APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRE

et il n'y a qu'à appliquer le théorème pour conclure

11. Système de deux équations du i" degré à deux inconnues. — ThkorÏl.mk. — Lu si/stèmc de deux éfiunlions du /"" degré à deux hicounues, c'est-à-dire de la forme

ax -\- by -h p = 0,

a une solution et une seule^ si le déterminant des coefficients des inconnues,

nest pus nul.

Considérons en etî'et le déterminant

dans lequel », y, r onL des valeurs arbitraires.

En le développant suivant les éléments de la dernière ligne, on a

(2) (-)^wU-h«V-hrRi

avec

je dis que les valeurs

sont une solution de (1). En efïel si on prend en particulier u = a, v = b, r^p, le déterminant 0 est nul comme ayant deux lignes identiques, c'est-à-dire que Ton a, par les formules (2) et 3),

0=K{ax^~hby„-^p}\

or, R est ditTérent de 0 par hypothèse ; on a donc ax^ -+- by^ -f- p = 0, On voit de même, en faisant u = a', t' = 6. /• = />', que

a'x„-\-b'y^-Jrp'=^0.

Donc X = x^ el y = y^ satisfont bien aux équations (1). Je dis de plus qu'il n'y a pas d'autre solution du système (1). Soit

THEORFE ET APPIICATIOXS DFS I>ÉTERïri:?«ANTS

en effet x = x,, t/ = y, U'ae solution quelconque de ce système. Nous pourrons écrire, d'après la propriété VI des déterminants,

n b aa\ -4-6»/, -h p 0=:= a' b' a'x^-i- b'y^-hp' u V uXj -h i'J/, -I- r

ce qui se réduit, en vertu de l'hypothèse, à

u V llx^ -h r»/, -h p

c'est-à-dire, en développant par rapport aux éléments de la dernière colonne,

(4) 0 = R (wa?, -\-vy^-hp).

Comparant aux formules (2) et (3), il vient

0 = R {ux^ -\-vy^-\-r)=z'R( HX,, -+- vy^ h- >•)

c'est-à-dire, puisque R:7^0,

ux^ H- vy^ -f- )■ = uXq -+- vy^ H- r.

Cette égalité devant avoir lieu quelles que soient les valeurs des indéterminées m, v, r, nous en concluons, d'après le corollaire du numéro 1, x^=^Xg, y^ = y^,. Donc toute solution se confond avec la solution (3), et le théorème est démontré.

Remarque. — Les numérateurs des formules (3) s'obtiennent explicitement au moyen du déterminant H. c'est-à-dire qu'on a, en tenant compte des formules (1') et (2')

bp' — pb' ab' — ba' '

?/o— ab' — ba

Élimmntion. — La considération du déterminant H fournit la condition nécessaire et suffisante pour que la solution du système (l) (dans l'hypothèse R^^O) satisfasse à une nouvelle équation :

Il suffit de faire u = a", v = b", r = p". ce qui donne pour 0 la valeur

toujours par les formules (2) et (3). La condition à exprimer étant