c'=: — c, suivant que tg^ est positif ou négatif, cette formule
devient y = c tgij, ou c est une constante arbitraire; et en remettant la lettre c
pour c', on a la formule du te.xte.
56 EQUATIONS DIFFERENTIELLES
. ., , . , X du , cosxdx et 11 reste sinxtg^j., =cosx, du = -•
" ^ sinxtg^
Pour intégrer •', on posera tg^ = /; d'où :
\ — ti 2t . 2dt
COSa==^ — : — -, Sinx = ^ — : — 73. dx^
et, par conséquent,
On décompose la fraction rationnelle en / en éléments simples, en écrivant l — l'- (\ + t'-) — 2t'- \__ 2
Donc
et
dl 2dl
u = -|-2Arctgt + c. (< = tg|, | = Arctg<j. De a, puisque y = ut, d'après [3], on conclut l'intégrale générale cherchée :
Exemple 3. sinx^ — v = 5.
On aperçoit immédiatement la solution particulière j = — 5. L'intégrale générale de l'équation sans second membre étant (exemple 1), J = ctg.j, l'intégrale générale
est ici : j = c tg.j — 5.
dY Exemple U. x-^ — j ^ x-.
L'équation sans second membre, xdv — ydx = 0, a la solution évidente i = x.
dv ' II suffit d'écrire la proposée, x -^ =^ y -\- x~ , pour apercevoir la solution y = x-.
L'intégrale générale est donc : y z= x- -{- ex.
325. Équation homogène. — Une équation difTérenlielle du premier ordre e?t dite homogène, si elle ne change pas quand on y remplace x par Ixx, et y par ky, où k est une constante quelconque. On remarquera que, dans ces conditions -A ne change pas puisqu'il devrait être remplacé par . , , qui est égal à —-=1-^, k étant constant par hypothèse.
(1) Nous appliquons la méthode générale. On obtiendrai! le résultat plus rapidement, en écrivant :
l-sin2| d(|)
du = — dx = — — ^ dx,
1 SI 11- - sin--
d'ou jj " — (Olg- — x4-c.
E(iUATIONS DIFFERENTIELLES 57
Dans le cas où l'équation est une équation du premier degré
la détinition précédente équivaut donc à dire que [{kx, ki/)z= f(x,y), identiquement, c'est-ài-dire que f{x, y) est homogène de degré zéro en X et y, ou enfin que /est de la forme t>(-) (n" 190).
Au point de vue théorique, la résolution par rapport à .'^ d'une équation de degré quelconque,
ramènera toujours à des équations du premier degré -M ^f{x,y).
Nous avons donc seulement à examiner, comme équations homogènes, les équations du type
On obtient la séparation des variables en faisant le changement d'inconnue
(17) -, = u, ou y = ux. (18)
On en tire, en effet, dy=zxdu-h udx; et l'équation (16) devient du ^ , , du ,
^S-^" = '^(")' °^ ^^ = =?(") -"• C'est une équation linéaire sans second membre, si on considère x comme la fonction inconnue, et u comme la variable indépendante, car elle s'écrit :
rr X'L(u) = 0, avec 'h(u) = ~r- •;
elle s'intègre donc par une quadrature.
y^ = f-b {u) .du, ou logî = f-l (u) du, X = cef^'""" •
La variable x étant ainsi calculée en fonction de u, la formule (18) donnera aussi y en fonction de u; et les courbes intégrales seront définies paramétriquement en u.
On pourra aussi remplacer u, dans la formule x =z ce^ '^''"^''" , par sa
valeur -^ , ce qui donnera une équation non résolue en x et y.
Exemple. ^ — ^~^.
dx y -\- X
Le second membre est homogène de degré zéro en x et y. En posant v = ux, il vient
xdu + udx ux — X du , u — 1 du u — 1
dx ux + x' dx~ u+1' dx~u-{-\
Donc
du __ ui+i ^dx~ u + 1 '
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
dx {u-\- \)du
En intégrant membre à membre, il vient donc
udu
du
log- = — Jogs/u- + * — «rc Igu,
[1] .r \u- + 1 = ce-""'c".
Remplaçons maintenant u par sa valeur - ; et nous obtenons :
Remarque.
ou enlin
\x- + y- = ce
-'"•«• tg 7
La représentation paramétrique est plus simple, si on change de
paramètre, en posant arc tgu = 6 : on a ainsi u = tgO, \'u- -\- 1 =-;— ^ . La formule [1 ]
se réduit à x = ce-\cos6; et >- = ux donne alors y = ce-' cos6 tg:6 = ce-'' sinO.
Les courbes intégrales sont donc
x = cc~*cos6, )' = ce~'sinO;
c'est-à-dire les courbes représentées, en coordonnées polaires, pai' r = cc''. Ce sont
des spirales logarithmiques.
dv Ce résultat tient à ce que l'équation difTérentielle s'écrit, en posant ^^ = tg'f, (ouqi
est, par consrquent, l'ang'le de l'axe des .r avec la tangente à une courbe intégrale),
tjrô— 1
tg?^
