On considère l'intégrale curviligne

>(! — a;2 + y^)dx + x(i -f x'^ — y2)rfv

Démontrer que la valeur de cette intégrale, supposée étendue à un arc de courbe AB, ne dépend que de l'origine A et de l'extrémité B de cet arc de courbe, et non des points intermédiaires. Calculer l'intégrale lorstiue, le point A étant l'origine des coordonnées, le point B a des coordonnée données x,, yj.

111. Soient Ox, Oy deux axes rectangulaires. Un point quelconque M d'une courbe C se projette sur Ox en H et la tangente en ce point rencontre Ox en T. i*" Déterminer toutes les courbes C telles que l'on ait :

H0.HT = — 1. Construire celle de ces courbes Cj qui passe par le point

x = 0, 7 = 1 et calculera 0,01 près les coordonnées de ses points d'inllexion.

2" On mène par 0 la parallèle à la droite symétrique de MT par rapport à Ox. Cette parallèle rencontre MH en m. Construire la courbe C» lieu de ce point m quand M décrit Cl- .3° Évaluer l'aire comprise entre C^ et C^.

Méc.wiqle. — On considère le système matériel suivant :

Un fil inextensible, flexible, et de poids négligeable, tout entier situé dans un plan vertical fixe, part d'un point fixe 0, descend verticalement, passe sous le cercle de gorge d'une poulie mobile (C) de poids P, remonte verticalement, passe sur le cercle de gorge d'une poulie (C) mobile autour de son axe horizontal et supporte un corps solide homogène pesant S, de poids Q, ayant la forme d'un cylindre de révolution dont l'axe est dans le prolongement du 111.

A l'origine des temps, le système, étant supposé sans vitesse, est abandonné à lui-même.

1" Déterminer le mouvement du solide S, le mouvemient de la poulie (C) et la

tension du fil. Montrer que cette tension ne dépasse jamais o(P + Q)-

2° On suppose que dans le mouvement considéré le solide S descende à l'instant /oi on coupe le brin de fil qui porte ce solide; il s'écoule alors un nouvel intervalle de temps précisément égal à t^ avant que la poulie (C) repasse par la position qu'elle occupait au début du mouvement. Calculer le rapport des poids P et Q.

N. B. On supposera les poulies (C) et (C) homogènes et leurs cercles de gorge parfaitement lisses.

Épreuve praluiue.

1° Construire sur une feuille de papier (luadrillé pourx variant de 0 a 1, la courbe

2" Se servir de la courbe ainsi construite pour résoudre graphiquement l'é(|ualion 3" Calculer l'intégrale

(C.T+l)l0gJ. = l.

S dx

0,25 ^Og-

au moyen de la formule de Simpson, l'intervalle d'intégration étant partagé en 10 parties égales. Comparer le résultat obtenu à celui que fournirait l'utilisation directe du quadrillage.

N. B. On prendra pour origine un des quatre sommets de la partie quadrillée de la feuille, et pour axe des x le plus petit côté. On choisira les unités d'abscisse et d'ordonnée de manière que le sommet de la partie quadrillée de la feuille, opposée à l'origine, ait pour coordonnées a* ^ 1, 7 = 10. On calculera directement les ordonnées de la courbe pour des abscisses variant de centimètre eu centimètre et on inscrira les valeurs de ces ordonnées sur la feuille de papier quadrillé.

Il n'est pas demandé une appro.ximation plus grande que celle que comporte l'usage e.xclusif de la règle à calcul.

La rédaction contiendra des indications sommaires sur les procédés de calcul employés.

1911. - Octobre.

Épreuve théorique.

.\n.\lyse. — I. Intégrer le système d'équations différentielles simultanées

dx dy , .

Déterminer la solution de ce système telle que pour < = 0, x et y prennent la valeur 0.

Si l'on regarde les fonctions x et y de t ainsi déterminées comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan, ce point engendre, lorsque ( varie, une certaine courbe (Gj. Construire cette courbe.

Calculer l'aire engendrée par la révolution autour de Oy de l'arc de la courbe (C) obtenu en faisant varier < de 0 à 2îr.

II. On donne dans un plan deux axes de coordonnées rectangulaires Ox et Ov. On désigne par M un point quelconque d'une courbe (C) du plan, par P sa projection sur Ox, par Q le point d'intersection de Oy avec la tangente à la courbe (C) en M.

Former l'équation diiïérentielle des courbes iC) qui jouissent de la propriété que l'aire du trapèze OP.MQ est égale à une aire donnée a-. Intégrer cette équation et construire celle des courbes (C) qui passe parle point dont les coordonnées sont

Mécanique. I. — On donne dans un plan (ixe deux axes de coordonnées rectangulaires fixes Ox et Oy. Un point matériel M de masse m peut se mouvoir librement

dans te plan; il se trouve rjue, sous raction d'une cerlaine force parnlh-le ii 0/, ce point admet comme trajectoire une circonférence (C) de centre 0 et de rayon R. On connaît la vitesse Vq dont est animé le mobile au moment / = 0 où son abscisse est nulle.

Calculer en fonction du temps les coordonnées du point M; calculer en fonction de Tordonnée du point M la vitesse de ce point et la force qui produit son' mouvement.

11. On considère un plan incliné rujrucux faisant avec le plan horizontal un angle donné a. Le coefficient de frottement est/. Un point matériel pesant de poids P est placé sur ce plan incliné. On lui applique une force égale à son poids et dirigée suivant Thorizonlale du plan incliné ijui passe par le point. On demande à quelle condition doit satisfaire/, l'angle x étant supposé donné, pour que le poiut soit en équilibre.

Épreuve pratique.

On considère dans un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy la cliainette dont l'équation est

y = cil X ou y ^ 2 (c-r + e-').

Soit M un point quelconque de la chaînette, P sa projection sur 0.r; A le sommet de la chaînette. Déterminer le point M par la condition (|ue l'on ait OA + PM = OP + arcAM.

On calculera les coordonnées du point cherché à jttjt-t près.

1912. — Juillet.

Épreuve théorique.

Analyse. — I. Intégrer le système d'équations dilTérenlielIcs

dx n dy lie-,

dr = 2^-^' ^^=^+4-V-5snW.

Déterminer une solution de ce système par la condition que x et y s'annulent pour < = 0 et calculer le premier terme non nul dans les développements en séries entières en / des fonctions x et y ainsi obtenues.

II. Une courbe plane (Ci est rapportée à deux axes rectangulaires Oj-, Oy. la tangente en un point quelconque M de la courbe (C) rencontre au point T Taxe Oy.

Déterminer la courbe (C) de manière (jue l'angle MFT soit droit, F étant un point fixe situé sur Ox, à la distance a du point 0. Discuter la nature de la courbe (C) obtenue, suivant la valeur donnée à la constante d'intégration.

III. Étant donnés trois axes de coordonnées Ox, Oy, 0: on demande de calculer le volume du solide limité par le cylindre

y:=chx, par la surface

et par les plans

; =: y th X, 0, x=l.

On rappelle les formules

1 \ sh X

chx = ;^(eJ^ + e-^), shx = ~(e^- — e--^), thx r

MÉCANivtuK. — Un point matériel pe:iant M, de masse m, se déplace dans un milieu qui lui oppose une résistance dirigée en sens inverse de la vitesse de M, et d'intensité R := mg ,., où <j désigne l'accélération due ù la pesanteur, v la valeur algéhrique

de la vitesse de M et k un coeflicienl numérique. Soit x'Ox un axe orienté, la direction positive Ojt étant celle de la verticale descendanle.

1" A l'instant initial M est lancé du point 0 avec une vitesse v^ = — a (a>0) dirigée suivant la verticale asc^endante Ox'; on demande l'abcisse x = — /i (/i>0) du point le plus haut 0, atteint par M, ainsi (jue le temps employé par M pour aller de 0 en 0,.

2° On prendra désormais Oi comme nouvelle origine des abscisses (la direction positive des abscisses étant toujours celle de la verticale descendante), et l'instant ou M est en 0 comme nouvelle origine des temps. Sous l'action de la pesanteur et de la résistance R, le point M va descendre suivant la verticale U/Jx-. Donner les expressions i) = ç(/), x = 'l/{l) de la vitesse et de l'abscisse de M à un instant quelconque t.

3° On admet que k est très grand de telle sorte (ju'on puisse négliger dans les

calculs les puissances de t supérieures à 2. Montrer que l'approximation précédente permet d'écrire :

A et B étant deux coeffleients (ne dépendant que de g) que l'on calculera.

Application : 9 = 980; /c = 9,8 X H)^ ; calculer, à l'instant <= 1, 5(() et 'lit) avec l'approximation permise au 3°.

Épreuve pratique.

Un récipient d'une contenance de 10 litres a la forme d'un cylindre de révolution limité par deux plans perpendiculaires à l'axe (A) du cylindre et situés à une distance de 30 centimètres l'un de l'autre. On verse 2 litres de liquide à l'intérieur du récipient supposé placé de telle sorte que (A) soit horizontal.

Soit (C) la section du récipient par un plan (P) perpendiculaire à (A), 0 l'intersection de (P) avec (A), AB l'intersection de (P) avec la surface libre du liquide et x le supplément de l'angle AOM.

1" Former Inéquation à laquelle satisfait x.

2" Résoudre cette é(iuatioa avec la précision que comportent les tables de logarithmes à 0 décimales.

3" Calculer en centimètres (avec la même précision), la distance OD de l'axe du récipient à la surface libre.

1912. — Octobre.

Épreuve théorique.

Analyse. I. — Intégrer l'équation dillérentielle

d-y dy

~z — 2-;=^ 4- 2y = e-^ cosmx,

où m désigne une constante donnée. Calculer l'intégrale qui pour x = 0 s'annule ainsi que sa dérivée première. Calculer à l'origine des coordonnées le rayon de coiarbure de la courbe qui représente la variation de cette intégrale.

o52 QUESTIONS PROPOSEES AUX EXAMENS DE LA SORBONNE

JI. Étant donnés dans un plan deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy, on considère dans ce plan une courbe (C). Soit M un point quelconque de cette courbe; soit 1 le centre de courbure de la courbe en M; soit P la projection du point 1 sur la parallèle à Ox menée par M; soit Q la projection du point P sur la normale Ml.

Former et intégrer l'équation dilTérenlielle des courbes (C) telles que la longueur QI soit égale à une longueur donnée a. lndi(juer la forme des courbes (C).

III. Construire la courbe représentée en coordonnées rectangulaires par Téquatioa

Évaluer à .-tj^ près l'aire comprise entre cette courbe et la droite x=\; ainsi que l'abscisse du centre de gravité de cette aire.

Mécanique. — Dans un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy se meut un point matériel M, de masse égale à 1, de coordonnées x et y. II est soumis à une force F dont les composantes suivant les axes de coordonnées sont X = — X, Y ^ — iy.

r Chercher s'il existe une Tonction de Torce U(x, y); dans l'affirmative déterminer U(x, y) et construire les courbes de niveau (S) du champ (11) créé par la force F.

2° Former et intégrer les équations différentielles du mouvement du point M.

3° M étant abandonné sans vitesse initiale, à l'instant / = 0, du point A de coordonnées .T„ = i, Vq = 1. donner les expressions x=f{t), y = g{i) des coordonnées de M à l'instant t: construire la trajectoire (T) correspondante et calculer la vitesse v à l'instant t.

4" Montrer qu'aux points de (T) où la vitesse v est maximum ou minimum (sans être nulle), la trajectoire T est tangente à la courbe de niveau (S) passant par ces points.

1913. — Juillet.

Épreuve théorique.

Analyse. — I. Vérifier que les fonctions x et ^ de la variable indépendante t, qui sont définies par les équations

(1) x = acos'<, y = fl{sin3< — 3 sinO»

où a désigne une longueur constante donnée, satisfont au système d'équations différentielles

(2) ^3y:=,6asin<, 2^-f3x = 0.

II. Montrer qu'on retrouve les fonctions (1) en intégrant le système (1) avec les conditions initiales

X = a, y = 0, pour ( = 0.

III. Construire la courbe représentée par les équations (1), x et y désignant des coordonnées rectangulaires.

IV. Trouver toutes les courbes dont le» rayon de courbure MC est coupé par l'arc Oy au tiers de ce rayon de courbure à partir de son pied M (MC = 3MP). — Comment ces courbes se déduisent-elles de la courbe (1)?

MÉCANIQUE. — Un point matériel M non pesant, de masse m, est mobile sans frottement sur un plan P dans lequel on a fixé deux axes rectangulaires Ox, Oy. Le

point M est soumis à une force F dont les composantes sur les axes Ox el Oy sont respectivement X = mv, Y ^ mx.

1° Existe-l-il une fonction de forces? El s'il en est ainsi, la donner ainsi que les courbée de niveau.

2° Former et intégrer l'équation différentielle des lignes de forces. Montrer que l'on obtient les lignes de forces en faisant tourner les courbes de niveau d'un certain angle autour de 0.

3° Écrire les équations différentielles du mouvement du point M sous l'action de F. Donner l'intégrale générale de ces équations.

4" Les conditions initiales étant

montrer que la trajectoire est rectiligne et que le mouvement du point M est périodique. Quelle est la période de ce mouvement?

Épreuve pratique.

Soit /(x) = x3-f 3x2 — 105X + 200.

1* Montrer que l'équation /(x) :=0 a trois racines réelles.

2" Calculer les valeurs de/(x) pour les valeurs croissantes de x à partir de x = 7, de dixièmes en dixièmes, jusqu'à ce qu'on trouve un résultat positif.

3" Calculer, à un millième près, la racine comprise entre 7 et 8.

Nota. Les candidats auront à leur disposition des feuilles de papier quadrillé, mais toute méthode de calcul de la racine demandée est admise.

1913. — Octobre.

Épreuve théorique.

Analyse. — L 1° Trouver les deux fonctions de x qui satisfont à l'équation différentielle

y" + 2y' + iy = le^ — 4x — 6, et aux conditions initiales

j =1 0, / = ± 1 , pour X = 0. 2° Développer en série entière la différence de ces deux fonctions.

H. Étant donnés, dans un plan, deux axes rectangulaires Ox, Oy, on considère les courbes (C) de ce plan qui possèdent la propriété suivante : M étant un point quelconijue de la courbe, et H la projection de 0 sur la tangente en M à la courbe, la médiane 01 du triangle OMH a une longueur constante a.

1" Former re(]uation différentielle (E) qui lie les coordonnées x, y d'un point quelconque d'une courbe (C).

2° Montrer que si l'un passe en coordonnées polaires ç,, lo, d'origine 0 et d'axe polaire Ox, l'équation différentielle (E) devient l'équation (E') : 3p*d(;jî + (p2 — 4a2) (dp-^ + p2dw^) = 0.

3" Intégrer cette dernière équation différentielle, en se servant du changement de variable p2 = a-u.

4° Déduire de l'équation (E), indépendamment de toute intégration, que, si une courbe (C) ne se réduit pas à un cercle de centre 0, son rayon de courbure, en M, est égal à 3. OH.

5° Montrer que l'équation générale des courbes (C) peut s'écrire en désignant par p une constante arbitraire

(— I =sin ((o — p) + cos (fo — p).

En conclure la forme des courbes C.

Mécanique. — Un point matériel M, de masse m=l, non pesant, situé dans le plan xOy, est soumis à l'action d'une force F dont les composantes par rapport à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy sont respectivement

I" Trouver l'oiiuatioii des li;::nes de,forces du cliamp créé par F et construire ces lignes.

2° Existe-t-il une fonction de forces'? S'il en est ainsi, la délerinincr et construire les lignes de niveau.

3° On imagine que le point M est assujetti à se mouvoir dans un tube de section inflniment petite dirigé suivant la droite y = a-+ 1. Le mouvement a lieu sans frottement; à l'origine des temps, le mobile est lancé du point A, d'abscisse x^ [, avec une vitesse dont la composante initiale est x^^ — (1 4-\2).

Montrer comment le théorème des forces vives permet de trouver la position de M à tout instant; en pariiculier, indiquer le temps employé par le mobile pour aller de A jusqu'au point B, intersection du tube et de l'axe des y; et donner le travail effectué de A en B.

Épreuve pratique. Calculer à 0,0001 près les abscisses des points de contact des tangentes menées par l'origine des coordonnées, à la courbe

On pourra ramener le problème à la résolution de l'équation

Toutes les méthodes d'approximation, y compris les méthodes purement graphiques, sont admises.

1914. — Juillet.

Épreuve théorique.

Analyse. — I. s étant un angle donné, compris entre 0 et ti et différent de ^v trouver l'intégrale de l'équation

y" — 2j' cos ^ -{- y ^2sinx cos s, qui s'annule, ainsi que sa dérivée, pour x = 0. Que devient cette intégrale (juand ?. tend vers 0, it, ^ ?

II. Soient Car, Oy deux axes de coordonnées rectangulaires; A le point de coordonnées i = cosôfl, y = sinOo; B le point de coordonnées

= co3Uo + '~j, y = sin(^6o-|-|j-

On pose

P = x3 — axr^ Q = 3x-')' — yï, u = ^-. 1° Calculer l'inlt-gralr lurvilif^iie

1= Cpdx + Qdy

prise le long du contour fermé qui limite le quart de cerclo OAB. 2° Calculof l'intégrale double

11= r C2xydxdy

étendue à l'niro du mi">me cjuart de cercle. Expliquer la relation qui existe entre les valeurs de J et de 11.

3" Déterminer la fonction ^(u) de façon que ç(- j.(Prfx + Q^?') soit une différentielle totale exacte.

4° Intégrer celle différentielle totale après y avoir fait le changement de variables

x=rcosO, y=rsiuO.

5" Déterminer les courbes intégrales de l'équation

Pdx4-Qdy = 0 et leurs trajectoires orthogonales.

MÉcAMoïK. — 1. Un point matériel pesant, de masse égale à l'unité, est lancé d'un point 0 dans un milieu dont la résistance est à chaque instant représentée par un vecteur opposé au vecteur vitesse et dont l'intensité est égale au produit de la grandeur île la vitesse par le nombre positif k.

1° En désignant par Vq la grandeur de la vitesse initiale et par a l'angle que fait sa directio"n avec celle de la verticale ascendante, trouver les équations de la trajectoire du mobile.

2" On lance au même instant du point 0, et dans la môme direction faisant l'angle a avec la verticale ascendante, plusieurs mobiles de même masse égale à l'unité, avec des vitesses initiales dont les grandeurs sont différentes. Montrer (jue, à l'instant t tous ces mobiles sont situés sur une droite parallèle à la direction de la vitesse initiale.

.3° Appelons M la position à l'instant t du mobile lancé à l'instant zéro avec la vitesse initiale de grandeur iv,; trouver la position limite du point M lorsque, t restant fixe, la constante k tend vers zéro.

11. Un trépied est formé de trois tiges rigides égales 0.\, OB, OC invariablement liées, et dont on négligera le poids, les extrémités A, B, C de ces tiges reposant sur un plan horizontal.

1° Ou appli(iue au point 0 une charge verticale dirigée vers le sol et d'intensité P; montrer que, pour que le système soit en équilibre en négligeant le frottement, il faut et il sufllt que les trois angles A, B, C du triangle plan .\BG soient aigus. Démontrer que les réactions du sol sur les pieds A, B, C sont proportionnelles aux nombres sin2A, sin2B, sin2C.

2° Désignons par o l'angle de frottement sur le sol des tiges du trépied. Démontrer que si ces tiges forment avec la verticale un angle inférieur à l'angle s, le système est en équilibre sous l'action d'une force quelconque appliquée au poin^ 0 et dirigée vers l'intérieur du trièdre OABC.

Épreuve pratique.

Calculer, à O.i'Ol près, l'intégrale déflnie

1" Par la mélhode dea trapèzes ou la formule de Poncelet.

2° En développant en série entière la fonction ^ , .. et intégrant terme à terme.

1914. Octobre.

Épreuve théorique.

Analyse. — 1. Trouver riutégrale de l'équation différentielle y" -^ 2v' + 2^ + 2 003 X — 4 sinx — 2 = 0,

qui s'annule, ainsi que sa dérivée, pourx::=0.

Que peut-on dire sur la variation de la fonction trouvée et sur l'allure de la courbe qui représente sa variation quand x devient infini?

II. On imagine une courlie plane (K), rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires. Soit M un point quelconque de celle courbe, G le centre de courbure correspondant, T le point où la langenle on M coupe Ox; soit enfin 1 le point où la parallèle à Ov menée par ï rencontre la normale MC.

1° Montrer que l'équation différentielle (E) (liant les coordonnées du point M), qui exprime que I est, pour tout point M de la courbe (K), le milieu de MC est

(E) 2yy" = y'H\ +/'-).

2° Intégrer cette équation.

3° Montrer que les courbes intégrales peuvent se représenter paramétriquement par les équations

X = 6 + 0 sin t cos t — at, y = a cos^ t, i étant un paramètre, a et 6 étant des constantes. .

4° Déduire de là que ces courbes sont des cycloïdes; et indiquer comment la propriété que I est le milieu de MC résulte en effet des propriétés classiques de la cycloide.

Mécanique. — I. Une tige rectiligne rigide et bomogène dont la longueur est 2a et le poids égal à 2aK repose par une extrémité A sur un plan parfaitement poli. L'autre extrémité B de la tige est reliée à un point 0 fixe, silué au-dessus du plan horizontal et à la distance 4a de ce plan, par un fil élastique OB. La longueur naturelle du fil supposé rectiligne et non tendu est égale à 2a, et la tension T de ce fil supposé tendu et de longueur x est égale au produit de l'allongement x — 2a par le coefficient K

Montrer que, si la tige est en équilibre, le fil OB est vertical el trouver quel est dans ce cas, l'angle que fait la tige avec le plan horizontal.

IL On considère un champ de forces plan : les projections X, Y, sur deux axes rectangulaires de ce plan, de la force (lui agit sur un point matériel V de masse égale à l'unité et de coordonnées x et y sont :

a élant une constante positive.

QUESTIONS PROPOSEES AUX EXAMEiNS DE LA SORBONNE 5:i7

1° Figurer les lignes de oiveau et les lignes de forces du champ.

2° Intégrer les équations du mouvement du point- P, en supposant que, à l'instsiit zéro, ce point parle de l'origine avec une vitesse représenlée par un vecteur de longueur a cl parallèle à l'axe des y.

3° On suppose que lo point I* subisse en outre de la part du milieu une résistance représentée à cha(|ue instant par un vecteur dirigé en sens contraire du vecteur vitesse, et égnl au produit de ce vecteur vitesse par une constante positive représentée par 2 sina.

Intégrer les éciualions du mouvement avec les mêmes conditions initiales, et trouver ce que deviennent les formules obtenues lorsque x tend vers zéro.

Épreuve pratique.

Sur un demi-cercle ABA', de centre U, trouver un point M tel que l'on ait, en valeur absolue,

arcAM = AP-f-PM,

P étant la projection orthogonale de M sur AA'.

On calculera, à cet effet, l'angle au centre AOM. en degrés, minutes, secondes, avec l'approximation que permettront les tables employées.

N. B, Toutes les méthodes d'approximation sont admises; du papier quadrillé au millimètre sera mis à la disposition de ceux des candidats qui voudraient utiliser des méthodes graphiques.

1920 - Juillet.

Épreuve théorique.

Analyse. — 1. Intégrer l'équation diiïérentielle

II. i' Démontrer que l'abscisse X du centre de courbure de la courbe y=:f{.r), relatif au point d'abscisse x de cette courbe, est donnée par la formule

X = x-y' '-■t^ , . où y'=f' (x) , y" = /" ,x).

2° Trouver toutes les courbes pour lesquelles les abscisses x et X d'un point (juelconque de la courbe, et du centre de courbure correspondant, satisfont à la relation x^ = a-X, où a est une longueur donnée.

III. On donne dans un plan deu.x axes rectangulaires Ox, Oy, et le cercle (C) de centre 0 et de rayon a. On désignera par A le point où ce cercle coupe le demia.xe Ox. Soit M un point quelconque du cercle (C), P le symétriijue de A par rapport à la droite 0.^ et R le quatrième sommet du parallélogramme construit sur CM et OP. Lorsque .M décrit le cercle (C), R décrit une certaine courbe (v).

1° Quelles sont les formules qui donnent les coordonnées de R en fonction de l'angle polaire 6 du point .M? Déduire de ces formules la forme de la courbe (■;).

2° Calculer Taire totale de la surface de révolution que cette courbe engendrerait en tournant autour de l'a.xe des x.

Mbcaxiqlk. — la point matériel pesant M est abandonné sans vitesse initiale en un point O d'ua ptau incliné ruj;ueux. Le coefllcient de frottement est variable et sa valeur, en cbacjue point du plan, est égale au (luotienl par la constante K de la distance de ce point à une horizoutale fixe (11) du |)lan.

1° Dans quelle repion {R) du plan doit être placé le point 0 pour que le poiiii M se mette en mouvement.

2" Trouver le niouvenienl du point M lorsque sa position iiiitiale O est sur la droite (H).

3' Étudier le mouvement du point M lors(|ue sa posilion initiale est située dans la région (W) au-dessous de H.

Épreuve pratique.

Étant donné un cercle 0, on demande de mener deux tangentes TA, TI3 de manière que l'aire du triangle curviligne TAB, soit équivalente à celle du cercle.

On prendra comme inconnue l'angle TOA = j-, exprimé en degrés, minutes et secondes, et l'on calculera cet angle avec l'approximation que comportent les tables de logarithmes.

1920. — Octobre.

Épreuve théorique.

Analyse. — I. 1° Intégrer le système

dx dy ■ . ^

-r- = xcosa — ysina, -n = x sin « 4- y cosa, dt dt '

où a est une constante donnée.

2" Eiïectuer dans ce système le changement de variable x^ pcosO, y = p sin6 et intégier le système obtenu. Déduire de là l'intégrale du système proposé et comparer le résultat à celui de l'intégration directe précédemment ellectuée.

.3° Une solution a; =:/(«), y = g{t) du système donné peut être interprétée comme définissant le mouvement d'un point dans un plan. Quelle est la nature des trajectoires? Comment les diverses solutions peuvent-elles se déduire géométriquement de l'une quelconque d'entre elles?

II. Étant donnée une courbe y=f{x), soit M un point quelconque de cette courbe, P sa projection sur Ox et K la projection de l'origine 0 sur la normale en M à la courbe.

1" Quelle est l'équation diflérentielle qui exprime que KP est constamment parallèle à OM lorsque M décrit la courbe?

2° Intégrer celte éfjuation et interpréter le résultat.

III. On considère le segment du plan d'une parabole, do paramètre p, qui est compris entre la parabole et la corde perpendiculaire à l'axe, (jui passe par le foyer de la parabole. En tournant autour de l'axe de la parabole, le segment engendre un solide ayant la forme d'une lentille plan-convexe. Calculer le volume de la partie de cette lentille qui est intérieure au prisme droit, illimité, ayant pour base un carré inscrit dans la face plane, circulaire, de la lentille.

QUESTIONS PROPOSEES AUX EXAMKNS DK LA SORMONNE 559

MÉc.vNKjrK. — Trois points matériels pesants 0, A, H, de même masse m, sont réunis par deux (ils élastiques idenliijues OA et OU. La longueur naturelle de cluKiue III est / et l'on admet que, lorsque ce lil est ti-ndu et a la longueur x, la tension est égale i\ K(x — /), K désignant un c(Kîfllcient numérique constant.

On place ces points en ligue droite, 0 situé entre A et H, sur une table rugueuse horizontale, après avoir tendu chaque III, OA et OU ayant la même longueur, et on les abandonne sans vitesse initiale.

l" Quelle doit être la valeur / du coefflcient de frottement, supposé le même pour les trois points, pour tjue le système reste en équilibre tant que la longueur AU ne dépasse pas 3{.

2" Le coenicienl de frottement ayant celte valeur /, on place les points comme précédemment, en donnant à AH la longueur M. Kludicr le mouvement du système.

Épreuve pralitjue.

La longueur x du côté du polygone régulier convexe de sept côtés inscrit dans une circonférence de rayon égal à l'unité est racine de l'équation

xt' — lx'*-{- 14x2 — 7 =0.

Calculer cette longueur x avec l'approximation que comportent les tables de logarithmes.

1921. — Juillet.

Épreuve théoruiiie.

Analvsk. — I. On considère les points A, B, C, ([ui, rapportés à deux axes rectangulaires Ox, Oy, ont pour coordonnées :

1' Équations des trois côtés du triangle ABC;

2" Calculer l'intégrale double 1= / 1 (x- -{- y-)dxdy étendue à l'aire du

triangle ABC;

3° Calculer l'intégrale curviligne J = / ^■^dy — y^dx, prise le long du contour A BCA

du triangle ABC;

4° La relation J = 31 s'explique-t-elle par une transformation classique d'intégrales curvilignes en intégrales doubles'?

IL On considère les quatre points Aj, A^, X^, A^, (jui, rapportés à deux axes rectangulaires Ox, Oy, ont pour coordonnées :

En ces points sont placées respectivement des masses posi/Jues variables m,, m^, m^, m^. 1° Calculer les coordonnées du centre de gravité G de ces quatre masses. 2° .V quelle relation doit-on assujettir ces masses variables pour que G décrive un segment de droite passant par 0'?

Quelles sont les positions e.xtrèmes de G sur ce segment'? A quelle condition G décrit-il une diagonale .\1.\3, ou Aj.V;, du carré Ap A,, Aj. A;'?

3" On pD3e

m, ^ a cos-7, . "u = (1 — a) cos- .-, - j

m3 = asia-.j, fni = (l — a)sin-.). \

Que représentent, respectivement, le point </, de Ox dont l'abscisse est cosu, et le

point g^ de Oy dont l'ordonnée est cosu'?

Lieu géométrique de G lorsque, u et u restant llxes, a varie de 0 à 1 ?

Lieu géométrique de G lorsque, a restant llxe entre 0 et I, u et u varient de fagon

que u-{-v=:.-y1 Cas pa»iculier « = 5-

MÉc.vMQiE. — Dans un champ de forces plan rapporté à deux axes rectangulaires Ox, Ov, la force qui s'exerce sur un point M de niasse 1, de coordonnées (x, y) a pour projections sur les axes de coordonnées.

- X = 2xy, Y = x2.

1° Montrer que la force dérive d'une fonction de forces. Déterminer et construire les lignes de niveau et les lijincs de forces.

2° On suppose que le point .M peut glisser sans frottement sur un cercle de centre 0 et de rayon 1 qu'il ne peut quitter. Déterminer les positions d'équilibre qui sont situées sur le demi-cercle supérieur ABA'. L'équilibre est-il stable ou instable?

3° A l'instant < = 0, on place le point M, dont la masse est i, sans vitesse initiale, au point A de coordonnées x = l, y = Û. Le point M glissant sans frottement sur le cercle on demande d'exprimer la force vive de ce point en fonction de l'angle 6 que le rayon OM fait avec le rayon initial Ok. Trouver en fonction de 6 le temps employé à parcourir l'arc AM. Étudier le mouvement.

4° Calculer en fonction de 0 la réaction du cercle sur le point 41 et étudier les variations de cette réaction pendant le mouvement.

N. B. Il est bien entendu que dans tout le problème on ne tiendra pas compte du poids du point M.

Épreuve pratique.

1° Un arc de cercle et sa corde ont pour longueurs respectives a et 6. Montrer que le demi-angle au centre correspondant, exprimé en radians est racine de l'équation

bb ^ a sinO.

2° En supposant

calculer le demi-angle au centre en degrés et minutes à une minute près.

3° Les valeurs données dans 2'' pour a et 6 étant supposées approchées à moins d'une demi-unité de l'ordre de leurs derniers chiffres, on demande si l'approximation demandée pour le demi-angle au centre peut être atteinte"?