APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

15. Problèmes d'intersection. — 1" L'analyse du numéro 10 trouve son application immédiate au problème de V intersection de deux droites, dans la géométrie analytique plane. Les équations

(1) ax-\- by -+- p = 0, a'x -h b'y -+- p' = 0,

sont, en effet, les équations de deux droites; et toute solution du

système (1) fournit les coordonnées d'un point commun à ces deux

•droites.

Le cas où le déterminant du système, R =

, n'est pas nul

AI'IM.ICATKINS A LA GKOMKTUI i; ANALVTigi K

est donc celui d'un point d'interseclion Mnif[ue, c'est-à-dire le cas où les droites sont concouranles; le point cniniiiun est alors donné parles roriiiules (3) du numéro 11.

Dans le cas R = 0, ou bien il n'y a aucun point d'inlerseclion, ou l)ien il y en a une infinité (tous les points de la seconde droite sont alors sur la première). Donc il y a alors parallélisme des deux droites si le déterminant caractéristique n'est pas nul; et les deux droites sont confondues si ce déterminant caractéristique est nul.

On vérifie facilement que ces résultais sont d'accord avec ceux de l'élude directe faite au numéro 214 (tome I); en parliculier que la condition R=a6' — ba'--0 est bien, aux notations près, celle qui a été trouvée alors, pour exprimer que deux droites ont la même direction,

La condition

(5) a' ly p' =0,

fournie par l'élimination de j- et y entre les équations (1) et une autre équation analoj^ue

exprime que la droite (5) passe par le point de rencontre des deux premières. On est alors dans l'hypothèse ab' — ^a'^iO, c'est-à-dire que ces deux droites sont supposées concourantes. En tenant compte de la symétrie de la condition (6) par rapport aux coefficients des trois droites, on conclut donc que, si elle est remplie, ou bien deux des droites concourent et la troisième passe par leur point de rencontre, ou bien les trois droites ont la même direction. Dans ce dernier cas, la condition (6) est aussi remplie, comme on le voit en développant le déterminant par rapport aux éléments de la dernière colonne.

^" On verra de même que l'analyse du numéro 11 permet de résoudre et de discuter le problème de l interscclion de trois plmis. Nous laisserons au lecteur le soin de faire cette interprétation en détail. La condition

exprime que les plans ax-i-b)j^cz-\-q=^0, a'x-i'b'j/-{ sont ceux des faces d'un trièdre.

MATH. GÉMÉHALES. — II. '

0, a"ar+6"y-f-c":-^7"=0

THEORIi: ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS

3" Le cas traité au numéro 13 est celui de rinterseclion de trois plans qui passent à Torigine des coordonnées.

•4" Le tl)éorème du numéro 14 l'ournil les coordonnées d'un point quelconque de l'intersection de deux plans passant à l'origine des coordonnées. Il donne par conséquent les cocfficienls de direction d'une droite définie par deux plans (t. I, n" 247). Si les équations de ces deux plans soûl

ax -\- by -{- cz -{- q z^ 0, a'x -+- b'y -h c's -h 9' =:= 0, ■ la droite d'intersection a pour coefficients de direction les déterminants

P = Ac' — cù\ Q = ca' — ac\ 11 = ^/6' — ba' que fournit, (comme il a été expliqué au n" 14), le tableau

des coefficients de x, y, z.

46. Équations de droites et de plans satisfaisant à diverses conditions.

1° Droite passant par deux points. — Soient, en géométrie plane, les deux points A, (ar,, y^), et B, (.r.^, y^). La droite AB a pour équation

Celte équation représente en effet une droite; car elle est du premier degré en a-, y, comme on le voit en développant le premier membre suivant les éléments de la première ligne; et les termes en x et 1/ ont pour coefficients

Ui — lit-

= — (Xi

qui ne sont pas nuls tous les deux (sans quoi A et B auraient les mêmes coordonnées, et seraient confondu.s).

De plus, le premier membre de (1) s'annule pour x^x^, y:=y^, car c'est alors un déterminant qui a deux lignes identiques. Donc la droite (1) passe par le point A; et on voit de même qu'elle passe par B. C'est donc bien la droite AB.

2° Plan passant par l'origine des coordonnées et par deux points. — Soient les deux points A, (x,, ?/,, z,), et \i,{x.,, y.^. z.^), que nous sup-

AI'PLir.ATIONS A LA fiBOMKTIUE ANALYTIQL'K

posons n'être pas alignés avec l'origine O. Le plan OAB a pour équation

1 Vi

■« Vi h I

En effet, cette équation est du premier degré en x, y, z, comme on le voit en imaginant qu'on développe le premier membre suivant les éléments de la première ligne; et elle n'est p;is une identité, car les coefiicients dé x, y, z sont les trois mineurs

Vih — Wi^ '^iX, — x^z„ x,y, — y^x.,,

qui ne seraient nuls tous les trois que si A et b étaient en ligne droite avec 0 (voir t. I, p. 396).

Donc l'équation {±) est celle d'un plan; et on voit, comme précédemment, qu'elle est vérifiée, soit par a; = a?,, y = (/j, 2=:z,, soit par a? = X2, yz=:y,,, z=:z.,. Elle représente donc un plan qui passe en A et B; et qui passe aussi en 0, car tous les éléments de la première ligne du premier membre sont nuls pour x = 0, j/ = 0, z = 0. C'est donc bien l'équation du plan OAB.

Conséquence. — La condition •

abc a' b' c' a" b" c"

exprime que les droites de directions (a, b, c), («', b', c'), (a", b", c") sont parallèles à un même plan.

Soient en effet M, M', M" les points qui ont pour coordonnées (a, 6, c), (a', b', c'), (a", b", c"). Il faut montrer que la condition (3) exprime que OM, OM', OM" sont dans un même pian; c'est-à-dire que M, par exemple, est dans le plan OM'M". Or ce plan a pour équation, d'après ce qui précède,

de sorte que l'équation (3) exprime bien qu'il contient le point M, de coordonnées x = a, y = b, z = c.

Remarque. — La condition (3) exprime, d'après ce qui précède, que

les trois vecteurs OM, OM', OM sont dans un même plan. Cela équivaut à dire que trois vecteurs de composantes (a. b, c). (a', 6', c), (a", 6", c"), placés d'une manière quelconque dans l'espace, sont parai-

TIIKOHIK KT APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS

lèles à un même plan; ou encore que ces vecteurs sont dans un même plan, s'ils ont même origine.

3' Plu)} passiint par iii} point et parallèle à deux droites. — Soient (a-j, y^, Zg) les O(tori.lonnées d'un point A; et (a, b, c), (a', b', c') les coertîcients de direction de doux droites D et D'. .le dis que l'équation

■'• — •'•-. 7/ — yo

représente le plan II mené par A. parallèlement à D et D'.

Soit, en effet, AM, AM' les vecteurs d'origine A, qui ont pour composantes (a, b, c), (a', b', c'); et soit P le point courant (x, y, z). L,e plan II

considéré est le plan M \M'. juusqne AM et AM' sont, respectivement, parallèles à D et D'.

D'autre part, les éléments x — x^, y — î/o' - ~" -o ^^^ premier membre

de l'équation (5) étant les composantes du vecteur AP. celle équation

exprime, d'après la remarque ci-dessus, que les trois vecleurs AP.

.\M, AM' sont dans un même planj c'est-à-dire que le point P est dans le plan MAM'. C'est donc bien l'équation de ce plan, c'esl à-dire du plan II considéré.

Remarque. — L'oijualion (eu géoiiiolrio plane) de la droite qui passe par le point (Xfl, jy) et qui est parallèle ii la direction (a, h),

•r — ar,, v — Vo

s'écrit aussi sous Ja forme