III. D(uy) = uD(r/) -4- 2u'(A,y' -+- A,t/) -h u".k^y

En effet

D(uy) = A„(»y,"-+-2A.(Mt/)' + A,(uy); or :

{urj)'z=uy' -\-yu',

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND OHDRK 75

d'où

((/)/)" = nij" -+- n'y' -+- y'n' -+- yu" = uy" -f- 2u'y' H- u"y.

Donc :

^ («!/) = \(wy" -H 2m'î/' + ii"y) -+- '2\,{uy' -+- uy) -h \.,uy

= «(Ao?/"4- 2A,,v' -h A,î/) 4- 2u'(Aoî/' "+- A.?/) + u".A,y, ce qui est la formule annoncée.

Remarque. — Considérons le polynôme en j'

qui se déduit de D()/) en remplaçant la lettre y par la lettre r, et les indices de dérivation par les exposants correspondants; donc y" par r^; y' par /• = r, y par 7'"= 1.

On l'appelle le polynôme caractéristique de l opérateur D; et on peut repasser de ce polynôme caractéristique o{r) à l'opérateur D en remplaçant, inversement, >•" par j/, r par y' , r- par y" (après avoir écrit le terme constant sous la l'orme Aj?").

Cela posé, on voit que le coefficient de u', dans la formule III, peut se définir comme ayant pour polynôme caractéristique

2(Aor + Ai)=:p'(/-); car il a les mt-mes coeflicients 2Ao, 2ky.

Enfin le terme en u" a pour coefficient AqJ, qui correspondrait de même à

AorO = Ao = ^?"(r).

On constate ainsi que la formule III se déduit de la formule de Taylor pour j (r),

ç('-4-s) = ?('-)+|ç'(0 + f?"(r), de la manière suivante :

Le premier membre sera remplacé par D(uy). On écrira le second membre, en y introduisant un facteur s**, (ce qui ne le change pas, puis([ue s" =: I),

sOç(r) + scp'(r) + '|?"(r).

On introduira de môme le facteur ;•" dans les termes indépendants de r de z,{r), cf'ir), zi"{r). En remplaçant alors s" par u, s par u'. s- par u", r" par y, r par y', r- par y", on obtiendra le second membre de la formule III.

330. Théorème 1. — La solution générale d'une équation linéaire avec second membre s'obtient en ajoutant à une quelconque de ses solutions particulières la solution générale de Véquation sans second membre correspondante.

Soit en effet l'équation

(1) Ay-+-2Ay-+-A,7/ = G,

que nous écrivons, avec la notation (2), (^) D(j/) = G.

76 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE

Soit iJq une solution particulière quelconque, de sorte qu'on aura^ par hypothèse,

Faisons, dans (4), le changement de variable

(6) y = y^-hu;

l'équation transformée, en u, sera

D(î/„+m) = G, ou, d'après II, Y){y^)-{-D{u) = G\

ce qui, à cause de (o), se réduit à :

Ainsi, la solution générale de (4) sera donnée par (fi), u étant la solution générale de (7). Comme celte dernière équation se déduit de (4) (à la notation près, u pour y), en y remplaçant le second membre G par 0, c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

Théorème II. — Si y^ et y., sont deux solutions particulières quelconques d'une équation linéaire sans second membre, et si leur rapport n'est pas constant, la solution générale de Véquation considérée est :

Cl et C.2 étant des constantes arbitraires.

Soit, en effet, en gardant les notations précédentes,

(9) T){y)=:\y"-h±\,y'-^Ajj = 0.

l'équation sans second membre considérée.

On vérifie immédiatement que la formule (8) donne une solution, car, d'après I et II,

DfCjT/, + c,y,) = D(c,j/J + Dfc^y,) = cj){y,) + c,D ft/,) ;

et, par hypothèse, D(yi) et D(j/j) sont nuls, puisque ?/, et //^ sont des solutions de l'équation (0), D(y) = 0.

Comme, d'autre part, la formule (8) contient deux constantes arbitraires, elle donnera l'intégrale générale si on peut disposer des constantes de manière à satisfaire à des conditions initiales arbitraires, (y=y^, y'^yl, pour X = x^) (d'après la proposition générale du numéro 317).

Or, si on désigne par (y,)o, (y^^; iy[)o\ (Vi)o 'es valeurs de y, et y., et de leurs dérivées pour x:=x^, les équations en c^, c^ qui expriment que la fonction (8) satisfait aux conditions initiales données sont :

<'i(î/i)o + <^2(y2)o = 2/o' Ci(y;)o -4- c,(i/:)o = yi Elles ont une solution unique <", si(î/,)o(i/j)o — (t/2)o(î/î)o n'est pas nul; c'est-à-dire si y^y', — j/^y,' ne s'annule pas pour x = Xf^.