Changements de variable. — Parlons de la formule
(1) .1= f''f[x)dx = V{/j) — F{a), où F(x)= ff{x)dx;
et remplaçons, dans la fonction V{x), la variable x par une fonction x^^{t) d'une autre variable l. Nous supposerons que cette fonction varie de a à 6, sans sortir de rintervalle (a. ô), lorsque / varie de a à p. Si donc on pose
(2) F(-^(/)) = G(0, on aura
F(rt) = F(-^(a)) — G(a), puisque fl = o(a); et .
F(6) = F(cp(p)) = G(^), puisque ^ = ?(:i).
Donc, on peut écrire la valeur (1) de lintégrale sous la forme :
Mais, d'après (2), on a
dG[i) = r{^{t))^'{t)dt,
ou, en remarquant que F'(a:) =/'(a?),
rfG(0 = A?(0)?'(0<^«;
de sorte qu'il vient
(4) j^'V(-.p(0)"/(Orff = G([i)-G;a).
Si on compare cette formule à (3), on conclut donc :
(5) .1 = jj\x)dx = J^^(? (0) ?' (0'^' •
En rapprochant cette formule des résultats du numéro 303, on'conclut :
Le changement de variable se fait dans une intégrale définie comme dans une intégrale indéfinie; mais il est inutile, après avoir posé x=--,[t), de revenir à la variable primitive; il suffit de remplacer les limites d'intégration données a, b par les valeurs correspondantes a, ^ de la nouvelle variable t.
Je'' dx
— r=:r== , OÙ 0 < 6. NoUS pOSODS : a \(x — a)(b — X)
X = a cos2 1 -{- b s\n-t, de sorte que x = a, pour t = 0; et x =: 6 pour t ^ '-■
Oa a ainsi successivemeat,
X — a = a(co3- 1 — 1) + i» sin- 1 = {b — a) sin^ t, b — x^ 6(1 — siQ-() — a cos- 1 = (6 — a) cos-<,
dx = — 2a cosl s\n tdt-{- 2b sin t cos ldt=: 2(6 — a) sin < cos tdt.
138 INTEGRALES DÉFINIES
Si on observe que, t variant de 0 à g, sint et co3< sont positifs, on obtient donr
\(x — a) (b — x) = (6 — a) sin t ces ^ et l'intégrale devient :
T= r^2(6 — a)sintcost</< „ f-j^ Ju (6 — a)sintcos( J„
352. Intégration par parties. — Remarquons d'abord que, pour calculer l'intégrale définie d'une somme, on peut inléçjver terme à terme '*'. Car, pour deux termes par exemple,
Jjf{x)+g{x)]dx=\\m\{x-a)[f{a)H-g{a)]-^ix,-xM^i)^9{^^]+---'s
=z\im\{x^ — a)f{a)-h{x^~x^)f{x^)-h ... | -h\\m\{x^ — a)g{a)-hix., — x^)g{x^) -h . . . \
= / f{x)dx-+- / g{x)dx.
Cela posé, parlons de la formule
{udv -\- vdu) z= / d{uv),
qui résulte de l'identité des quantités placées sous les deux signes / • .Nous pourrons l'écrire
/ ut/y -h / t'(/«<= M/i' .
On a donc la formule de Viniégraiion par parties, semblable à celle du numéro 303,
/ î<(/y= MU — / vdu.
Exemple. — Soit à calculer J,, = / cos-"x.c/j;, (n entier positif). Nous écrirons
^„ = / cos-"^'x. cosxdx= / cos-"- 'x.d sina-, Ja . '()
(Ij On démontrerait d'une manière analogue la formule
/ cf(x)dx—c ; f{x)dx; t'a Ja
d'où on conclut
f'[cjy(x)+ ...+c»fn(x)]dx = ci f'f,{x)dx+...+c„ f'f„{x)dx;
et aussi
f [f(x) — g{x)]dx= I 'f(x)dx- I 'gix)dx.
Ja t'a t'a
INTEGRALES DKFIN'IRS J39
de sorte qu'ici nous prenons
u = cos-"-*x, u = sinx;
•d'où
du = — (2« — ! ) cos-"-*j. sinxdx.
La formule (4) donne ainsi
0,, = I coâ*"7'xsinx I +(2« — 1) / cos-» ^x. sin-xdx. Mais la partie loulr intégrée est nulle, car cos„ ^0, et sin(0) = 0. Il reste donc
0,. = (2n — 1) j cos2"-2x(l — cos2x)dx = (2/1 — 1) [3„, — o„]. On lire de là
qui donne successivement, en remploçanl n par n — 1, n — 2, ..., 1, 2(/i — l)0,.-i = (2/1 — 3).1„-2.
En multipliant membre à membre, et supprimant les facteurs communs de part et d'autre, il reste
c'est-à-dire
