VII. »«<7-'— f'f{x)dx

Supposons que M soit la plus grande valeur de f{x) dans l'intervalle, et m la plus petite. Les inégalités précédentes expriment que le terme moyen a une valeur a, comprise entre m et M. Elles peuvent donc se remplacer par

(S) T-^ f''f{x)dx = <x, rn< u.<M;

ou

9) f f{x)dx = ^{l> — a). m<a<M,

OÙ a est, comme nous l'indiquons, un nombre compris entre la plus grande et la plus petite valeur de f(x} dans l'intervalle.

De plus, comme f(x) est supposée continue dans tout l'intervalle, f{x) ne peut passer de sa plus petite à sa plus grande valeur sans

(I) Conséquence. — Si \f{x)\ est inférieur à P dans iinterualle a, b), l'intégrale

j f(x)dx est, en valeur absolue, inférieure ù\ b — a P.

Car/(x) est compris entre — P et + P. de sorte que l'intégrale est comprise entre — (6 — a) Pet (b — a)P.

INTEGRALES DEFINIES

oc

ri j

passer par cette valeur ix. et on a, [x = /'(c), c étant un certain nombre de rintervalle (a. h). On écrira donc, au lieu de (9),

(10) j f{x)dx = {h — a)f{c), c = a-hO{b — a), 0<0<1.

Les égalités (8). (9). (10), coirstituenl, sous trois formes différentes, ce quon appelle la formule de la moyenne.

Interprétation géométrique. — Supposons f{x) positif dans l'intervalle, et a<zb. L'intégrale est égale à l'aire .1= UAHKBVU;

et b — rt = UV. La plus petite valeur m de f{x) est K'K ; et la plus grande valeur M est H'H.

L'aire .1 est comprise entre les aires 7n{b — a) et M{b — fl) des rectangles UA'B'V et UA"B"V, dont le premier est intérieur à .1), et dont le second contient Â> à son intérieur (Proposition VI).

L'aire .1 est donc égale à. celle d'un rectangle Ua^V, de même base et de hauteur intermédiaire. Ua = a, Convenablement choisie. La condition est que les aires hachurées situées au-dessus et au-dessous de a^ soient équivalentes. On a ainsi .1. = \i.{b — a), ce qui est la formule (9). Enfin, il y a ici deux valeurs c, telles que [x=:/'(c) : elles correspondent aux points où a,3 rencontre l'arc de courbe donné AHKB.

Valeur moyenne. — La valeur p. de la fonction, définie par. la formule (8), s'appelle la valeur moyenne de la fonction dans l'intervalle {a, b). Cette notion de valeur moyenne intervient dans beaucoup de questions de physique.

On peut se rendre compte qu'elle est une généralisation de la notion élémentaire de moyenne arithmétique.

En effet, supposons qu'on ait divisé l'intervalle (a, h) en n parties égales; et soient a. x^. x.^, . . .,x„i, b les bornes des intervalles successifs ainsi déterminés. On aura :

et, en prenant la somme S sous la forme (1),

nous aurons

INTÉGRALES DEFINIES

Nous lirons de là :

f{a) + f{x,)-i- ...-hf{Xn-0 = el, pour plus de symétrie,

nS

/iS

La moyenne arillimétique des valeurs de /"correspondant à toutes les valeurs de x, en progression arithmétique, a, x,, a-.,, ..., x„,, b, est

tI/'(«)+A>^-.)

f{^. ^)-\-nf^}]=

El. si on passe à la limite dans le second membre, on voit que cette

moyenne arithmétique tend vers :

1 1 r* T . limS^-^ / f{x)dx, c'est-à-dire vers ce que nous avons

0 (l 0 Q, Ja

appelé la valeur moyenne de la fonction dans l'intervalle.

Valeur efficace. — On introduit aussi en physique, sous le nom de valeur ef/icace de f{x) dans Vinlervalle (a, h), la racine carrée y de la valeur moyenne du carré de la fonction. Cette valeur efficace y satisfait donc, par définition, à la formule

343. Relation entre les intégrales définies et indéfinies . — Les deux notions dintégrale définie et d'intégrale indéfinie ont une interprétation commune par les aires (n" 3Ui el n" 339); on doit donc prévoir un lien étroit entre elles.

Supposons f{.v) positif, pour les valeurs auxquelles nous aurons affaire. Traçons la courbe y = f{x), et les ordonnées U.\. HM, VB qui correspondent aux valeurs o, x, b de Tabscisse.

Supposons encore a<b. Soit ¥{x) une fonction primitive quelconque de/"(jr), V{x)= Ç f{x)dx:VQ.\vQ UAMR étant aussi une fonction primitive A(a?) de f{x), on a, puisque deux fondions primitives ne peuvent différer que par une constante addilivc,

Ug INTEGRALES DEFINIES

Ur, pour x=za. on a A = 0, puisque les ordonnées UA, RM, qui comprennent l'aire, se confondent. Donc

0 = A(a) = K(a)-l-C, ou C = — K(a).

De sorte que la formule (11) devient

Si, en particulier, on y fait a; = A, on obtient, pour A, l'aire .i^UABV;

c'est-à-dire l'intégrale définie / f{x)dx.

I. — Formule pour le calcul des intégrales définies. — On a donc la formule annoncée :

(13) r f{x)dx=F{b) — F{a), avec V{x)= ff{x)dx.

Cette formule ramène le calcul des intégrales définies au calcul des fonctions primitives ou intégrales indéfinies.

On convient d'écrire ¥{b) — F (a) = [F(x)]|;, ce qu'on énonce : ï{x) pris entre a et b. La formule s'écrit alors

(14) r f{x)dx = [¥{x)\''a, avec V{x)= ff{x)dx.

On pourrait l'écrire sous une forme plus condensée, el plus expressive :

£f{x)dx=yf{x)dx']^^,

qui montre que cette règle de calcul des intégrales définies est, en

quelque sorte, indiquée par la notation / f{x)dx.

Inversement, l'aire variable k{x) étant Tune des intégrales indéfinies de f{x)dx, {n" 301), et étant égale d'autre part, {n° 340), à rintégralc

définie / f{x)dx, on conclut que :

II. — L'intégrale définie / f(x)dx, considérée comme fonction de sa

limite supérieure x, est l'une des intégrales indéfinies j f{x)dx.

Remarque 1 . — Cette propriété explique que l'on ait été conduit à employer le même mot, [intégrale), pour désigner les intégrales

définies et les intégrales indéfinies; et aussi le même signe / . Le mot

indéfini rappelle l'existence dune constante arbitraire dans l'intégrale indéfinie.

INTÉGRALKS DÉKINIKS 119

Remarque 2. — Od peut préciser davantage, si on se rappelle que

A(j)= / f(x)dx s'annule pour x = a. Car le calcul ci-dessus montre

< Il

qu'il n'y a qu'une seule intégrale indéfinie, F(a-)-f-C, qui s'annule pour xz=a, celle pour laquelle C = — V(a). On complétera donc l'énoncé précédent, en disant :

f{x)dx est celle des intégrales indéfinies

de la différentielle f(x)dx qui s'annule pour x = a.

Remarque 3. — On remarquera que la notation / f{x)dx n'est pas

correcte, x désignant à la fois lu limite supérieure de l'intégration, et la lettre de sommation, (cf. n' 3 41, I) : il vaudrait mieux changer

cette dernière, en écrivant, par exemple, / f(u)dn: mais c'est l'autre

notation qui est la plus usuelle.

Remarque 4. — Le fait que / f{x)dx est une intégrale indéfinie de f{x)dx peut s'énoncer ainsi :

Théurème. — La dérivée d'une intégrale définie, considérée comme fonction de sa limite supérieure, s'obtient en remplaçant, dans la fonction

sous le signe l , la variable par cette limite supérieure.

Ainsi, si on pose j f{x)dx = <l' (a, b), on aura. '-:j- = f{b). Hemarquons que

I '' f{x)dx = — 1 f{x)dx,

t't nous conclurons que ^ = — — / f(x)dx = — f{a). Ainsi :

(lo) y| = /(*), ^ = -A«), pour <l>{a,b) = f''f{x)dx.

344. Démonstrations analytiques des résultats précédents. — Les réï^ullats précédents n'ont été établis que sous les conditions a < b, fU) > 0. H est facile de les obtenir directement en toute généralité.

1" On a en effet, en posant, comme ci-dessus, / f{x)dx=']>(b). et donnant à b un accroissement //,

A'I> = <I' b~li) — >\> b = Ç''^"f(x)dx— f''f{x)dx= f'"'' f{x)dx:

INTEGRALES DEFINIES

et, en appliquant le théorème de la moyenne, (('quation (10) du numéro 342),

A<l> = [{()-+- h) — b]f{c) = hf{c), {c compris entre h et h -h h) :

Si on fait tendre h vers zéro, c, qui est compris entre 6 et 6 -h /i, tend vers b; et /*(c) tend vers f'{b), car on suppose f{x) continue. Donc

-Tjr tend vers f{b); c'est-à-dire que <1> a une dérivée, qui est

C'est le théorème énoncé à la fin du numéro précédent.

Ce théorème équivaut, en changeant les notations, à celui-ci :

«I)(a:)= / f{x)dx a pour différentielle f{x)dx.

C'est le second des résultats fondamentaux précé lemmenl obtenus.

liemarque. — La définition analytique de l'intégrale définie (n° 340)

. f{x) dx^O;

ce qui sera d'accord avec l'interprétation géométrique de rintégi-ale définie par une aire. Le raisonnement ci-dessus s'applique alors encore pour b = a, et l'énoncé précédent subsiste pour x^=a. On peut, de plus, en reprenant le raisonnement de la remarque 2 du numéro précédent, donner de nouveau à cet énoncé la forme plus précise III :

nx

L'intégrale définie j f{x)dx est celle des intégrales indéfinies de

f{x)dx qui s'annule pour x=z a.

2° Si on introduit maintenant une intégrale indéfinie quelconque F(ic)= f{x)dx, on peut reprendre un raisonnement analogue à celui du début du numéro 343. On a, d'abord,

puisque •!> et F sont deux intc'grales indéfinies de la même dilTérentielle f{x)dr.

Faisant ensuite dans celte identité, x=^a, un ul)lient : 0=F(o)-f-C, ou C = — F(o); et l'équalion (16) devient, avec celte valeur de C,

On en lire donc, pour x = b,

*t>{b)=f''f{x)dx = V{fj) — F{ay,

Cest le premier des résultats essentiels qu'il s\igiss(til de retrouver.

345. Premières applications. — Application 1. — Aire d'un segment de parabole. — Soit à calculer l'aire du serment de parabole sous-tendu par une corde MM' perpendiculaire à l'axe. Nous calculerons la moitié supérieure. L'équation de la courbe esiy'- = 2px, et on a à calculer

A(x)= / ydxz=:}/2p I \/xdx=\'2p. U-i"

Comme la fonction primitive employée s'annule pour X = 0, il vient simplement

\=^\2pTi = .^y,2p.xy,x = ^x. v2px = j^X/.

On voit ainsi que l'aire ombrée est les ~. de

celle du reclan{rle OL'MV. Donc la parabole partage l'aire de ce rectangle dans le rapport de 2 à 1.

Application 2. — Aire d'une parabole du deuxième ou du troisième degré. — Soit à

/"' calculer une intégrale do la forme / ydx, avec y = Ax^ + Ba;^ -|- Cj -f D.

Nous pouvons faire un transport d'origine, en [trenant Torigine nouvelle au milieu de l'intervalle (a, 6); la fonction y restera du troisième degré.

if <"] v

Pour ne pas compliquer les notations, supposons que cela ait déjà été fait, c'est-à-dire que l'on ail a = — h, 6 = + /'• L'intégrale est donc :

A, = / (Ax3 + Bx2 + Cx + \))dx = A ^ -4- By + C^ -f- Dx I . .

Les termes de degré pair en h se détruisent ; ceux de degré impair se doublent ^ et il reste

(i) Posons

Jh = 2B ^ -f- 2D/.

yi = UP = — A/i' + B/ii — C/t + D, vo = VQ = A/t^ -f B/i2 -j- C/i -f D

Vo=OR=:b,

l.NTEGRALKS DKFINIES

et nous aurons :

V, 4- v.= 2B/IÎ + 2D; donc

de sorte (jue la formule (t) s'écrit :

2H/.2=rv, + v,-2j'o-,

a. = v' [vi + y, - 2jol + 2/.v„ = ^ (.r, + y. + 4yo).

Si on pose enfin L'V = 2/» = H, il vient :

•^^' = ^(yi + v, + 4v„).

' Cettfc formule fait intervenir la hauteur H

du trapèze mixtiligne, ses bases y^ et y», et

la section Vq parallèle aux bases, et équidistante de ces bases.

1° / ' — — j=|Arctgx .en prenant pour fonction primitive la détermi-

nation principale de lare tangente.

Alors Arctg(l) = j, Arc tg(— 1) = - ^; donc |^Aic tg-rj^^ = '^ - ( — ^) = |. Ainsi

+' dx

2° / ^ - . On prendra pour intégrale indéfinie Arcsinx, et on a

Arcsin(.5) = |, Arcsin(0) = 0.

Donc la valeur de l'intégrale est

[Arcsina:|j = |-0 = ^.

Ainsi

r^ dx Tz

Ji) Jl —xi~ 6"

3° Comme exemples d'inlrgrales définies, considérées comme fondions de leur limile supérieure, nous avons les formules simples et importantes :

dx . /'-" dx

logj-

= r'i' ■^-'^'^=xv

Arc

r^ dx

sinx= / ■

4" Comme exemple de valeur moyenne, cherchons la valeur moyenne de la force vive d'un point matériel de masse m animé d'un mouvement vibratoire rcctiligne simi)le, pendant une période du mouvement.

La vitesse est de la forme: i' = <i.sin"' . T étant la période, l.a valeur moyenne cherchée est donc

1 /••■+T , ■ ,2T.t., mai z-'+r

2nt

dl.

INTKOnALKS DEFINIES 123

Eu écrivant sin'-^^ =; .jl 1 — cos-;^-), nous voyons que l'intégrale indéfinie est

mais le sinus reprend la même valeur aux deux limites de l'intégration; et l'intégrale délinie se réduit à :

Donc

mai T 1 , (j. = -qî- • 2 = .^fna~,

ce qui est la moitié de la force vive maxiina.

Remarque, — La démonslralion de la formule fondamentale (13) (13) f''f(x)dx=V{h)~V(n),

suppose que la fonction V(x) a une valeur unique, bien déterminée, pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle d'intégration; car cette hypothèse est, ainsi que celle de la continuité de V{x), implicitement contenue dans le fait que F(.r) a pour dérivée fix), dans tout l'intervalle d'intégration, fait qui sert de fondement à la démonstration de la formule en question ' .

Cela nécessite, dans certains cas, quelques précautions dans l'application de cette formule.

Soit, par exemple, a. calculer l'intégrale définie

rn 0= r fa

Ju '^ cos-a; + 1

Cette intégrale a un sens, car la fonction sous le signe /

^^^ •^*'''="3cosia;+l'

est continue dans l'intervalle d'intégration (0, t:). Pour trouver une intégrale indélinie

nous appliquons la méthode indiquée au numéro 310, en posant

du , 1

tg./- = u, x=ArclgH. dx =

La dilférentielle à inlégrer devient

ddx du du 1 2

3cos-jr-l-l 3 + (l-t-u-) 4 -)- u-

(1) Nous avons supposé, d'autre part, la continuité de /(x) dans l'intervalle d'intéirration, puisque nous avons fait intervenir cette hypothèse dans In dédnition de

l'intégrale di'llnie / f{x)dx.

124 INTKGRALES DKFINIES

D'où la fonction primitive .-, Arc tgru, c'est-à-dire

F{x) = ^A^ct^'(Jtgxy

Nous avons supposé, implicitement, dans ce calcul, — 2^-^"^2" ^''''^ ^° vérifie immédiatement que la fonction [4] a pour dérivée f(x), sans que celle restriction intervienne; il suflirail aussi, pour la lever, de tenir compte de la périodicité des fonctions [2] et [4].

Relativement à l'intervalle d'intégration (0, tt), il reste, néanmoins, une difficulté,

pour la valeur .r = "; car on trouve, en faisant tendre x vers ^ dans la formule (4),

Donc l'intégrale indéfinie [4] n'a pas une valeur unique, bien déterminée, pour x^^; et la formule i,i3) ne' peut s'appliquer directement, en utilisant cette fonction, au calcul de J). Voici comment on lèvera la difficulté.

Premier procédé. — On fractionne l'intervalle, en écrivant

' ^/u 3cos-x4-l Jr 3cos-a-+t' et on prend F( ^ 1 = t pour la première. F( ~ ) = — r pour la seconde; ce ^\\x\ donne

Second procédé. — On peut substituer à la fonction ^4] une quelconque des branches de la fonction

15] F(x) = 2arctg(^2'S-^)'

sans qu'elle cesse d'aToiT"^/(x) pour dérivée; et il suffira de choisir, dans cette formule, la détermination de l'arc tangente de manière à avoir une fonction F(x) bien définie (et continue) dans l' intervalle d'intégration. Cela se fait en prenant

( F(x) = :j Arctg(^tgx| pour 0;^a;^J,

/ F(.r) = { [t: + Arc tg(^ tgarj] pour | ^ x < tt;

car on a bien Jiinsi

F(^ûj = F(| + 0) = ^.

L'applicatibn directe de la formule (13) à ^1 donne ainsi 0 = l[7r + 0]-^(Û) = ^.

INTEGRALES DEFINIES

5; 2. — calc[:l approché des intégrales définies

347. Formule de Simpson pour le calcul approché des intégrales. — Quand on ne peut pas obtenir une forme explicite de rintégrale indéfinie / f{x)dx, en appliquant 1rs méthodes d'intégration usuelles

(chap. i), on évalue l'intégrale définie / f{x)dx par un calcul approché ".

yz

'Jzn-i

Vzn

hn,,

Une formule simple résulte, de rapplicalion de la (ormule du numéro 345, application II. On décompose Tinlervallo {a. h) en un nombre pair, 2??, de parties égales. Soient »/,, y^, . . ., yt,, les ordonnées des points de division.

Les ordonnées impaires j/,, j/j, y., . . . , y2n+\ seront considérées comme les bases de n trapèzes mixtiiignes que l'on assimile à des trapèzes dont le côté courbe serait une parabole du deuxième ou du troisième degré.

On a ainsi approximativement , par la formule (2) du numéro 345,

pour h ^

^^' = ô(yi

ou

ou enfin

- yin+i) -h (y

-Vin)]

On se rappellera que le nombre des divisions est 2n.

(1) Si on fait le calcul pour diverses valeurs de b, on a un certain nombre de

valeurs de Y = / f{x)dx; et on peut dresser une table des valeurs de cette fonc-

tion de .r, qui est une intégrale (indéfinie) particulière de f{x)dx. Ce sera donc alors l'intégrale déllnie qui fournira l'intégrale indéfinie inconnue.

INTKC.HALI'S DKriNlES

Dans celle formule, E esl la soinine des ordonnées exlrèmes, I' celle des ordonnées de rang impair (à l'exceplion des ordonnées extrêmes), P la somme des ordonnées de rang pair.

348. Formule de Poncelet. — La mélliode suivante a lavanlage de donner aisément une limite de Terreur qui résulte des approximations admises, à condition que la concavité de l'arc de courbe ne change pas dans l'inlervalle d'intégration, ce (jue nous supposerons.

Considérons, par exemple, le cas où la courbe tourne sa concavité vers le bas. L'intervalle (a, b) sera divisé en un nombre pair, 2n, de parties égales. On a ainsi 2/? -+- 1 ordonnées y^, y.,, . . ., y>n+i- Joignons les extrémités GDEF des ordonnées de rang pair; et joignons les extrémités des ordonnées extrêmes AA', BB' à celles des ordonnées voisines (y, et j/i„). Nous formons ainsi des trapèzes inscrits, ACC'A', CDD'C, . . ., EFF'E', FBB'F', dont la somme esl inférieure à Taire, (ou intégrale définie), à évaluer. On a ainsi :

.Vi/.-

les trapèzes extrêmes ayant pour hauteur /i=— ^ — , et les autres

ayant pour hauteur 2A. Donc, en remarquant que chaque ordonnée de rang pair intervient deux fois.

j/,„) + 2(y,-hrj,

^^■>h [2(2/1-+- î/^.+i) ce qu'on peut écrire :

ou enlin, en désignant encore par P la somme des ordonnées de rang pair,

^ = iXVi-^ ]|in-^ — y. — ytn)-

Menons, d'autre part, les tangentes aux extrémités des ordonnées de rang pair, jusqu'à leurs points de rencontre avec les ordonnées voisines prolongées. Nous formons ainsi des trapèzes UVV'A', WRR'V, . . ., YZB T', dont l'ensemble contient à son intérieur Taire à évaluer.. On a pour Taire du premier, par exemple, 2/i//^. Donc

(2) .V < 2/1 (j/, + j/,^... +(/„.), ou .^</i.2P.

INTEfiHALES DKFINIIÎS

D'où, en ri'unissant les formules (1) et (:2) (3) h{^\*~[--l\)<.\.<fiMl\

De sorte que si on prend, pour .!•, la moyenne aritlunétique des termes extrêmes de cette formule, on aura une valeur approchée dont

l'erreur sera au plus égale à la demi-difrérence de ces termes extrêmes, c'est-à-dire à /* 1 ^ |.

On a ainsi la formule de Poncelet, qui donne, pour l'aire Jh, la valeur approchée

(4) ,a,= ^(2P4-A), erreur <^'|A|

Remarque. — D'après le théorème des accroissements finis, la fonction à intégrer étant y = f{x), on a :

yi — yi = hf'(a'), yin+i — y2n = hf'{b').

a' étant compris entre a el a-h h; et h' étant compris entre b — h et b. Donc

hl = ^[f'{b')-r{ay^.

Comme on suppose que f" est de signe constant, f varie toujours dans le même sens, de sorte que, en valeur absolue. f"{b' — /'(a ) est plus petit que f'{b) — f'{a). Donc

h\\<jf'(b) — r{n)l avec

INTEGRALES DEFINIES

Ainsi rerreur. quand on divise rintervalle en 2» parties égales, est moindre que

Celle expression d'une borne supérieure de l'erreur permet de choisir n de manière à obtenir une approximation lixée à l'avance.

349. Procédé graphique. — Klanl donnée la courbe (C), y = f{x), on

se propose de tracer la courbe intégrale V := / f{x)dx.

Un pourra employer la méthode des isoclines (n° 321) car il s'agit de la courbe intégrale de l'équation différentielle

d\ f, , qui satisfait à la condition initiale Y = 0 : pour x=^x^.