Y — yo b
où intervient un déterminant à deux lignes et deux colonnes.
■i" Droite passant par deilx points. — Soit, dans l'espace. les deux points A, {x^, ?y,, :,), et B, (j-^, y.^. :J. On peut écrire immédialenv^nt les équations des trois plans qui projeltent la droite AB sur les trois plans coordonnés; car ce sont celles qui représeuleraienl, dans chacun des plans de coordonnées, la droite qui joint les projections de A et B sur ce plan.
Ces trois plans projetants ont donc pour équations
o" Plan pa:iS(tnt par trois points. — L'équation du plan qui passe
APPLICATIONS A LA CKOMÉTIIIE ANALYTIQl'E
par les trois points, non en lif;ne droite, (x,, j/,, :,), (.r,, (0-3, V3, 2,), est
Ih
Kn so servant du résultat précédent, on voit, en ofTel, (jue les coefficients de r, y, : dans cette équation — (qui est du promicT degré) — ne seraient nuls tous les trois que si le point (.r,, </,, :,) était sur la droite définie par les deux autres points donnés. Comme cette équation (7) est vérifiée poura::=x,, i/^(/,, ; = :,, pour j' = a?.^, y = y,^, 2 = :.,, et pour j^^Tj, ij = y^, 2 = 23, puisque, dans ces trois cas, le premier membre est un déterminant qui a deux lignes identiques: et que, d'après ce qui précède, elle représente un plan, c'est bien rtMjuation du plan considéré.
17. Applications. — 1° Plan oscahilear à une courbe (jauche. — Le plan osculateur à la courbe gauche
(S) x = 9[t), y = 'Hi)> z = /.{0'
en l'un de ses points — (de paramètre t) — est celui qui passe par ce point, et est parallèle aux deux directions de la vitesse {x\ y\ 2), et de l'accélération (x", y", z"). Par application de la formule (o), on écrira donc immédiatement l'équation de ce plan osculateur, avec les coordonnées courantes X, Y, Z, à savoir :
2° Plan tangent en un point dune surface. — Des équ ations de la forme
OÙ u et y sont deux paramètres variables, représentent une surface '".
En effet ces équations représentent, pour chaque valeur fixe de v, une courbe — (dite courbe u:= constante) — , dont elles sont les équations paramétriques — (avec le paramètre u) — ; et, quand v prend toutes les valeurs, les formules (10) donnent ainsi les points d'une famille de courbes v = constante, dont le lieu est la surface en question.
On.voit donc que ces équations paramétriques {[Q) définissent une sur-
(1) Nous en avons rencontré de cette forme (t. I, p. 416), pour représenter les surfaces de révolution : les paramètres y étaient désignes par t el z.
TIIEOIUE ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS
face (S), comme engendrée par les courbes obtenues en donnant à r,
dans ces équations, ses diverses valeurs (constantes).
Elles définissent la même surface (S), comme engendrée par les
courbes i/ = constante, obtenues en considérant u comme constant,
et r comme un paramètre variable.
Chaque point M de S s'obtient en donnant à u et à u des valeurs
déterminées; et par ce point passent les deux courbes MB et MA (courbe u=: constante et courbe y r= constante), qui correspondent respectivement à ces valeurs u elv des deux paramètres.
Le plan langent à S en M est délini par la tangente MU à la courbe i' = constante, et par la
tangente MV à la courbe u = constante. Les coefficients de direction de
la première sont, d'après les équations (10) de la courbe, où u seul
varie,
