ÉQLATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE

d'où

Remarque 2. — On peut poser, en introduisant deux constantes arbitraires nouvelles, A- et x^ '" ; '

0, = k . cos ^ J-Q, c, = k . sin Ti x^, et la formule (12) prend la forme

(13) y^ke^cos^i^x — x^\

qui permet d'étudier les courbes intégrales.

Si on transporte, en effet, l'origine au point a- = a„ de l'axe des x, en posant x = Xo-i-j', l'équation devient

y = A-e'"+-'' .cos^a^'=:Ae''-' .e''-^' cosfJx'.

Donc, par la translation qui ramènerait à l'origine le point x-=.Xq de l'axe des x, la courbe (13) se superposerait à la courbe

y = A-Qe"cosflar, la constante k^ ayant la valeur

A-„ = A-e"% Pour connaître la forme des courbes (13), on peut donc se borner à étudier les courbes représentées par l'équation

(14) y = Ae^cos^a?.

Si on désigne par a la valeur absolue de A, et par m celle de a, cette équation est de l'une des formes

i/ = ±ae'^"'-'cospa;,

qui devient, par le changement de a? en — x, ou de y en — 7, de la forme unique

(15) y = ae-"''cosfJa;.

Les courbes (14) sont donc les courbes (15), ou celles qui en résultent par symétrie par rapport aux axes de coordonnées.

La constante ^ peut être, d'après sa définition, supposée positive, et nous poserons,

de sorte que la courbe à étudier est, en définitive,

TZX

(17) i/^ae-"''cos — .

(1) k et JiXfl sont les coordonnées polaires du point qui aurait c,, c^ pour coor» données rectangulaires.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTrELLES DU SECOND OUDHE

Construisons dabord l'arc (A) qui correspond à linlervalleU^ar^Soj. On a

dx

= — rtc-'"' 771 cos— -H-sin^ —

L Cl) (0 OJ j

Celle dérivée s'annule donc en- changeant de signe, pour

TJioj