TRAJECTOIRES ORTHOGONALES
326. Trajectoires orthogonales. — Étant donnée une famille de courbes, on appelle trajectoire orthogonale de cette famille de courbes, toute courbe qui les rencontre toutes à angle droit. — C'est ainsi que les courbes parallèles à une courbe donnée sont les trajectoires orthogonales des normales de cette courbe; et que les développantes d'une courbe donnée sont les trajectoires orthogonales de ses tangentes (n°^ 242 et 241).
Un exemple important se rencontre constamment en mécanique et en physique. C'est le suivant.
On dit qu'un champ de forces F, que nous supposerons plan, dérive d'une fonction de forces V{x,y), si les composantes \{x,y), Y(x, y) du vecteur-force qui a pour origine un point quelconque M(x, y), sont les dérivées partielles de l]{x, y), de sorte que l'on ait
Courbe de niveau
Les courbes
DU
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
s'appellent alors courbes équipolentielles '", ou courbes de niveau. Il en passe une el une seule par cbaque poinl du plan. Car si on se donne les coordonnées (.ro, y^) de ce point, c se trouve défini par U{Xq^ y^)^c, équation qui exprime que la courbe (2) passe par le point donné.
La normale à la courbe (2), U{x, y) — c = 0, en un point x, y quelconque de cette courbe, a pour coefficients de direction '^ ^^ T'
(n° 232): c'est-à-dire d'après (1), X et Y. La normale à la courbe de niveau qui passe en M est donc la ligne d'action du vecteur-champ en ce point; c'est-à-dire la tangente à la ligne de force qui passe, en ce poinl M. Donc les lignes de force sont trajectoires orthogonales des courbes de niveau, et inversement.
Passage de l'équation différentielle d'une famille de courbes à celle des
trajectoires orthogonales. — Si, à partir d'un point M, {x, y), un déplacement infinitésimal langent à une courbe (C) esldx,dy; el si un déplacement inlinitésimal tangent à une courbe (K) est Bx, Sy, ces deux courbes sont orthogonales si
jc 1 ^ ; - n. dx dy
— dx 0 X H- dii 0 »/ = 0, ou ^ = ^ • •^ '^ ' — oî/ oar
Si donc la courbe (C) est intégrale d'une équation difTérenlielle
(1) ^{x,y)dx^B{x,y)dy = 0,
on aura, pour la courbe (K), en remplaçant dans cette équation dx et dy par les quantités proportionnelles — oy, Zx,
— ^{x, y)oy -hB{x,y)ùx = 0.
C'est donc Téqualiou différentielle des trajectoires orthogonales des courbes intégrales de(l), en y considérant o comme le signe de ladifTérenliation. En revenant à la notation habituelle (/, on a, par suite, pour l'équation cherchée,
(2) A{x,y)dy — B{x,ij)dx=0.
On passe de (1) à (2), ou inversement, en échangeant les difTérentielles dx et dy, et en changeant le signe de l'une d'entre elles.
Exemple 1. — Considérons les cercles qui passent par d-'ux points fixes B et B'. Nous prenons pour axe des x la pcrpundiculairL' au milieu de BB', et BIV pour axe des y.
(\) La fonction — U s'appelle fonction potentielle, ou potentiel, du champ.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Soit 2c la longueur BB'. Si le cercle (C) a pour centre le point Xu = a, v„ = 0, le carré du rayon sera R- = ÔTt- + <JC^ ou R2 = a- + c-, et l'équation de la famille des cercles (C) sera :
[1] (x — xY^ +y' = o^- + c-, ou .t2 + vî — 2ax — c2 = 0
a étant le paraniclre arbitraire. En l'écrivant 2x = — 21^ :^ la dilTérentiation
de cette équation élimine la constante a, et fournit l'équation différentielle des
cercles considérés
x{2xdx + 2ydy)-{xi + y'--c'-)dx=0; ^^ »<'^^
ou, en ordonnant,
[2] (x2 — r 2 4- <•- ) ctr + Sxj'dy = 0.
L'équation difTcrentielle des trtijectoires orthogonales est donc (en changeant dx en dy, et dy en — dx) [3] (x2 — y2 -I- c2) dy — 2xydx = 0.
Comme x n'y ligure que par x-
et j-(/x = iydx-, on posera x- = u, et
on aura une équation linéaire pour déterminer u en fonction de y. C'est : du
yry-'' = '--y'
— = — , dont une intégrale est u = v. On-
L'équation sans second membre est posera donc :
[5] u = ty, du = ydt + Idy,
et l'équation [4] deviendra
c'est-à-dire
y-dt = (c- — )'-)dj-
En séparant les variables et intégrant, il vient
dt = (-,— l]dy, t = — ~—y + 2';i,
où p est la constante d intégration. Il reste à calculer, d'après [5], x'^=:u = ty, ce qui donne x-:= — c2 — y- + 2^,v, et enfin :
[6] j2 4..y.2 23y + c2 = 0, ou x^ + (/ — 15)2 = p2 c2.
Ce sont des cercles qui ont leurs centres sur l'axe radical des premiers. Le carré du rayon étant R' = ^- — c^, la puissance de l'origine est OB- — R2 =: ,3- — R2 := c-. Elle est constante: et ces cercles ont, pris deux a deux, l'axe Or pour axe radical.
On retrouve ainsi un résultat de géométrie élémentaire bien connu.
Exemple 2. — Les hyperboles équilatères x- — y^^dza^ où a est arbitraire, c'est-à-dira les hyperboles équilatères qui ont les axes de coordonnées pour axes de symétrie, ont pour équation différentielle xdx — ydy=^0, obtenue en différentiant l'équation précédente, ce qui élimine la constante arbitraire ± a- (n° 318).
L'équation différentielle des trajectoires orthogonales est donc xdy -{-ydx = i), ou d(xy) = 0; dont l'intégrale est 2xy = ±a^. Les trajectoires orthogonales sont donc les hyperboles équilatères qui ont les axes de coordonnées pour asymptotes.
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exemple 3. — On appelle ocale de Cassini le lieu des points M, tels qui" le produit ■de leurs dislances à deux points (Ixes F et F ait une valeur conslaule <i-.
lin désignant par 2c la distance des foyers F et F', ou a :
MF- = (X — C)2 4- y2, MF^ = (X + C)2 + y2,
et l'équation de l'ovale est : ÂiF-.MF- = a*, c'est-à-dire :
[(X - C)2 + y2] [(X + c)2 + .V2] ^ ai.
Elle s'écrit
i^'- + y- + c-)- — icSxi — ai,
D'après sa déiinition géométrique la courbe admet (comme une ellipse ou une hyperbole de foyers F et F') les axes de coordonnées pour axes de symétrie. Les deux rayons vecteurs MF, MF' ne peuvent être tous deux épaux ou supérieurs à a, sans quoi leur produit serait supérieur à a-. Tous les points de la courbe sont, par suite, dans l'un ou l'autre des cercles de rayon a qui ont pour centres les foyers. La courbe n'a donc pas de branches infinies, et tant que a est inférieur à c, les deux cercles précédents étant extérieurs l'un à l'autre, la courbe se compose de deux parties séparées, situées de part et d'autre de Oy, et symétriques.
On peut préciser davantage, en étudiant l'équation [1] comme éciuation en y. Elle s'écrit :
yi + 2fx2 + c2)y2 + (j~> c2 ai) (i2 — .c2 4- ai) = 0.
Comme la somme des racines en y2 est négative, elle n'a, pour une valeur de x, que deux racines au plus, égales et de signes contraires; et cela à condition que le produit des racines en y2 soit négatif; puis(|ue, sans cela, les racines en y- seraient négatives toutes deux, ou n'existeraient pas. La condition de réalité des points d'abscisse x est donc : (x2 — c2 — a^) (x^ — c2 + a^) < 0, ou c2 — a2 < x2 < c2 -f «2.
Donc, si a<^c, |x| est borné supérieurement et inférieurement, et la courbe se compose de deux ovales séparés. Pour a^c, ces deux ovales se rejoignent à l'origine, et la courbe prend le nom de lernniscate de Bernoulli; l'équation est alors :
[2] (xî+y2)2 = 2c2(x2-y2^.
Pour a^ c, I X I n'est borné (jue supérieurement ; et pour x = 0, on a y2 = a- — c- ; de sorte que la courbe coupe Oy en des points faciles à construire, et se compose d'une seule courbe fermée.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES gtj
Si nous dilTérentions l'équation [1], nous trouvons :
{x- -\- y*) (xdx + ydy) — c'^ (xdx — ydy) = 0, ou -
[3] (0-2 + y'- — c^xdx + (x-i + yz + c'i)ydy = 0.
On en conclut que les points pour lesquels dy = 0, c'est-à-dire pour lesquels la fonction y est maxima ou minima, ou points le plus haut et le plus bas, satisfont à T = 0 ou x'^ -\- y- — c- = 0. Ils se trouvent sur l'axe des y, ou sur le cercle docrit sur FF' coiuine diamètre. Tant qu'il a des points sur ce cercle, l'ovale est donc ondulé; il n'a plus d'inllcxions lorsque le cercle cesse de couper la courLe. Les points d'intersection étant donnés par :
(x2 (- yî -j- c2)î — lc-x- = a^, x- -{- y- ==c-, d'où ix-c^ = 4c« — a'', les sinuosités disparaissent pour a- > 2c-, ou a^ c \2.
Remarque. . — L'équation [3] donne la tangente en un point quelconque de la courhe; elle est en défaut pour x = y = 0, (cas de la lemniscate). Il faut alors la dilli'renlier à nouveau (Comparez n" 234). En l'écrivant :
(jj2 + yi ci)x + (x-2 -\-y'--\- c'-)yy' = 0, il vient
2 (X + yV)x + (x2 + y2 c2) + 2(x + yy-)yy' + {x^- + j2 + c2) (y'i + yy", = 0. Pour x=:j = 0, cette équation se réduit à — c^ -\- c-y'- = 0, y'=:±l. Les tangentes à l'origine, pour la lemniscate, sont donc les bissectrices des axes.
On aurait pu aussi chercher lim- dans l'équation (2), En posant- = u, c'est-à-dire y = ux, cette équation (2) devient, après division par le facteur x-,
«jui donne u = ±i. (|uand on fait tendre -r vers zéro.
L'écjUHtion 3] est l'équation dilTérenlielle des ovales de Cassini de foyers donnés F et F'. Cherchons les trajectoires orthogonales de ces ovales.
L'équation différentielle se déduisanX de [3;; par le changement de dx en c/v, et dy en — dx, est :
[4] (xî -f y2 — c-^)xdy — (x^ + y2 -f ci)ydx = 0.
Elle ne rentre dans aucun des types précédemment étudiés, mais nous allons séparer les variables, par un double changement de variable. Si nous écrivons l'équation sous la forme
[5] (x- -\- y-) {xdy — ydx) — c-{xdy t+- ydx) = 0,
nous voyons apparaître la différentielle de xy, et, à un facteur près, celle de -. Nous sommes ainsi conduits à poser :
[61 xy = u, ^ = *'; 'l'où xdy -f ydx = du, xdy — ydx = x-dv.
L'équation [5] devient alors
(x- -f- y-)x- dv — c- du = 0.
Or, X- = - , y- = uv. Il vient donc :
\dv — c^du=0,
et les variables se séparent :
-^ 4- dv — c- -; = 0.
On a ensuite, en intégrant, et désignant par 2). la constante d'intégration,
66 EXERCICES SrU LF, CHAlMTHF. II
OU, en rcmeltant les valeurs ;6] de u et i',
y ' X ' xy ou enlln
[7] X- — y- -{■ 2>..ry — c- ^ 0.
Ces trajectoires orlliogonales sont des hyperboles équilatères qui passent aux foyers F el F'. Si on pose ). = tg26, ce ([ui revient à ciianger de constante d'intégration, Icquatioa [7] s'écrit, en effet,
(x- — y-)cos20 + 2j-j sin20 = c2 cos26, CD
(xcosO + y sinO)- — ( — .rsinO + 7 cos6)- = c- cos20. Si donc on fait tourner les axes de l'angle 0, (n° 208). elle devient :
x* — y'^ =c- cos29,
qui a la forme réduite de l'équation d'une hyperbole équilatère. Il est, de plus, visible sur l'équalion ^7' que les points x^±c, y=^0 appartiennent à la courbe.
Remarque. — Ce système de courbes orthogonales se rencontre en optique, dans les franges obtenues par double réfraction (cristaux biaxes).
EXERCICES (■> SUR LE CHAPITRE II i. — Trouver une courbe (C) telle que rorigine 0 ait une puissance
constante rt«" par rapport au cercle décrit sur la tangente MT comme diamètre, lorsque M décrit la courbe.
2. — Trouver une courbe (C) telle que l'on ait constamment OT^ = ()U.a, a étant une longueur donnée. (Paraboles tangentes aux axes de coordonnées.)
3. — Trouver une courbe (C) telle que la dislance du pied U de l'ordonnée à la tangente MT ait une longueur constante a donnée. (Chaînettes.)
(1) Pour les énoncés, on se reportera à la figure.
