IV. — Multiplicalion ou division par une constante
rb nb
cf{x)dx =^ c f{x)dx.
Si on pose cf{x) = (f{x), on a :
+ (6 — x„,)A;n)]; et, en passant à la limite, on obtient :
f''g{x)dx = c f''f{x)dx. (C. Q. F. D.)
Cas particulier. — Pour c = — 1 , on a :
f"[-f{x)]dx = - f"f{x)dx.
V. — Interprétation géométrique. Il s'agit de généraliser l'inlerprétation géométrique qui nous a servi de point de départ (n° 331)). Il eu. résulte, comme nous l'avons fait observer plus haut, (n" 3'«0,
remarque ti), que, pour a < b, et pour une fonction f{x) positive, qui, dans Vintervalle (a, b), varie toujours dans le même sens, l'intégrale
définie / f{x)dx est égale à l'aire A, comprise entre l'axe des x, la
courbe ij = f{x), et les droites x=:a, x=zb. (Voir la figure du numéro 33Î)). Essayons de nous afTranchir de ces restrictions. Nous supposerons d'abord a <. b.
1° Supposons d'abord la fonction f{x) positive; et décomposons l'intervalle {a, b) d'intégration en intervalles partiels tels que dans
INTKCRAI.KS DKFINIKS
chacun d'eux /(./) varie dans un môme sens, ou reste conslanle ' . Supposons-en trois, par exemple : {n, cj, (c,. rj, (c,, 0). Les ordonnées correspondantes délinissent, avec les ordonnées extrêmes, trois aires partielles, •' ,, •'\,, •'■, (voir la figure do la page précédente) ; et on a. d'après ce qui précède.
En ajoutant, on obtient :
A., -f- .i, 4- .«3 = / -+- J ' -+- J]" = (' f{x)dx.
Donc l'aire totale est égale à l'intégrale définie totale. L'iuté<jrale
définie, pour une jonction positive, est donc éijnli' à Inire correspondante.
"1" Supposons fix) négative dans Inut l'intervalle. Pour revenir au cas précédent, il suffit de changer le sens de l'axe des y. c'est-à-dire de poser y = — y'. La courbe
yz=f(x) devient ainsi t/' = — /*(a), et l'aire
correspondante est :
.1= f'y'dx= f' — f{.r)d.r = - f' f(x)dx.
Un a donc
f"f{x)dx = -X.
Donc l'intégrale définie d'une fonction néijdtivè est t^gnle ù l'aire correspondante, afft'ctée du signe ( — ).
'.i" Le cas général, où la fonction fia) change de signe un nombre quelconque de fois'*', se ramène au précédent en fractionnant 1 intervalle. Si la fonction change de si^ne, par exeniide, jiour x = r,, c^, r,, et est positive pourx = r/, on <Mrira
•^a »'rt »'.. c'., J-.
doù, d'après la figure, (voir page suivante)
= .t.-.S-+-.t.,-.lv
I) Voir les nule» (I) cl (2) de la paj^o 107. (2) Nous excluons le cas où elle changerait de Kj^iie une iiiniiité il<- ^()i^.
CrrtQRJLLES DÉraiiis
IKmc, émit* h tms fèmi^rÊl^ timtihjfpaU df^ie «si égmU è mue twumé mlftéritfme «Tirirv».
Les »iiv$ &ilaé«$ ;ftaHdessus de Ojt âoot «rtelltes <|oî ODt l« «g»^(-iH).
nkuttt^s, L»>* aines «îi"!"-^- *>!!iHd(f*s«& de Our siodI celles qui oïïI le
Oar on a \ = — / ; el le rèsulUt pré^^ent s'applique alors à la secx>Dde iolèt^^rale.
Rè^it ^éttérmiie. — Yoliî: Aîrv plane e«l susiceplible dèlre éraluée en valeur al^'brîqut^. Ou a^-i^-i-^ra- ,^ *H ^^ff.^! :?. "•'••-• .!•■ ■-■•.?..• ^''.r-^ it"it>
d'un mobile qoi en d^rù ^e oûu(<>ur d.Ans un sens détermina: el la mesure de^ Taire sera affeelee du si$ii;ne k— )), ou du signe ( — i. suivant que son contour sera décrit de manière que le mobile qui le parcourt tourne, autour d'un point intérieur, dans le sens* des rotations posi- Uv es. ou dans le sens des rotations négatives.
Convenons de plus que pour les aires considérées dans ce qui
lun. ««iaLk5JCi< — II. *
INTEGRALES DEFIMES
précède, le mobile décrira le contour en parlant du point x=za de l'axe des x, et se dirigeant d'ahord. sur cet axe, vers le point x = b. Le signe de chaque aire étant ainsi déterminé, l'intégrale est égale
à l'a'.re limitée par le contour, ou à la somme des aires partielles, chaque aire étant prise en valeur algébrique.
Remarque. — La détinitinn que nous avons donnée, au numéro 201, (t. J, p. 295), pour la valeur aljébrique de l'aire d'un triaihjle, est d'accord avec la définition ci-dessus; à condition que l'on convienne que Taire d'un triangle OAB (voir la figure du tome I, p. 2fl3) a son signe déterminé par la considération d'un mobile qui décrit le périmètre du triangle dans le sens OAB, correspondant à Tordre dans lequel on énonce les sommets 0, A. B, en nommant le triangle. D'après la définition ci-dessus, Taire OAB est positive si ce mobile tourne dans le sens des rotations positives, et est négative dans le cas contraire. 11 suffit de faire deux
figures pour constater que, dans le premier cas, l'angle AOB a la disposition directe ; et que, dans le second cas, il a la disposition contraire.
342. Formule de la moyenne. — Supposons a<b\ et soit M une borne supérieure de f{x) dans l'intervalle (a, b)\ de sorte qu'on a. dans cet intervalle, /"(o^)^ M.
Dans la somme ; S=(a:,— a)/(i,)+(a?,— a7,)/(i2)+. . .-^{Xk—Xu^,)f{lu)-\- . . .^{b—Xn-,)f{\n)
on a /"(;a)^M; et, en multipliant par {x^ — x^i), qui est positif, on a pour le terme général de la somme : (a?/, — a?A i)/'(^,) ^ M(x/. — x^-x). 11 en résulte donc, en ajoutant toutes les inégalités analogues, S<M(a;,— a)-|-M(a^2— x,)+M(j;3— a?.j4-...-hM(ar„i— x„i)-l-M(6— a:„,), 'è^}^[{x^ — a)-^{x^—x^)-\-{x^—x^)^. ..-|-(x„j— j:'„î) + (6— j„,)]; et, en simplifiant, S^ Vl(6 — n). Ainsi
n<^b et /"(xj^M entraînent / f{x)dx^}i\{b — a).
Ja
On verra de même que :
a<b et f{x)^vi entraînent / f{x)dx'^in{b — a).
INTÉGRALES DEFINIES 115
On en conclut renoncé suivant :
VI. — Si f{x) est conifjris entre m et M dans tout l'intervalle (a, 0),
XI, f{x)dx est comprise entre m(b — a) et M {h — a).
Cet énoncé ne suppose plus a < b; car si a > 0, on a, d'après ce qui
précède : in{a — ô)^ f f(x)dx^M{a — 0); et on en tire, en clian-
geant tous les signes,
m{b — a)'^— r f(x)dx = Ç f(x)dx ^ M (6 — a) ;
de sorte que le sens des inégalités est seulement changé'".
De la proposition précédente, on conclut, en divisant par h — a, que
T ; f(x)dx est compris entre m et M. D'une manière plus précise,
tf — a «/Il
si a<b m(* — a)< r<M(6 — a), d'où m^j^^-^£ ^^\
si a>b m{b — a)^ / ^ M (i — a), d'où m^T / ^M.
On a donc, dans tous les cas,
