I. L'expression

{■Tc-y + y- + 2xy)dx + (x2 4- X) (x + 2y)dy,

est-elle la diirérentielle totale d'une fonction des deux variables indépendantes x et y? Déterminer un facteur m, fonction de la seule variable x, de telle façon que le produit de l'expression ci-dessus par m soit la dilTérentielle totale d'une fonction u de X et y. Déterminer ensuite u.

II. Déterminer les deux fonctions y et j de la variable x, qui vérifient les deux équations diirérenlielles simultanées

1 = 3^ + '-' è = 3'-+-^ + «"^ où a désigne une constante donnée.

Discuter la forme des intégrales suivant les valeurs attribuées à la constante a.

IH. Étant donnés trois axes rectangulaires Ox, Oy, Or, on considère dans le plan xOj les deux droites AB et CD ayant respectivement pour équations x= 1 et y^l et se coupant au point E, puis on décrit un arc de cercle BMD ayant pour centre 0, pour rayon 2, et limité aux deux droites en B et I). Calculer le volume du prisme droit ayant pour base l'aire BMDE et limité supérieurement par la surface

Épreuve pratique.