ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND OH OHE

traire, qu'on peut prendre égale ù 1. LÏMiuntion cnractérisliquc, débarrassée de sa racine nulle,

Aor + Ai = 0,

donne une solution exponentielle «"■•■r. On retrouve ainsi la formule (9)', en appliquant le théorème H à ces deux solutions Ci^ et 1.

Enfin, si l'étjuation carucléristique a une racine nulle double, on a Aj = 0, Aj = 0, et l'équation D(y) = 0 se réduit à

AoX" = 0 ou y" = 0,

On en conclut immédiatement que son intégrale générale est un binôme du premier degré (n" 127, th. M), ce qui redonne la formule (il')- On peut remarquer aussi qu'elle admet les deux solutions particulières I et x; et appliquer encore le théorème II.

Cas où les racines de Véquation caractéristique sont imar/inaires. — Supposons que les racines de l'équation caractéristique soient imaginaires; comme les coefficients A^, A,, A., de cette équation sont réels, ces racines imaginaires sont alors imaginaires conjuguées. Soient 7', = a-f-rii, r^^x — ^i ces deux racines. La formule (9) nous donne deu.x intégrales particulières réelles, en prenant :

d'où

yz=z e^'.cos^a:;

?/ = e''''.sin(icc.

Le rapport de ces intégrales est IgpJ? qui n'est pas constant; donc l'intégrale générale est, sous forme réelle,

(12) y=^c^e'" cos^a:-hC2e'"sin,3a: = e"{c^ cosSa^-h c, sin^x).

Remarque I . rj-f-rj = 2a, donc ar=-L-;^ — 2^^ ^

rl?^^=x^^-8^ donc a-H- ^i^:= -/'jr, = -^.

On en conclut