SÉRIE DE FOURIER
353. Séries trigonométriques et fonctions périodiques. — On appelle série trigonomélrique une série de la forme •
c„-h Qj cosa:-!- b^ sinx-f- a^ cos2x-l- b^sin'ix-h . . . -h a„ cos?'a? H- 6„ sinnx -h . . .
où Cg, Op b^, .... a„, 6„. . . ., sont des coefficients numériques.
Si itne telle n'-rie est convergente dans un intervalle (a, a -h 2-) d'amplitude 2-. elle est convergente pour toute valeur de x. Gar celle valeur x se Irouve dans un des inlervalles (a-h2A-T:, a -h(2A--+- 2)z) que l'on déduit du premier par une suite de translations, damplilude 2z, effectuées vers la droite et vers la gauche; de sorte que Ton a a; = Jq-I-2/::t, x^ appartenant à l'intervalle (a, a-h27i). Or, la série est convergente pour x:=Xq, par hypothèse; et comme tous ses termes admettent la période 2-, ils ne changent pas quand on remplace a\, par x; donc la série est bien convergenle pour la valeur x considérée.
140 INTÉGRALES DEFINIES
Si doue la sorie (1) est convergente dans un intervalle (a, a-i-2-:i), elle représente une fonction f{x), définie pour toute valeur de x; et on a, de plus, f{x -i-2n) = f{x)^ puisque tous les termes admettent la période 2::.
Donc /(/ somme d'une série trigunométrique esl une fonction périodique, de période 'i-K.
Nous allons chercher, inversement, ii représenter, par une série trigonométrigue, une fonction périodique donnée. C'est un problème très important au point de vue de la physique, où les phénomènes périodiques jouent un rôle capital : les groupes de termes a„cosnx-\-bnSinnx correspondent alors aux harmoniques successifs, dont la superposition constitue le phénomène étudié. Pratiquement, la série sera remplacée par la somme d'un certain nombre de termes, c'est-à-dire qu'on négligera les harmoniques, à partir d'un certain ordre n.
Soit donc une fonction :-(:-), de période ^w, de sorte que Ton a
/- , o \ I \ ■ c- 2 X 2-1-2(0 a^H-2ir' , , , s-(--h2to) = c5(:). Si on pose - = -, on a ■ — - — = , c est-à-
dire que si z augmente de 2a), x augmente de 27:. La fonction
admet donc la période 2z; et une fois cette fonction représentée par une série de la forme (1), on aura
en remplaçant x par — dans cette série.
La fonction ^(s) est supposée connue dans un intervalle d'une période; donc f{x) est connu dans un intervalle (a, a-i-27r). On simplihe les formules en posant x = x -\- t: -{- x' : la fonction f{x) devient une fonction de x', F {x') = f{<x-i-Tz-\-x') qui est connue dans l'intervalle ( — -, -h-z), et admet encore la période 27t. Car, lorsque x varie de — •:: à -h -, x varie de a à a-h2Ti; et si x' augmente de 2t., il en est de même de x.
354. Série de Fourier. — Le problème à résoudre est, en définitive, le suivant : Etant donnée une fonction f{x), connue dans Vinteroalle ( — TT, -t-^r), déterminer les coefficients de la série (1), de manière que ion ait identiquement :
(2) /"(x) = Co 4- a, COSX-+- 6, sinx-h ... -h fl„ cos»x -i- /*„ sinnx -h
INTEGRALES DEFINIES 141
Leimne I. —r Si n et p sont des entiers positifs ou nuls, le cas u = p =zO étant excepté, les intégrales
A= / cospx.cosnx.dx. A'=: / s\npx. sin nx.dx ,'—1: .'-"
sont nulles pour n ^p, et égales à it pour n r=p. On a, en effet,
{Q,Qspx.cos,nx->rS\ï\px.smnx)dx^ j cos{n — p)x.dx.
Si nzpLp, rintégrale indéfinie, sin(n — p)x, reprend la même
valeur aux deux limites d'intégration, et l'intégrale définie est nulle. Si n=:/), l'intégrale est
De même :
A — A'= / {cospx.cosnx—s\npx.s\nnx)dx=: cos{n-\-p)x.dx; et, comme n-hp est un entier positif, cette intégrale,
1 — ; — sin(?i-|-p)ar , est toujours nulle.
Ainsi :
pour n^p, Ah-A' = (), A — .\' = 0; donc A = A' = 0,
pour n=^p, A -h A' =: ^TT, A — A' = 0; donc A = A' = t:.
Lemme II. — Dans les conditions du lemnie précédent, mais le cas nr=p^O n étant plus exclu., V intégrale
B^ / co'ipx. ?,mnx .dx
est toujours nulle.
Posons
B = I s'\n]}x. cosnx.dx, et nous aurons :
B-|-B'=/ {cospx.s\nnx-+-s\npx.cosnx)dx^ s'm(n-\-p)x.dx^
= cos(/i-h»)x =0.
B — B'=: / {ç,ospx.%\nnx — s,\npx.cosnx)dx=:l sin(» — p)x.dx.
142 INTEGRALES DEFINIES
Si nz=zp, riiilégrale indéfinie — — cos.(« — p)x prend les mûmes
valeurs aux bornes de l'intervalle, et l'intégrale est nulle. Elle Test encore pour » =p, puisque rélémeut différentiel est alors identiquement nul.
On a donc, dans tous les cas, B -f- B' ^0, B — B'=:0; donc 8 = B' = 0.
Calcul de c^. — Multiplions les deux membres de (2), par dx, et intégrons entre —z et -h -ri; nous admettrons quxl est légitime d'intégrer terme à terme la série ainsi obtenue dans le second membre; et nous ferons une hypothèse analogue pour les calculs suivants. Nous obtenons donc :
/ f(x)dx^CQ dx-h. . .-^-a„ f cosnxdx-+-à„ sinnxdx-^. . ..
Les coefficients de a„ et i„ sont nuls, car ce sont des intégrales du type A et B (pour;)^0 . H reste donc seulement
J^ fix) dx = c, l^a^J ^ = r„ . 2t:.
3) 'o = iz£l"f^^)(^^'-
D'où :
Ainsi C(, est la valeur moyenne de f(x) dons l intervalle ( — -, -i---).
Calcul de o^. — Multiplions les deux membres de (2) par cospxdx, et intégrons entre — - et -4--. 11 vient :
f f{x)cospxdx = c^ j cospxdx -+-...-+- a„ I cospxcosnxdx -h
H- 6„ / cospxs'mnxdx -{- . . ..
Le coefficient de '•„ est nul (type A, ?i = 0), il en est de même de celui de b„ (type B). Quant au coefficient de a„, qui est l'intégrale A, il est nul, sauf pour n = p: et pour n=p, il est égal à -. Il reste donc seulement
/ f{x) cospxdx = Op. r..
D'où :
1 /•+'^ (4) ap=z- f{x) cospxdx.
Calcul de bj,. — On opère de même, en multipliant les deux membres
de (2) par sin}>xdx, et intégrant entre — - et -h tt. Il vient :
/ f(x)s\npxdx=:zcQ / s\npxdx -i- . . . -i- a„ 1 sïn px cos nxdx -^
H-6„ / s\\\pxs\nnxdx-\- . . ..
INTEGRALES DEFINIES
Les coefficients de c^ et a„ sont nuls : celui de b„ est nul pour n-=^p\ et égul à -, pour n = p. Il reste donc seulement
D'où (3)
/ f{x)s[npxdx= fjjj.T..
bp^- j f{x) sin pxdx.
Conclvsion. — Les formules (3), (4j, (;j) résolvent la question. Elles sont appelées formules d' Euler. La série (1) construite au moyen de ces formules s'appelle la scrie de Fourier de la fonction f{x). On démontre que, la fonclJDn /"(./) étantsupposée continue dans l'intervalle ( — •::,-t-7:), la série ainsi obtenue est convergente dans cet intervalle, et y représente bien la fonction '' si celle-ci est telle que l'on puisse, comme cela a lieu pour les fonctions usuelles, décomposer l'intervalle ( — -, H-::) en un nombre limité d'intervalles partiels, tels que dans chacun d'eux la fonction soit ou croissante, ou décroissante, ou constante.
Honarque ^ . — Si la fonction donnée, satisfaisant du reste à la condition précédente, présente, pour une valeur o comprise entre — et -+- •::, une discontinuité, de manière que l'on ait (voir n° 27)
on peut encore appliquer les formules d'Euler, en calculant les intégrales (n° 350) par la formule / = | -i- / .
On démontre que la série est convergente et représente encore la fonction pour toutes les valeurs de l'intervalle ( — tï-, +•::) autres que c; et que, de plus, elle est encore convergente pour X = c; mais la somme, pour x = c, est la moyenne arithmétique des deux valeurs limites i et /", c'est-à-dire
Celte somme est donc représentée par le point C, milieu du segment C'C".
(1) On démoatre aussi que, dans la mime hypothèse, une série de Fourier peut s'intégrer terme à terme, ",e qui justifie la méthode employée pour obtenir les formules d'Euler (3), (4), (5),
INTEGRALES DEFIMES
liemarque 2. — Sr on se donne arbitrairement la fonction {{x) dans l'intervalle ( — -, h-x), les valeurs /"( — r) et /"(-f- tt) seront en général différentes. 11 en résultera que la fonction, prolongée au delà de Tinter-
valle ( — t:, --h-) par la condilion de périodicité /"(x H- ^ti) = /'ix), présentera une discontinuité pour x=. — -. :c = -i-7t; et, plus généralement, pour
x=(2Â:-hl)7t.
La série sera encore convergente pour ces valeurs, mais, conlormémeut à la remarque précédente, elle y aura la valeur ^{f{ — '^)-\-f{'^)\ qui correspond aux milieux (.1, ("i, des segments tels que B„A, BA,.
355. Exemples. — Remarque irrc liminaire. — Si cp(a') est une fonction
poire, 'w ( — x) = cp (a?), on a
/ CD (x) dx = '2 a (x) dx.
Si ^(x) est une fonction impaire, on a
/ z>{x)dx^O.
C est ce que les figures ci-contre meilent en évidence, les aires de part et d'autre de Oy étant égales dans les deux cas (symétrie par rapport à Oy, et symétrie par rapport à 0), mais de signes contraires dans le second cas.
On peut, ilu rcsle, le vérifier anal,v(i(|Uome[U : :f{x)(tx= j ^(x)d:i: -\- / :f{x)dx; et. en posant .r = — x' dans la première de ces deux intégrale?,
p'j-)dx= j ^{—x'}dl—x') = — f zi—x)dx= j :?(—.r'idi'.
INTKGRALKS DKFINIES
Soit
La notation, pour la variaMe sous le signe / , étant indilTérente, on a donc
/ 9 (j) dx = / ç ( — x) dx ;
et, par conséquent
/ tf[x)dx= / :?{—x)dx-\- /q3(x)(te= / [:p(— x) -\- :f(x)]dx.
Alors, si ?(x) est une fonction paire, la dernière intégrale est
/ 2?(a;)dx = 2 / ç(a;)cirr i/U i/o
et si 9(j) est une fonction impaire, cette dernière intégrale est nulle. Exemple 1.
{ f(x) = ^ — x pour 0 ^ X ^ TT,
/ f(x) = '^-{- X pour — TT ^ X ^ 0.
La fonction est représentée, de — tï à + ''^. P^r '^s deux segments rcctiiignes AC, CB, respeclivement parallèles aux deux bissectrices des axes. Le point C a pour
ordonnée .j- ^
La fonction f(x) étant paire, ainsi (jue /(x) cosnx, on aura
a„ = — 1 (tj — xlcosnxdr.
La fonction f{x) sinnx est impaire, de sorte que 6,i est nul. Le calcul de Cq donne :
Le calcul de a,, donne :
a„ ^= I cosnxdx — ~ I xcosnxdx= -l / xcosnxrfx.
.'o -Jo L rt Jo -Jo
La partie intégrée est nulle; et, pour calculer la dernière intégrale, nous poserons
du
nx = u, X ^-,
rfX:
Il vient
ou endn
= —, I ncosudu = 5 / u.rfsinu = x<, [usinu] " — / sin(i(/u;-.
^(1 — cosmt).
Donc a„ = — 5 , si n est impair; et a» = 0, si n est pair. />! iérit; de Fourier cherchée est donc : 4 I cosx I cos3x , cos5x
4 I cosx I I
. v-v^joa. ■ . cos(2fe — l)x
2fe — l)x -|
MATH. UÉSKRALES. — II.
lie
INTKGRALES DKFIMKS
Exemple 2. — Soil/(x) = ^ pour — k ^ J" ^ «•
La foiiolioa f^x) étant impaire, il eu est de même de /(x) sinHjr: de sorte <|ue et (1,1 !>out nuls.
De plus, /x) siu«x est impaire, et un a,
6/1 = - / ^sinnx</x = - / xsm«xdx.
Ka posant «uoore »x = u, il vient :
6h = — 5 / iisino/u = / «icosu = tHuoosuI — / cosudu''
t-e ijui se réduit à
, .1 r "}"' t COS« K
Om = 3 J n r . oos « r — | si n u } =: •
Donc 6h = - , pour n impair, et b„ = , pour n pair.
La s«'n> di» FouriiT chérchétf eit dont:
siux sin2x , sioîix ainSx . , ^ , . sin(2fc-}- i|x ,
On vérifie <jue la somme est 0 = ^ 1 ~ ^ + ^ (• P*"'* = (2fc-}- t)n, conformément ti la lifmar<}u« 2 du numéro 354.
355'". Valeur efficace. — Eu élevant au carre la somme /»(x) des 2n -j- I premie^^ termes de la série (2), on obtient
y^(x) = <^ + 2Vc^a^ coâfcx + 2 Vc^6j siokx -f ^aj cosUx -f ^6* àin*/ûr -+-
■ 2Vrt^rtj^ cos^xcosfcJ: -f 2V6^6j^ sin^sinilue-f- 2Vd^6^ cos/x siofcx.
M «H» uuè^re les deux membres de cette formule entre — k et -j- k, en leuaui compte deâ lemmes du numéro 3Sl, il vient
On démontre <)ue l'on peut {tA^Mr k I* liroiie, dans celte fdrmule, pour n = «e, si la série {!) représente une fonction /(x, usuelle, c'est-è-dire satisfaisant aux eonditioDa énoncées a la pa«î* Ii3. Comme /^(x) tend vers /(x>, on obtient ainsi, i>our représenter la rxW^ur ffjic^cf y de/<x) dans l'intervalle d'une période (n* 342 , la série
INTKUHALKS DKFINIKS 147
356 Intorpointioii triyonoiiuUriqiie. — Nous iioiih HouiinrM occupt'n, aux iiuiiirru-i 17- i-l IT.'t, (In iirnlili'iiic ilr riiili>r|i(ila(ioii, i|ui roiisiiHtx <i cIkhoIiit iiiic ropri'Mi'iitnlinii approiluM* <riini> roiictioii iiicniiiiiio, ilmit on coniKilt un <-«rlaiii iiuiiiliit' ilt> vulmirs |i(irlii'uli(>i't<s. I.(>i'si|ut< n-Ui* l'iMiftiitii l'Nt, pnr la iwiliiro |iliysii|uit dt< In ^raïultMir i|u')>llo nitI à cnli'uU'r, uiio liinrtntii pi'>ni)ilii|ui', li «'hI i[iitii|ui' lio choisir aussi, pour la ri'pn^si>Mli*r approxiriialiviMiioul, uiii< i<\|iri'ssioii prrio(lii|ui', ayant la nii'^nii' pi^riodo. La foncliou iiiconiiui* ayani, pour r<<prt<H(Mi(ntion oxactc, une sorio (lo Kourior, ou <<st ainsi i-oiutuil à i-iioisir. pour son t'xprossiiui approclii''!', un polvnl^ult' trigonouu>trii|uo ayant la rornic ilt< l'un il<' n<ux (|ui< \'o\\ oIiImmiI «mi n<< const'i'vanl, dans uiu» li'llo sori»', i|u'un noiul»ri> liunl*< <lt' tcrini's; c'csl à-diri' uno série de Fnurifr tiinili'r. la l'orMiiilo ainsi oIiIimiiii* ^rra iiiir /'oc/uii/c il'iiiliTiKiliitnin Iriijomiinrtruiur.
I.a nictiioili' dct l'Doniiionts indi'It'miinoH |iimiI surilro pour calculi'r, dans thn<pi<' cas |iarticulicr. la rorinuli' chorchcc. Soit, eu <<ITct, f (.°) lit fonction inconnue, 'Jm sa
période; husiiiis, l'iiiniiii' ,'iii iiiiiuerii ll.'Vt, '' , .r = -- , et clin ilicitiH ,i deliTiiiiner
7t (Il
In ftuiction /(.p) = fj ' j, d'oii nous repasserons (<nsuite t\ f{i)-'^fi ' I. <'.»>tlo
fonction /(.r) a pour p«'»riod(< 2Tt ; el, si ou c(Hiuilt le» valeurs (l(< p(.), pour m valeurs do .•, on en diSluira iiuinedialtMnent lus valeurs do /(.c) pour les valeurs correspou
dnnles .r .
(Il
Nous sup|)oserous (|ue les valeurs données sont imi niinilu'(^ impair m -^ 2n | I ;
de sorti» i|ue nous pouvons supposer ciuiuiu's 2n \ I valeurs de j'(x),
Si donc nous poitons, c.ninine roriiuilo npprocluS<,
(7) /(x) = c„-f'<«i''"*'''"f-''i''''>>"4" ••• -f"''»''"'**/'" 1" ''/•'♦'"/••" 4'" • • f-"""*"*'"' h''ii'*">"'' nous nurons, pour délerminor lo» 2a |- I coefllcienls inconnus de celle fiMuiule, (-,,, (I,, ..., (1,1, /', /'il, les 2n |- I éiiunlioiix du premier de(i;re :
(H) 'A~*"„ + «, «•0»J'a4-<',»*"J-;.+ --' + ",, ••««/'•'•/, 4-'',, **in/u-,, | ... |-a,|C.o»/i r,^ | /.^^sinnc^.
'•^«=*<'n+",''"'''^«..4-'',»ll>arj„^f-... |-rt^co'.pa!^,^>6^,sinp.c^^^ | ... f <i cosn.c^^^ | /.^^sinfi.c^,,.
Il n'y aura donc ((u'a résoudre ces e<|ualious, el a iiort(<r les v,il(<iirs troiivi'cs dans In roriiiule (7).
Oi.i partieuUer. — On nhlient faciliMiienl. pour les c(icfllcienl» de la roriuute (7),
des expreitsiuiis g('»néraU«s explicites, dans le en» on les valeur» .«'o, .Tj, ..., *,„ »cinl
le» nIisciMPs curviligne» dos sommets d'un polygone régulier convexe de 2/i -\' 1 c.rtti"»,
inscrit dnii» le cercle trigoninnétrii|ue; c'enl-à-dire mi nlles rormnnt une progression
'in arittimeli(|ue de raison e^tale ù a-j—i . de sorte (|ue l'on a alors
(U) x^=.r 4-'to«. avec o, ^(J^nTï". (fc:=:0, 1,2 2/i).
I.e calcul i|ui va non» conduiro à ces expri<ssions des co(>r(li'ients (dTre une grande AnnIogN» avec celui ipii nous a donné Ihs rormiiles d'Iliiler, pour les coefllcienls de In série de Fourier; et li's expressions ipie nous iillons iiMciiir sonl aussi tout a fait nnniogues à ces formules d'Huler (n" '.\"\K).
Nmi» nous servinuis <lii leiiime Minvaiit :
Lemme I. — Quel que soit l'entier positif h, les deux sommes
1\+'Qa = ^'
Q,, = So siD(x + A-/»a) = sina;+sin(x + /ia) + sin{x+2/»a) + ...4-siD(x+2n/iQt)
sont nulles.
On a, en effet, en se servant des exponentielles imaginaires,
Pft 4- 'U/, = ^*" IC0S(J- + kha) + i sin(x + khoi)] = V*"e«V+AAa)
= e'^ . 2:V '■"*' = e'^[l + e''' + (e"-)' + . . . + ('^'"")'"] ; d'où, en sommant celle progression géométrique,
Or, le numérateur de cette formule, se réduit à e''^''^ — 1, à cause de la valeur
a ^= .) "-i- 1 • " ^^^ donc nul, à cause des propriétés de l'exponentielle imaginaire, car
e'" ayant pour période u = 2-, e'''^' est égal à e'' = l. On peut aussi écrire ^iiii- = cos2/iit 4- ' sin2/j7t = 1.
Ou a donc P^^ -(- iQ,^ = 0, d'où on conclut bien F^^ = Q^^ = 0.
Lemme II. — 1° Si p et q sont des entiers positifs ou nuls, le cas p^=0, ç=0 étant excepté, les sommes
(11) A = V-" cosp(xo + /ca).cos9(Xo-f-/ca), A' = ^''" sin.(pXo + 'fa)-sin</(arj+'f«) A— 0 h=da
sont nulles pour p zii q, et égales à (n4- 7) pour p = q. 2° Si p et q sont des entiers positifs ou nuls, la somme (12) B= y^"cosp(xo + /ca).sing(xo+/ca)
est nulle.
l" Si on forme A + A' et A — A', on a
A + A' = 21"" cos[p(ro+ fca)- g(Xo+ ka)] = N)'" C03[(p- g)xo + k(p - q)»],
A - A' = V-2" cos[p(xo + ka) + g(Xo + /ca)] = ^-" cos[fp + q)x, + k{p + </)«]•
Ces deux sommes étant du type P^^, (lemme I), sont nulles. 11 faut excepter, pour la première, le cas p = </, où elle se réduit à 2n + 1 • Ainsi, on a
ponrpqtq, A + A' = 0, A — A' = 0, donc A=A' = 0;
pourp = g, A+A' = 2n + 1, A — A=0, donc A = A'=:n + .7.
2" Posant, pour la symétrie, b' = V"" cos</(Xo -|- ko.). sinp(xo + 'f*), on a, de même,
B 4- B' = V-" sin LP(x„ + fca) + q{xo-{-ka)] = ^'" 3in[(p + q)xo + k(P + ?)«].
B — B' = V-" sin[7^x,j + kx) — p(Xo + fca)] = yf" sin[(-/ — p) x^ + k(q — p)a].
INTEGHALKS DKIINIES
Or, si p :^ q, ces deux sommes sont nulles, cornine étant du type Q/,, (lemme I). Si p = </, la seconde est nulle, car tous ses termes sont nuls; (|uanl à la première elle est nulle, comme étant du type Q/,, si p = (/7^(l; et tous ses termes sont nuls,
si p = q =::: 0 : elle est donc nulle aussi. On a donc toujours H -j- 1^= 0, B B= 0
donc II = B' = 0.
Ces deux iemmes étant établis, il n'y a plus qu'à opérer comme au numéro 354. Si nous ajoutons d'abord les équations (8), tous les coefdcients des a,, et des b sont nuls dans lu somme, en vertu du lemme I; car les coefficients de «n et de 6, sont
V-" cospx^. = ^*" cosLpxo + /c(pa)], y^'" sinpx^ = ^-" sin[pXo + li{px)].
Il reste donc seulement
