CHAPITRE III
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Si 1 . - ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE. - CAS D'ABAISSEMENT
327. Généralités. — Une équation différentielle du second ordre est de la forme générale (voir n° 317).
W ''("•=''&'S) = °' °" F(., y, ,',!/■', = 0. L'intégrale générale, dépendant de deux constantes arbitraires Ci,Ca, est de la forme
(2) ^{x,y- Cj, c,) = 0.
On détermine les intégrales particulières par les conditions initiales suivantes : Pour une valeur x=zx^de la variable indépendante, y et sa dérivée premièrey'devront prendre des valeurs initiales données t/o,yo'
Cela revient à dire que la courbe intégrale doit passer par le point (jCg, yj, et admettre pour tangente, en ce point, la droite de coefficient angulaire 7^.
En d'autres termes, une courbe intégrale particulière sera définie par la condition de passer en un point donné, et d'y avoir une tangente donnée.
Cette double condition s'exprimera, (n° 3)7), par les équations en Cp c,,
328. Cas d'abaissement. — On dit que l'on peut abaisser Tordre de l'équation (1), ou qu'elle est susceptible d'abaissement, lorsque Tinté-
70 EQUATIONS DIFFKUKNTIELLKS DU SECOND OUDllE
jjjralion peut se ramener i\ celle d'é(jualions du premier ordre, pouvant elles-mêmes, évenluellemenl, s'intégrer par des quadratures.
Premier cas d'abaissement. — Supposons que y ne figure pas dans l'équation (l) : elle est donc de la forme :
F(x,v,v") = 0, ou F(.,g..g)=0. On peut l'écrire :
ce qui est une équation du premier ordre en i/. Si on a pu l'intégrer, l'intégrale générale sera ;/' = ^(x; c^), r^ étant une constante arbitraire. Il restera donc à intégrer
ce qui se fera par une quadrature :
y= /cp(x; c^)dx-\-c.2.
Second cas d'abaissement. — Supposons que x ne figure pas dans l'équation : elle est donc de la forme
Or, on peut écrire :
dy' y" dy = y'dx, dy' = y"dx; 'où 'c^ — ^'
ou encore •
„ ,dii'
L'équation devient donc :
équation du premier ordre en y et y'. Si on sait l'intégrer, elle donnera :
dxi y' = 'My;c,), ou ^J = .i.(y;cj;
et, les variables se séparant, le calcul s'achèvera par une quadrature :
Co.
Cas particulier. — Un cas plus particulier est celui où ni x, ni y' ne figurent dans l'équation; sous forme résolue elle est donc de la forme
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE 71
II est commode dt- multiplier les deux membres par y\ pour appliquer la méthode. Cela donne
ou, on mulliplianl par rfx,
y'{,/dx) = f{y)(y'djc), c'est-à-dire
]l'di.i' = f{y)dy.
En intégrant terme à terme, il vient :
p'' = ffiy)dy-hc^,
et on achèvera, comme précédemment, par une quadrature, après avoir résolu en y'.
Remarque. — Cette forme d'équation est celle qui se rencontre dans la dynamique du point {mouvement rectiligne).
Considérons un point matériel M, de masse m, mobile sur une
droite, et soumis à une force F, dirigée suivant cette droite, et ne dépendant que de la position du point. Prenons la droite pour axe
des X, et soit f{x) lintensilé de la force F, évaluée algébriquement. Le mouvement du point est alors régi par l'équation différentielle
En lui appliquant le calcul précédent, on l'écrit et en désignant par v la vitesse y = -r- ,
d (^mv^\ =f(x)dx.
Cette équation exprime le théorème des forces vives, le premier membre étant la différentielle de la demi-force vive, et le second membre le travail élémentaire de la force.
On en lire, en intégrant,
2'"("^) =ffi^)dx-hh,
où h est une constante arbitraire [constante des forces vives . Et une seconde quadrature donnera x en fonction de t.
72 EQUATIONS UIFFEHEXTIELLES DU SECOND OUUUE
Autre cas particulier. — Un cas analogue, au point de vue du calcul, est celui des équations de la forme
On peut écrire, en introduisant encore, dans les deux membres, le facteur y.
^ = Av).;/,
OU
c"est-à-diro
y' .y"dx
" giy') ~
y'dy'
oiy')
fiy)-y'dx.
f{u)dy-
En intégrant les deux membres, on est ramené à une équation en y' et y, c'est-à-dire à une équation du premier ordre, où les variables se sépareront. Donc l'intégration ne dépend encore que de quadratures.
Exemple 1. — Trouver les courbes telles que la projection du rayon de courbure sur un axe fixe ait une longueur constante donnée, a. Prenons cet axe pour axe des v. L'équation de la normale est ( n" 230),
Nous diflérentions pour avoir le centre de courbure (n" 238)
La projection du rayon de courbure MG étant Y — v, l'équation dilTérentielle des courbes cherchées est :
. I — = - , ou
On a donc, x^ étant une première constante d'intégration.
sin-
arc tgy' = -;x — Xu).
dy' dx
-".(te
tS-
dY =
d'où, en intégrant de nouveau, et désignant par y^ la constante d'intégration.
y — ro + a log cos^— -^« ' = 0.
Toutes les courbes représentées par cette équation se déduisent par translation de la courbe,
[21 v = — alog cos-l.
En effet, pour construire la courbe [1], faisDns une translation des axes, en portant l'origine au point (x^, yo). Soit .v,OiX, le nouveau système d'axes. Les nouvelles coordonnées sont i, = x — x,„ y, =.y — Vo (n" 206), et l'cquation [1] devient :
KgUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE
y, = — a log cos-J , qui ne diffère de [2] que par les notations. La courbe [1] se
construit donc, par rapport au système y,Oi.r,. comme [2] par rapport au système yOx; la courbe [2] se superposera donc à la courbe [I] par la translation (jui amène yOx sur ViOiO-,.
La courbe [2J porte le nom de chainette d'égale résistance; elle intervient, dans la théorie de la flexion (résistance dos matériaux). Cette courbe est facile à construire : elle se compose d'une infinité de blanches, qui se déduisent de la branche figurée ci-contre, par des translations successives, parallèles à Ox, d'amplitude ±: Tza. Le rayon de courbure en 0 est a.
Exemple 2. — Trouver les courbes dont le rayon de courbure est double de la normale et dirigé en sens contraire. Donc MC ^ — 2MN, dans la figure de l'exemple 1. Si on projette sur Oy, l'équation équivaut à proj. MG = — 2.proj. MN. Or, avec les
notations de l'exemple 1, on a : proj.MG = Y — y L'équation dilTérentielle du problème est donc :
et proj. MN = — y.
2yv" = 1 + y'2
Nous l'écrivons, pour intégrer, d'après les indications du second cas, (page 72),
d'où
En résolvant en v',
1 + yi - y
log(l+y'2) = iog-^, il vient ensuite :
2y'dy'
dy
et, par une nouvelle intégration,
VF
= dx;
Ces courbes se déduisent par translation (raisonnement analogue à celui de l'ex. I) de la courbe
Kcy — 4c2 ■=! 4c (y — c).
C'est une parabole, de paramètre 2c, et dont le sommet est x=:0, y=:c; car en transportant l'nriirine en ce point, au moyen de la formule y = c-|-y,, l'équation deviendrait x"- = 4cy,. L'axe des x est donc la directrice.
Les courbes cherchées sont donc toutes les paraboles qui ont Caxe des x pour directrice.
Remarque. — La propriété du rayon de courbure de la parabole, qui se trouve ainsi établie, se déduit facilement des résultats obtenus au numéro 239 (exemple 1) sur le centre de courbure de la parabole. En se reportant à la figure de la page 368, on voit que cette propriété équivaut à la suivante : UV est égal au double de la distance de U à la directrice, ce qui est une conséquence de la formule X^/'-|-3jr, obtenue à cet endroit.
74 EQUATIONS DIFFÉRENTIKLLES DU SECOND OUDRE
îi 2. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU SECOND OHDRE
329. Propriétés générales. — Une équation du second ordre, est dite linéaire, si elle est du priMiiier degré par rapport à la fonction inconnue €t à ses dérivées; c'est-à-dire si elle est de la forme
(1) Ay-+-2A,?/' + A,y = G,
où Ap, A,, A^, G désignent des fonctions de x seul. On convient d'écrire toujours dans le second membre, comme nous le faisons, le terme G indépendant de </, y', y"; on l'appelle le second membre de l'équation; et, s'il est nul, l'équation est dite sans second membre, ou homogène.
Pi'éliminaires. — Pour abréger l'écriture, nous désignerons par D(t/) ce que devient le premier membre de Féquation (Ij, quand on y remplace y par une fonction quelconque de x, et y' et y" par les dérivées de celte fonction. On aura donc identiquement,
(2) D(y) = Ay-+-2Ay + A,y,
et on peut dire que D est un opérateur différentiel linéaire, puisque celte lettre indique certaines opérations, où figurent des différentiations à effectuer sur une fonction y quelconque. Cet opérateur possède les propriétés suivantes.
