MV
Cela posé, l'équation du plan langent s'écrit immédiatement, par application de la formule (o). Nous désignerons ici les coordonnées courantes par X, Y, Z, qui remplaceront x, y, z dans cette formule; le plan devant passer par le point (10), il faudra remplacer x^, y^, z^ par /■(u, u), g(u, u), h{u, v); enfin les coefficients de direction (a, è, c), {a, b\ c'), seront ceux que nous venons de trouver pour MU et MV.
L'équation cherchée est donc
(in
18. Aire d'un triangle. — L aire du triangle ABC, dont les. trois sommets ont. en géométrie plane, pour coordonnées :
A, (a:,, y,); B, fx.,, y,); C, (x,, t/3).
APPLICATIONS A LA GEOMKTIilK A.NALYTiyiE
est donnée, en grandeur el signe (avec la convenlion expliquée n" .{'«1), par la formule :
Nous le démontrerons, en nous servant de ce que le double de celte aire n'est pas autre chose (si on imagine un axe 0: perpendiculaire au
plan xO]i considéré) que .a mesure sur 0: du produit verloriel
ABxXc.
Cette projection étant égale à
puisque les composantes des deux vecteurs considérés, sur Ox et 0'/, sont
\ = ./•, — J-j, Y = Ve— .'/n X' = ./■, — ./•,, Y'=^J/3 — V,.
THEORIE ET APPLICATIONS DES DETERMINANTS
tout revient à vérifier que le déterminant (12) est égal à l'expression (13).
A cet effel, nous retranchons les éléments de la première ligne de ce déterminant de ceux de la seconde et de la troisième, ce qui n'altère pas sa valeur; il s'écrit ainsi :
et il n'y a qu'à le développer suivant les éléments de la dernière colonne pour retrouver l'expression (l.'J).
Remarque. — Pour le triangle OAB, dont les sommets sont l'origine et les deux points A, (.r,, j/J, et B, (j.^, y^), la formule (l!2) donne
.r, II, 1
■ï-i .Vi
C'est, aux notations près, la formule trouvée au numéro 201. Cas d'un triangle de l'espace. — Considérons maintenant, dans Z
Vespace, un triangle ABC, et soient (x^, ?/,, ij, [x.^, i/^, :.^', [x^, y^, z^) les coordonnées des trois sommets.
Le produit vectoriel AS = ABx AC a pour grandeur S le double 2-'^
AI'I'LICATIONS A I. A (ll.O.MI.TlUi; ANALVTiyiE
de l'aire du triangle '". La projection sur 0: de ce vecteur AS, est, d'après le calcul précédent,
car AB et AC ont pour coniposautes, respectivement.
A. vTj '~'~~ -ï'i )
Z — Cj — 3,:
et la projection en question est, comme dans le calcul déjà fait,
XY— YX'.
— > La formule (12) montre que cette projection de AS sur 0: a pour
grandeur le double de l'aire du triangle ABC, projection du
triangle ABC sur le plan .rOy . Ceci est conforme au théorème sur la
projection des aires; car l'angle 0 de AS avec 0: est égal à l'angle du
plan du triangle et du plan aO?/, ou à son supplément. Et comme l'on a
—y S. = ScosO, et S = 2.1; on voit bien que S;, projection de^ AS, a pour
valeur absolue 2 i Jl | . | cosô I , qui est le double de la projection de Taire
du triangle.
On arrivera à des résultats analogues pour les projections de AS sur Ox et Oy; et on passera de la formule (li) aux analogues en permutant circulairement les lettres x, y, z. Donc les trois projections du
vecteur AS, qui sont aussi les doubles des aires des projections du triangle, prises avec leurs signes, sont
(15) S. = 2.lv =
2ll
On en conclut, pour la valeur .1. de l'aire du triangle de l'espace, dont le double est la grandeur de AS,
AM^ = S? + S^ -h S^ = .4.b; -+- Ur 4- AM^
ou
jt2 = .l.tH-.l.: + .l>
Ainsi le carré de faire d'un triangle est égal à la somme des carrés des aires de ses projections sur les trois plans de coordonnées.
(1) Celte aire est prise ici en valeur absolue.
TUKORIK KT Al'PMCATlONS DKS DKTIlt.MlNA.NTS
19. Volume d'un tétraèdre. — r:ianl doniK" un lélraèdre AUCD, S coiislruisons le produit vectoriel
ÂSi=ÂCxÂD,
et considérons le produit scalaire
(Ml a
