I. Calculer les intégrales
dx
11. L'n point matériel M, de masse m, mobile sur une horizontale fixe Ox, est soumis uniquement à une résistance de milieu R, qui est dirigée en sens contraire de la vitesse v, et dont la valeur absolue est mk\n, h désignant une conslante positive donçée.
A l'instant t=z(),yle mobile est lancé dans le sens positif Ox, avec une vitesse donnée l'.j.
Calculer : 1" le temps T au bout duquel la vitesse du mobile s'annule; 2° l'espace parcouru pendant le temps T; 3' le travail de la force F pendant ce même temps.
.\pplic3tion numérique : m =: 3; /i = I ; i',j ^ 4 en unités C. G. S.
QcesTi059 rM>ra«éis aux examens ue la s<ir»'j>»k. :èi
1909. - Jailtot.
L Imiègnr i» àtnx éfaaHama iiSéttmùea»* «aralUDée»
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Cakalcr ta dirtance fmreamra» joafa'aa foiat «a la vitcate »'aasale, et le lcaip« eidayé fc la panaarir.
U. Cakalcr les iab^rates
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1909. — Octobre.
L I>éaHKitr«r ({a>t ['•txpreanee
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IL lot^fgicr rCiiaalMa dîflfetcalîeUe :
.<t.m. césiaMUK. — IL 3S
dans laquelle y est une fonction inconnue de x, a et h deux constantes réelles positives données. On diéculera la forme de l'intéprale générale, suivant les valeurs données à ces constantes.
m. Soient trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oj. et une sphère de centre 0 et de rayon a. On considère la partie de la sphère située dans le triédre positif Oxyz. On trace dans le plan Oxy la portion de spirale O.MA ayant pour équation en coordonnées
polaires ;- = ^0, allant du point 0 (6 = 0), au point A de la spliéro placé sur
Calculer l'aire de la portion de la surface de la sphère qui se projette sur le plan xOy dans l'aire limitée par l'arc de spirale OMA et l'axe 0/. On pourra employer les coordonnées polaires dans le plan xOy.
Épreuve pratique.
On pose
ydx, e désignant la base des logarithmes népériens.
2' Étudier la variation de la fonction y pour les valeurs de x supérieures à 1 ; calculer la valeur de son maximum à 0,01 près.
3° Démontrer que la courbe qui représente celte variation présente deux points d'inflexion. Vérifier que les abscisses de ces deux points sont respectivement comprises entre 2 et 3 et entre 8 et 9.
4° Soit Xq celle de ces abscisses qui est comprise entre 8 et 9. Appli(iuer une fois la méthode d'approximation de Newton au calcul de Xq en partant de la valeur approchée 8. En conclure que X(, est compris entre 8 et 8,1.
1910. — Juillet.
Épreuve théorique.
I. Soient deux axes rectangulaires Ox et Oy: déterminer une courbe plane passant par l'origine 0, tangente en ce pointa l'axe Ox et possédant la propriété suivante : soit C le centre de courbure de la courbe en un point quelcon(iue de la courbe .M, la projection AB du rayon de courbure MC sur Oy est égale ii une constante donnée a.
Calculer, en fonction de l'abscisse x du point M, la longueur s de l'arc O.M de cette courbe.
