II
Si K est nul, il y a impossibilité ou indétermination. D'une manière plus précise :
1" Si l'un au moins des mineurs de K n'est pas nul, par exemple
abc
on a seulement à considérer un déterminant caractéristique
abc a' b' c a" b" c"
ni
Si ce déterminant caractéristique n'est pas nul, il y a impossibilité; s'il est nul, le système se réduit à ses trois premières équations, et est indéterminé.
2° Si tous les mineurs de K sont nuls, il faut considérer ses mineurs du second rang, c'est-à-dire ceux qu'on obtient en barrant dans K deux lignes et deux colonnes, de toutes les manières possibles. Si l'un d'eux n'est pas nul, par exemple si
il faudra considérer deux déterminants caractéristiques
S'il ne sont pas tous les deux nuls, il y a impossibilité; s'ils sont tous les deux nuls, le système se réduit à ses deux premières équations, et est indéterminé.
THÉORIE ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS
3" Si tous les mineurs du second degré de K sont nuls, il pourra arriver qu'un élément au moins, a par exemple, soit différent de zéro. 11 servira alors à former trois déterminants caractéristiques,
in
Si ces trois déterminants ne sont pas tous nuls, il y a de nouveau impossibilité; s'il sont tous nuls, le système est indéterminé, et se réduit à sa première équation seule.
4' Enlin, dans le cas où les éléments de K sont tous nuls, il y a impossibilité si ?«, m\ m", vi" ne sont pas tous nuls, et indétermination complète si ces quatre quantités sont nulles.
Remarque. — La méthode employée s'applique aussi au cas où le nombre des équations est différent du nombre des inconnues; on cherche à résoudre par rapport à certaines inconnues autant d'équations du système que Ion pourra; et ;\ exprimer ensuite que les valeurs trouvées satisfont aux autres équations du système.
14. Équations homogènes. — Un système d'équations linéaires est dit un systèine d'équations homogènes si les termes constants sont tous nuls dans les équations du système. — Un tel système admet toujours au moins une solution, obtenue en donnant la valeur zéro à toutes les inconnues; il n'est donc jamais impossible. Considérons par exemple un système contenant autant d'équations que d'inconnues :
ax -h ày -\- cz =0,
(13) a'x -hb'y ^c'z =0, a"x H- 6 "y -h c"z ^= 0.
Si le déterminant du système,
abc
n'est pas nul, nous savons que le système n'a qu'une solution, qui est par conséquent
Si ce déterminant est nul, comme cette solution existe toujours, le système est' indéterminé, c'est-à-dire qu'il a d'autres solutions que celle-là.
Donc :
Théorème. — Pour qu'un système d'équations linéaires homogèneSy contenant autant d'équations que d'inconnues, admette une solution autre
AHFLKIATIONS A i.A ttÉOMeTHlH ANALYTigCE
ijue In solution ohlenue en donnant lu valeur zéro à toutes les inconnues, il faut et il suffit r/ue son dt'tertntnatit soit nul.
(Jn peul aussi dire :
Pour que le délermioanl (14) soit nul, il faut et il suffit qu'il existe trois nombres r. y, :, qui ne soient pas nuls tous les trois, et tels que les égalités (13; aient lieu.
Donc :
Thkohlmk. — l'ijur qu'un déterminant soit nui, il faut et il tuffit qu'il existe une uiêmc relation, linénire et homnr^ne, à coeffirienls non tous nulx, entre les éléments corrt'spondanLii de sea diverses lignes (ou de ses diverses colonnes).
14''*. Cas particuliers. — Considérons encore le système ax -^ Ijij -hC5 =0, a'x -f- b'if H- c'z = 0,
Nous pouvons essayer de le résoudre, soit par rapport a y et ;, soit par rapport à : et ar, !»oit par rapport à x et y; ce qui conduite considérer les trois déterminants
(16) * Qz=ca' — ar'
R = ah' — ha que l'on forme av'ic le tableau, ou matrice,
des coeflicienls des équations (15j, en supprimant successivement les trois colonnes et afFeclant du signe — le second des déterminants ainsi obtenus.
Ils se déduisent les uns des autres en permutant circulairement les les lettres a, />, c.
1" Supposons d'abord que ces déterminants ne soient pas nuls tous les trois. Nous pourrons supposer, pour fixer les idées, que U au moins n'est pas nul, et résoudre alors fl5) par rapport kx et y. I,e déterminant auxiliaire <^ du numéro ^ peut s'écrire : a h cz h=:^ a' h' c'z =:^ uU — t;\ - / Il ; u V r
et l'on a : U= F:. \' ~(jz.
La solution de (15j est donc donnée par les formules
THEORir. ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS
OÙ la valeur de ; est arbitraire. Or quelle que soit celte valeur de :, nous pouvons en déduire un nombre "a par la condition
puisque R n'est pas nul; et, inversement, à toute valeur de À la formule (17)' fait correspondre une valeur de ;. On peut donc considérer 2 comme déterminé par la formule (17),' où a est arbitraire; et alors les formules (17) deviennent
x = XP, y=ÀQ.
On arrive donc à cette conclusion :
Théorème. — Lorsque les délermincnUs P, Q, H, formés avec le tableau des coefficients des équations (la), ne sont pas nuls tous les trois^ la solution 1er plus générale de ce système est donnée par les formules
(18) .r = AP, y = XQ, z = -aR,
•oii À est un fadeur arbitraire.
2° Si les déterminants P. Q, 1{ sont nuls tous les trois, on suppose, par exemple, a = 0, et on applique la méthode de substitution en tirant .r de la première équation et portant dans la seconde. Le résultat de cette élimination est, d'après le numéro 1,
a by -h cz
= l\y — Qz = 0 .y — O.z.
C'est donc une identité. Le système se réduit, par suite, à la seule équation (15), ou encore à
by^ cz
-qui donne la valeur de x, les inconnues y ei z demeurant arbitraires.
