II. — Le cas de l'intégrale

dans l'hypothèse où f{x) est positive, et tend vers zéro avec -, a une

interprétation analogue. La courbe y = f{x) est alors asymptote à Oa-. Et dire que 3 a un sens, c'est admettre que l'aire AA'M'M tend vers une limite lorsque M' s'éloigne indéfiniment sur Ox, c'est-à-dire lorsque M décrit la branche de courbe asymptote à Ox, en s'éloignant à. l'infini.

Dans ce cas, Taire de la portion de plan illimitée comprise entre AA', l'asymptote A'o; et la branche infinie de courbe est donc finie, et n est la mesure de cette aire.

/»rr-^

Exemple. — L'intégrale (1), signalée au numéro précédent, offre un exemple de ce cas. La courbe y=ie—^' est dite courbe eu cloche, à cause de sa forme, indiquée sur

la figure. Elle se rapproche très rapidement de son asymptote (y = 0,018, pour x = 2) ; et l'intégrale a un sens, en vertu de la règle donnée au numéro précédent, parce

que la Touction e-^* est inflaiment petile, d'ordre supérieur à celui de toute puissance de - (n° 122). t)n a représenté sur la (ifrure, en même temps que la lourbe en cloche, la courbe qui représente la Tonction

e-^'dx.

Cette courbe est asymptote à la droite v= I, puisque la fonction <iu'eile représente tend vers I, pour x = -j- oo , en vertu de la formule (1), du numéro précédent, qui

indi(iue que l'intégrale tend vers ^•

Comparaison avec la théorie des séries. — On dit souvent, d'une intégrale

•J^ f{x)dx, qu'elle est convergente dans les conditions où nous avons dit qu'elle

An-,

Çn-,

-Sa

Un.,

f{x)dx tend vers une

linnite, pour a: = -+-oo .

Il y a des relations étroites entre le problème de la convergence des

intégrales à limite infinie, et celui de la convergence des séries; et on

peut employer des méthodes analogues pour traiter l'un ou l'autre.

/ *+ * dx On a vu, par ce qui précède, que l'intégrale / — est convergente,

ou divergente, pour les mêmes valeurs que la série - (n" 115); et la

règle donnée ci-dessus pour reconnaître la convergence des intégrales est entièrement analogue au théorème du numéro il.") sur la convergence des séries.

INTEGRALES DEFIMES 13S

Le fait (lue \ — et / — sont, en m«^nrie temps, convergentes ou divergontes *^l «•« Ji a;» •

est, d'ailleurs, un cas particulier du théorème suivant, dans la démonstration

duquel l'analogie des deux espèces de convergence (séries et intégrales), apparaîtra

clairement.

TiiÉORÈMK. — Si la fonction f(x) est, pour x^ i, positive et décroissante, et si elle

tend vers zéro avec -, la série j^ /(") ^' Vinlégrale I f(x)dx sont toutes deux convergentes, ou toutes deux divenjenles. [En prenant /(x) = —, on a le cas particulier en

question.]

Pour la démonstration, nous figurons la courbe y =/(x), les ordonnées des points de cette courbe dont les abscisses sont x = I, 2, 3, . . ., n, ... ; et la suite des rectangles, inscrits et exinscrits, construits comme au numéro 339. [On a fait la figure dans le cas n = 4.'

Les termes successifs de la série, /(l), /(2), ..., f(n), sont les mesures, solides aires des rectangles inscrits,

OU,.\iBi, UiUjAjB^, ..., rn-iU„A„B,,

soit des aires des rectangles exinscrits

UiUjC,Ai, U2U3C2A0, ..., U„U„+iC«A„, ...,

On a par suite les deux inégalités

[l] f(2)+f(i)+ ...+f(n}< JJf{x)dx,

m f^'*f{x)dx </(!) +/(2) +...+/(„!).

Remarquons que l'intégrale / fix)dx croit avec x, de sorte qu'elle est conver-

génie lorsqu'elle reste inférieure à un nombre fixe pour x = -t-<x, et qu'elle est alors inférieure à sa limite; et nous pourrons conclure de [1] que si l'intégrale est convergente, la série est convergente (n° 61).

De loème, nous conclurons de l'inégalité de [2] que. si la série est convergente, l'intégrale est inférieure, quel que soit x, à la somme de la série; car on pout toujours supposer n>x, dans l'inégalité [2]. Donc l'intégrale est convergente si la série est convergente.

La convergence de lune des deux quantités (série ou intégrale) entraînant celle de l'autre, elles sont bien, en même temps, convergentes, ou divergentes. (C. Q. F. D.)

Remarque. — L'étude de la convergence de / -^^ étant immédiate (voir n" 350), on a, parce qui précède, une démonstration très simple des conditions de convergence de la série > —

111. — L'étude delà convergence de l'inlégrale / f{x)dx, lorsque

/'{x} ne reste pas de signe constant, est analogue t\ l'étude des séries à termes de signes quelconques.

Les intégrales de Fresnel (formules (2) du n° 350), sont un exemple de ce cas.

Si on fait le clian:;ement de variable •!■ = v/.j.^, ces formules (I) deviennent

r -d--')- vi-"- =.r ^■"<-2 •■^)- v'î •"■■=2 vi-

c'esl-à-dire, en remoUant la lettre x, à la place de .-,

/ cos— ;j-(fx= / sin -ij— ax = s-

La figure ci-dessous représente la fonction j'^cos-^, et son intégrale

y = / cos-^ dx.

La courbe y=:cos-^— oscille entre les droites v =^ I, y = — 1, et détermine avec

l'axe des x une suite daires, alternativement au-dessus et au-dessous de cet axe.

Les segments de l'axe des x, qui servent de bases à ces aires successives, vont en

décroissant, et tendent vers zéro.

f'' 71 r- L'inlégrale / cos-r^dx est la somme algébri(|ue de cette infinité d'aires, dont

on peut démontrer qu'elles forment une série alternée, satisfaisant aux conditions du théorème du numéro 65.

L'intégrale

dx croit dans les intervalles qui correspondent aux aires

positives, et décroit dans les autres. La courbe qui la représente oscille autour de la

droite Bu, d'ordonnée r,\ et elle s'en rapproche indéfiniment, puisque l'intégrale

tend vers cette limite, lorsque x devient infini, en croissant et décroissant aileroativemenl.

INTKGHALES DÉFINIES 137