APPLICATIONS AUX EQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

et R n'élant pas nul, celte condition s'écrit sous forme de déterminant :

Cas d'impossibilité ou d- indéterminnlion . — Nous allons revenir maintenant au système (i\ pour examiner le cas où R est nul.

Si 11 = 0, nos raisonnements ne sont plus entièrement valables et les formules (3) ne sont plus valables non plus. Si on adm»^t qu'il y ait une solution x^=x^, y = î/, on obtient encore la formule (4) qui montre, puisque R = 0, que <■) est nul, quels que soient u. r, r. Kn reprenant la formule (2), on voit alors que les déterminants U et V doivent être nuls tous deux.

Donc, si R=:0, le système est impossible à moins que U el \ ne soient nuls aussi. On peut remarquer que dans ce cas. les formules (3) prennent une forme indéterminée tandis que si U et V ne sont pas nuls tous deux, l'une au moins exprime une impossibilité.

Pour examiner la question plus complètement, supposons d'abord que les i éléments de R ne soient pas nuls tous les quatre; on peut alors supposer que az^tO. puisque cela revient à choisir convenablement les lettres qui représentent les inconnues, et à ranger convenablement les équations données.

Employant alors la méthode d'élimination, nous pourrons tirer x en fonction de y de la première des équations (1) el chercher à déterminer y de manière que cette valeur satisfasse à la seconde équation. La condition pour qu'il en soit ainsi est, d'après le résultai du numéro 1 (élimination),

a by -hp 1 ^.

ou, en décomposant en deux déterminants (Pr. III et IV du n" 4),

c'est-à-dire, puisque R = 0,

Or celle condition qui, d'après (3'), peut s'écrire V = 0, ne dépond pas de l'inconnue y. Donc, ou bien V est nul et toute solution de ax -h Ay -h /) := 0 satisfait à a'j^-h è'y -f-p' = 0; c'est-à-dire que la

THEUlUi: ET APPLICATIONS DI.S DETERMINANTS

seconde des équations (l) est conséquence de la première, ou encore que le système est indéterminé. Ou bien V n'est pas nul, et aucune solution de la première des équations ne peut vérifier la seconde, c'est-à-dire que le système est impossible.

/{emarquc 1. — Le déterminant V, qui donne, égalé à zéro, la condition de possibilité, se forme en bordant à droite l'élément a de II qui est supposé non nul. avec le terme constant de l'équation où il figure, et en écrivant au-dessous les coefficients correspondants de l'autre équation, comme l'indique le schéma :

a] p a' p' On l'appelle le déterminattl caraclérislique.

Remarque II. — Si les i coeflicients a, b. a, b' , sont tous nuls, la conclusion est immédiate, le système se réduisant à /)==0, p'^^O. Si les nombres p, p' ne sont pas nuls tous deux, il y a impossibilité. Il y a indétermination complète, s'ils sont nuls tous les deux, car alors tout système de valeurs attribuées h x q{ y vérifie les équations (1).

Remarque III. — U résulte de toute cette discussion que si le déterminant R, qu'on appelle déterminant du système, est nul, il y a toujours impossibilité ou indétermination.

12. Système de 3 équations du 1 " degré à 3 inconnues. — La forme générale d'un système de 3 équations du 1" degré à 3 inconnues est :

ax -h by -i-cz -h q =(), (8) a'x ^b'y-hc'z -\-q' =0,

Théorème l. — Si le déterminant des coefficients des inconnues n^esC pas nul, le système a une solution et une seule. Considérons en effet le déterminant

abc

u V IV

où u, V, w, s ont des valeurs arbitraires. Si on le développe suivant les éléments de la dernière ligne, on a

avec

e = mU -H uV -h 2<;W H- aS,

abc

AI'PLICATIONS AIX EQL'ATIO.NS l)L IMIKMIKII DKGRK

et comme

est supposé non nul, on peut écrire

(9) H=^^ux,-{-vy, en posant

Je dis que x = Xq, ij = i/^^, - = -o ^st une solution du système (8). E» effet, si on prend u = a, v::= b, w = c, s^q, le déterminant h devient nul comme ayant deux lignes identiques, et la formule (9) donne

0 — S iax,,

c'est-à-dire, puisque S=?i:0, aj7„ -h //t/g-i- c:„ -f- 7 = 0. Les valeurs (lOj satisfont .donc à la première des équations (8), et on verrait de même qu'elles satisfont aux deux autres.

Je dis de plus que le système (8) n'a pas d'autre solution. Kn effet, soit a- = a;,, y^y^, z = z, une solution quelconque de ce système. On peut écrire, d'après une propriété des déterminants,

ax^

-^cz.

Ma-,

Or en développant ce nouveau déterminant suivant les éléments de la dernière colonne, et en remarquant que les trois premiers de ces éléments sont nuls, puisque j'^ar,, (/=:=(/,, 2 = z,, est solution du système (8), on a

H = S(wa?, -h l•^j^ -h wz^ -h s).

Comparant cette formule à (9), on en déduit, puisque Sr7=0,

ua-(, -f- yj/o + ^^'-0 -h s = wJ^i -h y.Vi ^^^ '^-i ~*~ * '

et, comme ceci a lieu pour toutes valeurs de u, t', w on en conclut (n° 10)

^1 = ^0' yi = yo. =i = V C.Q.F.D.

Élimination. — La considération du déterminant S donne (dans--

THEORIK ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS

rhypolhèsc 8=0) la condition nécessaire et suffisante pour que la solution du système (H) satisfasse à une quatrième équation

a"'x -+■ b"'ii -h c"'z -hv/'" = 0.

Cette condition est n"'x^-j- b"'y^-\- c"'z^-^ q'" = 0. Et si on fait dans CD

{/ z= a" . V = b'\ IV =^ c", s ^= q", il vient

La condition cherchée est donc, puisque S ^=0,

Théorème II. — Si le déterminant des coefficients des inconnues est nul, le syslème est impossible on indéterminé.

i" Quand le déterminant S du système (8) est nul, il faut considérer ses mineurs, c'est-à-dire les déterminants qui s'en déduisent en barrant de toutes les manières possibles une ligne et une colonne. Nous supposons d'abord que l'un de ces mineurs ne soit pas nul; on peut supposer les notations choisies de manière que ce soit le mineur

1 fl h \ a' b' \'

On peut alors (voir n" 11) résoudre les deux premières équations (8) par rapport à a; et à »/ et chercher à déterminer 2 de manière que les valeurs trouvées satisfassent à la troisième équation (8). Or la condition pour qu'il. en soit ainsi est (voir n" 11)

et cette condition s'écrit, d'après une propriété des déterminants

Le coefficient de : est le déterminant S, qui est nul par hypothèse. La condition se réduit donc à une égalité où z ne figure pas, à savoir :

APPLICATIONS AUX EQUATIONS Dr PREMIER DEGHK

Si donc le déterminaDt qui forme le premier membre de celte égalité (II), et qu'on appelle alors le déterminant carnrtéristiqnfl, n'est pas nul, il est impossible de choisir z de manièrp qu(; les valeurs de x et y qui vérifient les deux premières équations (8) satisfassent à la troisième, et le système est impossible. Si au contraire le déterminant caractéristique est nul, on peut donner à : une valeur arbitrnire et les valeurs de a: et y tirées alors des deux premières équations (H) satisfont ù la troisième. Donc le système est indéterminé, c'est-à-dire qu'il a une infmilé de solutions, et on peut dire qu'il se réduit ;i ses deux premières équations, la troisième en étant une conséquence.

Remarque. — Le déterminant caractéristique se forme en bordant à droite le mineur R qui n'est pas nul avec les termes constants des équations qui fournissent ses éléments, et en écrivant au-dessous les termes correspondants de la troisième équation, suivant le schéma :

2° Supposons maintenant que les mineurs de S soient tous nuls, mais que l'un au moins de ses éléments ne soit pas nul; on peut supposer que c'est a, par exemple, qui n'est pas nul. .\lors nous tirons la valeur de X de la première équation et nous cherchons à déterminer y et : de manière que cette valeur satisfasse aux deux autres équations (H). Les conditions pour qu'il en soit ainsi sont (voir n" 10) :

by b'y

cz c'z

La première par exemple peut s'écrire

by -+- cz

Or le coefticient de y et celui de z sont deux mineurs de S et sont nuls par hypothèse; elle se réduit donc à son troisième terme. Le même calcul peut se répéter pour la deuxième condition. Les conditions cherchées sont, par suite, en définitive :

THEOKIE ET AIMM.ICATIO.NS DES DKTKUMINANTS

Comme elles ne conlieniienl ni y ni :. on voit que si les deux déterminants

qui prennent le nom de déterminants caractéristiques, ne sont pas nuls tous les deux, le système est impossible. Et si ces deux déterminants sont nuls, le système est indéterminé; car on peut donner à j/ et : des valeurs arbitraires, et en leur associant la valeur de x tirée de la première équation (8), on a une solution du système. On peut dire encore que, dans ce cas, les deux dernières équations 8) sont des conséquences de la première; ou que le système se réduit à sa première équation.

Remarque. — Les déterminants caractéristiques

s'obtiennent en bordant à droite l'élément non nul avec le terme constant de l'équation où il figure, et en écrivant au-dessous successivement les éléments correspondants dans les deux autres équations du système.

3° On peut enfin supposer que tous les éléments de S sont nuls. Le système se réduit alors à

donc, si q, q\ q" ne sont pas nuls tous les trois, il y a impossibilité, et s'ils sont nuls tous les trois, il y a indétermination complète.

13. Cas général. — La méthode employée pour étudier le système (8) peut s'appliquer a tous les cas. Nous nous bornerons à énoncer les résultats pour un système de quatre équations à quatre inconnues :

ax -h by

■+-CZ -\-dt -h m

Si le déterminant

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qu'on appelle encore le dcterininnul tlu sijslème, nesl pas nul, le système a une solution et une seule donnée par les lurmules