P = AS.AB

P = AS.ÂJ,

A.l étant la projection de Ali, évaluée algébriquement, par rapport à la direction positive AS.

En valeur absolue, celte projection A.l est égale à la hauteur Uli^rh du tétraèdre, car HB est la projection de AB sur la perpendiculaire au plan de la base ACD, menée par B, perpendiculaire qui est parallèle k AS. Comme AS est égal au double de Taire 'J^ de cette base ACD, on a donc |Pl = 2/j!B, c'est-à-dire que la valeur absolue de P est égale à six fois le volume du tétraèdre.

Quant au signe, il sera +, si AJ est positif, c'est-à-dire si AB est du même côté du plan de la base que AS; et il sera —, dans le cas contraire. . ^

Dans le premier cas, un observateur traversé par AB des pieds à la tête, et regardant CD, aurait C à sa droite, et D à sa gauche. Dans le second cas, cet observateur aurait C à sa gauche et D à sa droite. On dira que dans le premier cas. le vecteur CD est de sens positif par rapport à AB; et dans le second cas, on dira qu'il est de sens négatif

par rapport à AB.

Cela posé, nous donnerons un signe au volume du tétraèdre, de la manière suivante. Les sommets étant écrits dans un ordre déterminé A, B, C, D, le volume du tétraèdre (ABCD) aura pour valeur absolue le tiers du produit de la hase par la hauteur, et pour signe le signe + ou le ^ifjne — . suivant que CD sera, par rapport à AB, de sens positif ou de sens négatif.

Cela revient à dire, d'après ce qui précède, qu'on aura

P = ÂS.âB = (> Vol (ABCD), le volume étant pris avec son signe.

API'LICATKtNS A LA r.l'd.MKTin K ANALVTIOIE 539

Introduisons maintenant les coordonnées des (jualre sonnmcls du tétraèdre,

Je dis que l'on aura

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