VX
A jc
Le point de départ sera donc le point \^ de l'axe des x, qui a ar = a?o pour abscisse.
Les isoclines sont des parallèles à 0//, soient !„, I,, I^, I^, ..., d'abscisses x^, x^, Xj, .Tj, ... ; car les courbes /(a?, yi = m du numéro 321, sont ici f(x) = m, ce qui entraîne x = constante.
Pour chacune d'elles, la pente correspondante des intégrales est m=f{x), c'est-à-dire qu'elle est mesurée par l'ordonnée de la courbe donnée. En projetant en V(„ V,, V^. ..., sur Oj/, les points
INTEGRALES DEFINIES i 29
Mo, Mp Mj, ..,, où(C) est rencontrée par les isoclines, on obtient en I'Vq, PVp PVj,' . . ., les directions des côtés successifs de la ligne brisée ApCjCjCj, . . ., construite suivant la règle du numéro 321.
Suivant la nième règle, il ne restera, après avoir tracé celte ligne brisée, qua dessiner une courbe A^A^A^Aj, ..., tangente aux côtés successifs A^C,, C,C,, CX,, . . ., aux points A,,, A,, A.^, . . . , qui sont sur les isoclines successives. Cette courbe sera, sous une forme approchée, la courbe intégrale cherchée.
350. Méthode générale. — Extension de la notion d'intégrale définie.
D'une manière générale, comme nous l'avons vu, le calcul des intégrales définies se ramène au calcul des intégrales indéfinies par la formule :
(1) f'f(x)dx = F(fj)-F{a) = [F(x)l, où F(x)= f f{x)dx.
Cette formule conduit, de plus, aux extensions suivantes de la notion d'intégrale définie.
I. — La fonction f(x) est infime pour une des limites d'intégration. Si f{x) devient infini pourx = ^, et si l'intégrale
rf{x)dx=F{x) — Fia)
tend vers une limite, lorsque x tend vers à, cette limite D sera, par définition, l'intégrale définie / f(x)dx. On aura donc, dans ce cas
cT= f'f{x)dx = UmF{x) — F{a).
J"' dx T
'. = Arc sina- tend vers- lorsque x tend vers I, quoique 0 \ 1 — X- 2
la fonction sous le si^ne / devienne alors infinie. On écrira :
dx 7t
Exemple 2. / ^ = Ioga-. Si on fait tendre x vers zéro, devient infini; mais
ici, logx devenant infini, l'intégrale / — n'a pas do sens; on peut dire quelie est égale à — x. , comme logx.
r^ dx
Exemple 3. j , , où m a une valeur positive quelconque (eoticre ou non»
et où a < b. L'intégrale a pour valeur, pour a •< x <C 6,
MATH. r.ÉNÉHALES. — II. 9
INTKGRALE^ UKFINIES
ï \-, , ,.,. . . .... I > . SI m^l; et log r, si/n = l.
Si donc m r? 1, elle devient infinie litrsque x tend vers 6; si m <; 1, elle tend vers 1 1
Règle. — On démontre que si f[x) est, par l'apport à . , un infiniment grand d'ordre déterminé, inférieur à 1, (ou, plus généralement, d'ordre inférieur à un nombre a, plus petit que 1), Vintégrak,
I f{x)dx
a une valeur; et que si f{x) est d'ordre supérieur ou égal à 1, cette intégrale est infinie.
C'est ce qui se vérifie sur les exemples précédents.
Remarque I . — 11 peut arriver que f{x) devienne infinie aux deux limites de linlégration; la définition et la règle qui précèdent s'appliquent encore à ce cas.
C'est ainsi que Ton a :
= i^Arc sina;Ji| = (
Remarque 2. — Si f{x) devenait infinie pour une valeur comprise entre les limites d'intégration, on fractionnerait l'intervalle de manière " à rentrer dans le cas où f{x) est infinie pour une des limites d'intégration.
Ainsi
/ J^,= r=.-^ 37== 3vx -1-+- 3v.r =().
J-l \X- J-iy^X- .'0 \lx- L J L Ju
Remarque 'i. — On rencontre aussi le cas où f{x) est discontinue, sans devenir infinie, pour une ou plusieurs valeurs de l'intervalle d'intégration, en faisant en ces valeurs des sauts brusques (n" 27). Lextension de la définition de l'intégrale définie à ce cas se fait immédiatement en fracliounaut l'intervalle, comme dans le cas précédent.
Si, par exemple, f{x) est continue poura^ar < c, et pour c < x^b : et si f{x) tend vers des valeurs f{c — 0) et /"(c + 0), lorsque x tend vers c, par valeurs inférieures à c, et par valeurs supérieures à c,
respeclivemenl, les intégrales / f{x)dx,el / /'(j^^jrfj- auront un sens,
en prenant f(c) ^ f{c — 0) pour la première, et f{c) = /"('• -h 0), pour la seconde. Et on posera, par définition,
f''f{x)dx= rf{x)dx-^ f''f{x)dx.
INTEGRALES DEFINIES
L'inlerprélalion géométrique est manifeste. Si on suppose, par exemple, pour simplilier, f{x) positive, l'intégrale à définir représente
Taire A'B'BCX,A\', qui est la somme des deux aires représentées par les deu\ intégrales écrites dans le second membre de la formule.
II. — Intégrales à limites infinies. — Si F(x) est définie de a à H- 00 , on peut, dans la formule (1), faire croître h indéfiniment; et si F (6) tend alors vers une limite, on écrira :
("^'/■(j^^x^limFi/y) — F(a).
f{x)dx, , , - *
ou de la forme / f{x)dx.
Ainsi, on a :
-j-p^,= [Arctga:J^ =ArclK(-^ oc) - Arc lg(0) = | -0= ^ .
Un autre exemple, simple et important, est celui de l'intégrale
rd£ 1 r 1 1
où X est supposé différent de i. On a, pour a > 1, en faisant a- = -f- x
tandis que Tintégrale considérée devient infinie avec x, pour a < 1. Pour x^l, celte intégrale est
el elle devient infinie, pour a" = -i- oc.
INTEGRALES DEFINIES
L'mporlance de cet exemple lient à ce qu'il permet de démontrer le théorème suivant, que nous admcllrons, et dont il est le cas particulier le plus simple.
Règle. — -Si f{x) est in/inimeiit petit avec -, Vintégrale I f{x)ax a
un sens lorsque f{x) est d'un ordre déterminé, supérieur à 1, ou, plus généralement, d'ordre supérieur à un nombre a, plus grand que 1; et elle devient infinie si f{x) est d'ordre inférieur ou égal à 1.
C'est ce qui se vérifie dans les exemples précédents : on observera, en ce qui concerne les deux premiers, que
a pour partie principale -j", et est, par conséquent, d'ordre 2.
Remarque. — Des intégrales à limites infinies se rencontrent dans diverses applications. Ainsi, on trouve, dans le calcul des probabilités, rinlégrale
'dx =
Et on rencontre dans la théorie de la diffraction, les intégrales de Fresnel
Jcos,x-dx=^ i sina72rfa? = pr V' rr' 0 c/o 2 V 2
Les valeurs de ces intégrales se calculent par des méthodes particulières (voir plus loin, chap. vi); car les intégrales indéfinies correspondantes ne s'expriment pas au moyen des transcendantes élémentaires.
350'^'*. Interprétation géométrique des intégrales généralisées.
