ftgf
d'où, à un multiple de r. près, ? = 0 — t, ou ç — 0 = — j. Or, ç> — 0 est l'angle V du rayon vecteur avec l;i tangente (n" 211). On retrouve donc la propriété des spirales logarillimiijiies de faire un angle constant avec le rayon vecteur (ici, l'angle
est-?).
Remarque I . — U résulte de la délinilion des équations homogènes que si une telle équation admet pour courbe intégrale x=^o(t), y^'l(t), elle admet aussi celle qui est définie par
x = A-.cp(/), y = k.'i>{t).
\ tout point M (r, y) de la première correspond, d'après ces formules, le point M' de la seconde, qui a pour coordonnées x' = kx, y' = ky.
Les points M et M' sont en ligne droite avec Torigine, on aUM'^A'.nM
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 59
(n" 78). La seconde courbe (C) esl donc honiclhélique de la][première par rapporl ii 0, dans le rapport A".
On remarquera, du reste, que la méthode d'intégration indiquée conduit à des formules : x^c.-/{u), y = c.u/{u), qui mettent le même fait en évidence.
Donc, les courbes intégrales d'une équalioti homogène se déduisent de l'une quelconque d'entre elles par les homothéties qui ont V origine pour centre et un rapport dliomothétie arbitraire '".
Remarque 2. — Si on introduisait les coordonnées polaires, une des courbes intégrales étant r = (j(0), les autres seraient r=/tG(0), puis(iue deux points M et M', dans riiomothélie considérée, ont môme angle polaire 0, et que leurs rayons vecleurs sont dans le rapport k.
L'équation différentielle, qui détinirait r en fonction de 0 serait donc
dv une équation linéaire sans second membre, — = G'(0)rfO.
On obtient donc aussi la séparation des variables, dans une équation homogène, en passaiit aux coordonnées polaires.
Faisons effectivement le calcul pour l'équation (16). Un doit poser (n» 210)
a? = rcosO, y = î'sinO d'où
dx^ — r sinOrfO-f- cosOrfr, dy =^ ?'cos0c/0 + sin0(//'.
Il vient donc, pour dg = -j(-]dx,
rcosddd-h sinOrfr=:cp(tgô) ( — r sinOrfOn- cosôrfï'j, [cp (lg6) cosO — s\nfj]dr = r ['f (tgô) sinû -f- cos6]rf6, ou enfin, en séparant les variables,
dr -j (tgO) sinO-hcosO ,
r -j (tgO) cosO — sinO Exemple. — Soit à intégrer l'équation
ydy- -|- 2xdxdy — ydx- = 0.
On vérifie immédiatement qu'elle ne change pas, si on change x en kx et y en ky, le premier membre étant homogène en .t, y, ot en dx et dy. Posons donc : [1] a; = rcose, i=/sinô.
L'équalion devient, en faisant d'abord la transformation pour x et j seulement,
sinb.{dy'^ — dx-) + 2 cos 0 . dxdy = 0. On a ensuite
dx = cosOdr — r sin'jdô, dy = sin6(/r + r cos6d6.
^1) Ceci est vrai pour une équation du premier degré; sinon, les courbes intégrales se répartissent en familles de courbes homothétiques. On démontrerait la réciproque de la proposition du texte en formant, (n° 318), l'équatiou dilTerentielle
des courbes ^=//^j, homothétiques de la courbe y=f{x).
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
DoDC
dy- — (ù-»= isin-0 — cos-6)<f/î + 4r sinO cosôdrc/ft -f r2(cos20 — sin29)d62 = cos2&.(r2rfôi — drï) + 2rsin29.drd6 idxdy = 2 sinô cos6 (dr^ — ridbi) + 2 (cos^ô — sin'-b).rdrdb = — sin20(r2d()- — dr^) + 2r cos20.drd0. En portant dans [2], on obtient donc :
0 = {r'-db^ — dr"-) (sin6 C03 26 — cos6 sin20) + 2r (sin26 sinO + cos20 cos6)drdô 0 = {dr- - r-db-) 8in(2û — 0) + 2/- ces (20 — 0)drdO, ou enfin
[3] sinfj(d/-2 — ;-2d OS) + 2rcosO drd 6 = 0.
En ordonnant en dr, db, et résolvant, il vient :
sinOdrî -f 2r cos6d6dr — r^ sinôdô^ =0, dr:
— r C036 ± v'r- cos^ô + r- sin-ô
ce qui se décompose en
dr 1 — cosO
dr =
sin6 rcosô ± r
db.
2sin
siu6
db;
et
dr
sin'j
1 4- cos 9 sin'j
sin^ dcOS:T
2sin.-cos:T co s COS s
■i cos- .j COS.j
2sinT5C0S5 sin^
dsinK
On obtjent donc, en intégrant :
lo8^ = — 2 1ogjco3||
lo» = — 2 los sin,
d'où
cos^2
sin2-
La seconde équation est celle d'une parabole ayant 0 pour foyer, 2| c| pour paramètre, Ox pour axe (dirigé vers l'intérieur de la courbe si c > 0, et en sens contraire, sic<0), (n" 224).
La iiremière se ramène à la seconde, en chnnfreant b en tc + 0, c'est-à-dire en changeant le sens positif sur l'axe polaire; elle représente donc les mêmes paraboles Uoinofocalcs. On voyait déjà sur la formule [4] que le signe ± est remplacé par q=, si on change 6 en r<-\-b.
Bemarque. — Le changement de variables, ddns cet exemple, aurait élé plus rapide, si nous avions résolu d'ai'ord, en dy, l'équation donn.'e. Celte résolution donne, en elfel.
qui s'écrit Or on a
ydy = [ — X ± y a;* + y'^]dx.
xdx -\- ydy = ± \ a;^ -f- y^dx.
x^-\-yi = r2,
EQUATIONS DIFKKHENTIIXLES
d'où, en dilTérentiaDt,
xdx + y^y = '■'''■•
L'équalioQ, transformée en coordonnées polaires, est doue simplement rdr = ± r[cosfjrfr — r sinfj</0],
dr =
± r sinù 1 zt cos 0
dô,
<jui se décompose en
. . , ,, 2 sin^i cosô^'S 3in^ dr sinOdO ___^ii2__ 2^
T 1 + coa 0 o a (* 'J '
~ 2 cos2- cos.j
■et
dr — sinfjdO
r 1 — cos 6 L'intéffration s'acliève comme ci-dessus
2 sin^ cosgdO cosn
2sin2^ siali
