ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES DU SECOND OIIDHE

Tout revient donc à prouver que x„, dont la valeur est arbitraire, peut être choisi de manière que cette condition soit remplie. Cela

résulte de ce que, par hypothèse, — n'est pas constant, de sorte que

sa dérivée ^^-^ — ., n"est pas nulle quel que soit x.

Pour préciser davantage, remarquons d'abord que le théorème ne s'applique qu'à des intégrales y,, y* autres que l'intégrale banale y = 0. Donc il y a des valeurs de x pour lesiiuelles yy n'est pas nul; et, par suite, y^ étant continue, il existe des intervalles dans lescjuels y, ne s'annule pas. Soit (a, 6) l'un d'eux : le rapport — - y sera

une fonction continue, bien déterminée.

Or, par hypothèse, ce rapport n'est pas constant, et nous entendons par là qu'il n'est constant dans aucun intervalle. Il ne l'est donc pas dans l'intervalle (a, 6)

considéré; et, par suite, sa dérivée — '■ — 5 !• n'y est pas constamment nulle.

Il existe donc, dans cet intervalle, des valeurs x r= Xq pour lesquelles le numérateur de cette dérivée, yiy.', — yîi\^ n'est pas nul. C'est ce qu'il fallait mettre en évidence.

Aixlrc déinonslraiion. — On obtient une démonstration directe, eu faisant le changement de variable y = uy,. D'après la formule III, l'équation en u, ainsi obtenue, sera :

uDCvj) + 2«'(Aoy2-i- Aiy,) + «". Aoy. = 0.

Et comme D(y2) = 0, par hypothèse, c'est une équation linéaire en u', sans second membre. Or, puisqu'on a posé yz^uy^, et que y = yi est aussi solution de l'èciuation proposée, il lui correspond pour l'équation en u la solution donnée par

yi^uy^, c'est-à-dire Ui = — . Donc l'équation en u' admet la solution particulière

1^1 ; et sa solution générale est, (n" 324), u'^Ci( — ) .q étant une constante arbitraire. On tire de là, en intégrant les deux membres,

» = Ci^ + C2, et y = uy, = ciyi -f Cjy,, (C.Q.F.D.).

331. Équation à coefficients constants, sans second membre. — L'intégration dune équation D(j/) = 0 est donc ramenée à la recherche de deux intégrales particulières. Elles ^'obtiennent facilement, si les coefficients Aq, A,, A.^ sont des constantes. On a, en effet, r étant une constante,

D («'•') = ^ir^e'^) -+- 'ikiire^') -+- A,e", car, pour y = e''% on obtient y'=zre'''', y"=zr-p/^. De là, la formule

D (e") = e^{k^r^ -^ 2A,r H- AJ = e"(f (r), ' o(r) étant le polynôme caractéristique de D(j/). qui est ici à coefficients

(i) Voir, dans les traités d'algèbre élémentaire, la discussion d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues: ax -\- by=c, a'x -\- b'y = c' . La condition pour que ce système ait une solution et une seule est a6' — 6a' = 0. Elle exprime que les deux droites représentées par ces deux équations ne sont pas parallèles (n"'2i4). C'est le résultat utilisé ici.

78 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND OIIDKE

constants. 11 suflira donc de déterminer r par la condition '^{7-) = 0, pour que // = C' soit une intégrale particulière. Cette équation ^ (r) ^ 0 s'appelle Véquation caractéristique .

i" Cas. — L'équation caractéristique a deux racines inégales. — Soient >-, et r.^ ces deux racines. Les deux fonctions ^J^ = e''''', ij^^ze"'^

sont des solutions particulières, et leur quotient --^rr: ^ = g'''~'''*r

?/i ^ ' u'est pas une constante. On a donc l'intégrale générale,

(9) y = CiC'"' -+- c.e'''^.

i?*" Cas. — L'équation caractéristique a une racine double. — Soit r cette racine; nous avons une première solution y^^e'^. Pour en trouver une seconde, faisons le changement de variable y = uy^ = we". D'après la formule III. l'équation en u sera :

(10) mD(»/,) -+- 2«'(A„y; -f- A,y,) -4- v!'.\y, = 0. Or,

Ky\ -H Ky, = Ki^-^''') + A.e" = e"(A„r + AJ = e-. |cp'(r).

Cette quantité est donc nulle, en même temps que D(îy,), puisque 7' est racine double de :p(?'). L'équation (10) se réduira donc à u" = 0; d'où u m c, -h c^x. On en conclut y = uy^ = ue'" = (Cj -h c.^x)e''''.

On a ainsi, dans le cas d'une racine double r de l'équation caractéristique, l'intégrale générale

(11) y ^(CiH-c,a7)e''-^.

En d'autres termes, en même temps que la solution particulière y, = e", nous avons la solution particulière y., = xe''''.

Remarque. — Si l'équation caractéristique a une racine nulle, r = 0, l'exponentielle e" qui correspond h cette raciije nulle se réduit à i. Si cette racine nulle est simple, on peut supposer que, dans la formule (9), r., est la racine nulle, et r^ l'autre racine; et cette formule devient

Si la racine nulle est double, il faut appliquer la formule (11), avec r ^0, ce qui donne

(11)' y = c^x-hc^.

On remarquera, du reste, que, si Véquation caractéristique a une racine nulle simple, on a Aj= 0, Ai =^0, et l'équation D(y) s'écrit

Acj"+A,/ = 0;

et on voit directement qu'elle est vérifiée par / = 0, c'est-à-dire par .v = constante; car cela entraîne /' = 0. Elle a donc pour solution particulière une constante arbi-