V-^"y,. = (2«+l)Co
d'où fin conclut que c^ est la moyenne arithmétique des valeurs y. :
Ajoutons ensuite les équations (8), après avoir multiplié les deux membres, respectivement, par cos(/Xu, cosgx,, ..., cosgx^, ..., cosqx.,^^. En vertu du lemme II, tous les coeflicients inconnus disparaîtront dans la somme, au second membre, sauf le coefficient a^, (jui se trouvera multiplié par (1 + 2)' ^" ®'^^'' '^ coefhcient de Cq est
de la forme A, avec p = 0, q^O; le coefficient de bj, est de la forme B'; et le coefficient de a,, est de la forme A.
On obtient donc ainsi
S^^y^ cnsq(Xo + /fa) — a^.(n^ .3) ,
d'où
(»*) «„=CT7S'"3'A'^«S'ï(-ro + Aa).
Enfin, si on ajoute les équations (8), après avoir multiplié les deux membres, respectivement, par sin^Xo, sinç^i, ..., sinqx,., ..., singa-^,;, on obtieHt de même
' k=i\ Les formules (13), (m, (15) soal les formules annoncées.
357. La notion de travail. — Supposons donné un champ de vecteura, de sorte qu'à chaque point M de l'espace, de coordonnées (*, 1/, 3),
est associé un vectejir F, ayant oe point pour origine", et dont les composantes sont, par suite, des fonctions cannues
des coordonnées de son origine M.
INTEGRALES DEFINIES
Supposons donné, d'autre part, un arc de courbe (y^llant d'un point Mo, (u'o, ?/o' -o)' ^ ^^ point P, (X, Y, Z). Il s'agil de définir le travail C du
vecteur F, correspondant au déplacement curviligne (y) de son point d'application M.
Si le déplacement était recliligne, et le champ constant, le travail
serait, par définition, le produit scalaire (n° 230), des vecteurs F et
M(,P; c'est-à-dire, en appelant Aa-^,, A?/(,, A;:^ les composantes X — x^,
Y-y„,Z-3odeM^.
(2) A.AXo + B.A7/„-f-C.Av
On ramène le cas général à celui-là par' la méthode des limites, telle
qu'on l'a employée pour définir la longueur d'un arc de courbe, et la mesure d'une aire.
On inscrit, à cet etî'et, dans l'arc (y), un contour polygonal M^M^M^. . . M„iP, et on fait la somme S des travaux qui correspondraient, pour des champs constants définis par les vecteurs
F^, F,, F^, ... F„i, ayant leurs origines respectives aux sommets M|„ Mp ..., M„i du contour, aux déplacements rectilignes représentés respectivement par les côtés successifs du contour : cela donne, d'après la formule (2), (chaque crochet correspondant à un de ces travaux).
INTÉGRALES DÉFINIES Ibl
(3) S = [(x— a-J A (ar„, t/^, sj + (j/, — ?/„) B (ar„, î/„, ir^) -f-(2i — Sq) CC-r^, y„, Zq). -h[(x,— a;,)A(j-„y,,z,)+(yj— ?/,)H(x„y^,s,)-h(z,— z,)C(a:„i/„:,)'
^Sî 0)j passe à la liinile, en augmentant indéfiniment le nombre des côtés du contour, de manière que le plus grand de ces côtés tende vers zéro, S tend vers une limite Ç, qui est par définition le travail de F, pour le déplacement curviligne (y) donné.
Chaque somme S est donc une valeur approchée de ce travail, et l'approximation est aussi précise que Ton veut, à condition de prendre suffisamment petits les côtés du contour polygonal auxiliaire.
358. Expression du travail par une intégrale curviligne. — Pour démontrer l'existence de la limite C de S, nous décomposerons S en trois parties, en groupant ensemble dans la formule (3) les termes qui se rapportent à la même composante, A, B, ou C, du vecteur F. Nous raisonnerons par exemple, sur la première de ces sommes,
un raisonnement analogue se ferait pour les autres.
Supposons que tout plan perpendiculaire à Ox, qui rencontre Tare (y), ne le rencontre qu'en un point " : les coordonnées de ce point seront données par des formules
qui sont les équations de la courbe à laquelle appartient Tare (y); et on obtient cet arc en faisant varier x de x,^ à X, dans ces formules. On aura donc :
de sorte que si on pose
(6) A{x,f{x),g{x)) = \l{x), on pourra écrire : ,
A(-ro>Vo>=o) = H(a?o), A (x„ »/„;,) = H (t,), ...,
(I) Dans le cas contraire, on diviserait (•;) en arcs parliels, satisfaisant à celle condition; et on raisonnerait sur ctiacun d'eux, en décomposant la somme S en autant de sommes partielles, respectivement relatives à ces arcs.
loi INTEGRALES DEFINIES
et, par conséquent,
Or. lorsqu'on passe à la limite, les difTérences x^ — or^, x.^ — a*,, , . . , qui sont les projections des côtés du contour, tendent vers zéro; de sorle que, d'après la définition do Fintégrale définie, S, tend vers une limite qui est
(7) limSj= / \l{x)dx=: / \{x,f{x),g{x))dx.
Cela posé, supposons que l'arc (7) soit défini, plus généralement, par des formules paramétriques
(8) X=0{U), l/ = 'b{u), Z = y{ll),
de sorte qu'on obtienne tous les points de l'arc en faisant varier u de u^ à U; et faisons, dans linlégrale définip (7), le changement de variable x = z>{u).
Remarquons, à cet effet, que /'(cp(M)) = -}(u), g{-i,{u)) = y{u), car les équations (5), vérifiées pour tout point de (y), doivent devenir des identités en u, quand on y porte les coordonnées (8) d'un point quelconque de (y).
Nous aurons donc :
et la formule (7) deviendra :
(9) limS,= r A(»(w),'|(w), /(u)).rfç,(w). Elle se déduit donc de la formule
(10) limS,= r \{x, y, z)dx,
en y remplaçant x, y, z par les fonctions (8) qui définissent l'arc (*;), et dx par la différentielle de la première de ces fonctions.
Conclusion. — En réunissant ce résultat aux résultats analogues fournis par l'étude des deux autres parties de S, on arrive à celte conclusion que S a bien une limite C qui est donnée par la formule
(11) C= /' A(j^, y, z)dx-^-'R{x, y, z)rfî/4-C(a-, y, z)dt,
où il faut entendre que x, y, z sont remplacée, sous le signe / , par
les fanclions (8); et dx, dy, dz par les difTéreptielles de ces fonctions. Cela fait, le calcul de C est celui d'une intégrale définie en u.
1 NTi;r, it A I, i:s u i: ii n i i:.s
iDi
Intégrale ciiruiligne. — ; Taiil (lu'on ria pas clioisi le mode de représenlalioii de l'arc (v), il esl pnWérable de ne pas l'aire ligurcr, dans la formule précédente, la variable dintégralion u. On écrit simplement
(12) f:= f,,-'^{^', V- z)dx-hB{x; ,y, z}dy-T-C{x, y, Zjdz,
et on énonce : intégrale, prise suivant l'arc (y), de Xdx-h Bdg -+- Cdz. l\ esl entendu que l'arc (y) est supposé décrit dans un sens déterminé.
M' .tu,
Et si on change ce sens, cela revient à remplacer / par / , ce qui donne une intégrale égale et de signe contraire.
Une telle intégrale, f kdx-\-Bdy -i- Cdz, s'appelle une intégrale
curviligne.
Indépendamment de toute représentation géométrique, elle est, par définition, la limite d'une somme S, du type (3).
Au point de vue du calcul, elle s'évalue en remplaçant x, y, z par leurs expressions (8), et en intégrant entre les limites u^ et U, qui correspondent à l'origine et à Vextrémité de l'arc d'intégration (y).
liemarque. — On délinit, d'une manière analogue, les intégrales curvilignes / \{x, y)dx-{-B{x, y)dy, relatives à des arcs de courbes planes.
— - — r^ — ; el calculonsla (Vabord saivant le contour rectangulaire AOB qui va du point A, (x= 1, y^O), au point B, {x = 0, y=^l\
On la décomposera en deux / + / •
l'AO t/OB
Pour la première, j- = 0, de sorte que dy = 0; et rélèmenl dilTéreutiel est nul; Pinlégrale est donc
nulle. Pour une raison analogue, l'intégrale / est
t'oB
nulle aussi. Donc, l'intégrale / est, aussi, nulle. .'aob
2° Calculons La méim intégrale suivant la droite AB.
On a ici / -|- j = 1, et ou peut prendre x coiniuie paramètre. L'intégrale est donc
3° Calculons enfin la niiine intégrale ^aioant le <iunrt de cercle AB, de centre 0. On posera x =:cosu, y = sinu; et riutégrale à calculer «era :
'"cosu.tîsinH — sin u.densn coau + sinu
du
g cogu -\- sinu
l->i4 INTÉGRALES DÉFINIES
Pour aciiever le calcul sinipleinenl, nous l'écriNous :
f cosu sin j + sinucos^ " / sinju + j)
=f[.og[.g(i+i)|]:=v|,o.
= -^"logig»i;
— cots:ï7 =
L'intégrale est donc égale à — \2 log tg^ = s2 log . Or, si on pose tg5 = /,
on a .-^ = tg!^ = 1 ; doù r- — 2t—l=0. t — \2 — l; et enfin
La valeur définitive est donc v21og(\2 + 1).
Exemple 2. — Calculer l'intégrale / yd: -{- :dx -]- xdy suivant la spire de l'hélice
x=:acosu, y = a sinu, : = au, qui va du point u = 0, {x = a, y = 0, » = 0), au point u = 2::, (x = a, y = 0, : = 2a tt). L'intégrale à calculer est
û- / sinudu + udcosu + cosudsinu^a- / |sinu-| — ^t-^ jdu-\-a- 1 u.dcosu.
La première des deux intégrales donne simplement Tta-, La seconde s'intègre par parties :
I u.d rosu = [ucosu]y'" — / cosudu;
^ ce qui se réduit à 27:. Le résultat final est donc
T^n- -\- 2r^a- = 37ta"-.
359. Cas où lélément différentiel est une différentielle totale exacte. — Supposons que le champ de vecteurs considéré dérive d'un potentiel; c'est-à-dire qu'il existe une fonction de force \{x,y, :) telle que l'on ait
A{x,y,z) = —^''^ B{x,y,z)= -'-^-', CT^,î/,z) = — i^^'
On a alors
\dx + \idij 4- Cdz = '— dx-h'—dy-h—dzz=^ d\ ;
INTEGRALES DÉFINIES 155
c'est-à-dire que lï-loment difT/'rentiel s'écrit comme la différentielle totale de la fonction V (n" 1S4).
Lorsqu'on calculera l'intégrale (12), dans ce cas, le long de l'arc de courbe (y), défini par les formules (H) , x = -j, (u) , y=z'l{u), z = /(u), l'élément diflérentiel deviendra la différentielle de la fonction composée
V(9(iO,'Mu),/(u)) = W(u),
d'après le théorème des fonctions composées (n° 183). L'intégrale sera donc :
^"=X' ^^^^") = ^^'(^')-^^'(''o) = v(^(U),.HU),/.(U))-
Mais les formules (8) donnent, pour î/ = î/„et pour w = U, les points Mq et P; de sorte que Ton a :
o(U) = X, •MU) = Y, /.(Uj = Z.
Donc, la formule précédente se réduit à
C = V(X,Y,Z)-V(x,„y„,.„), ou, plus simplement encore, à
C = V(P)-V(MJ,
en indiquant les points, au lieu de leurs coordonnées. On a donc, dans le cas considéré,
(13) fj\=\{P)-W(},\,) = [W]l.
Il ny a ainsi aucun calcul d'intégration à faire, lorsque Vêlement différentiel d'une intégrale curviligne est une différentielle totale exacte, pour calculer cette intégrale le long d'un arc de courbe (y) quelconque.
D'après la formule (13), il n'y a qu'à faire la différence des valeurs de la fonction de force ", pour l'extrémité et l'origine de l'arc (y).
De là cette conséquence très importante que, dans ce cas, la valeur de l'intégrale curviligne ne dépend ''que de f origine et de l'extrémité de l'arc d'intégration, et non de cet arc lui-même.
360. Interprétation de l'élément différentiel d'une intégrale curviligne quelconque. — Travail élémentaire. — Si l'arc d'intégration (y)
(I) Avec la fonctipn polentielleTou potentiel, II = — V, là dilTérence devrait être prise au sens contraire :
r~ = ii(M„)-ii(F) = :rr);-.
INTKGHALES DKFIMES
a pour origine un point fixe M^ de la courbe (K) qui le porte, et pour extrémité un point variable M de cette courbe, l'intégrale curviligne correspondante,
C = r \dx H- Bdy -h Cdz,
est une fonction du paramètre a qui définit la position de M sur la courbe (K), et on a :
f> = y"[A(9(M), .}(«), /.(u))cp'(u) + B(cp(u),^(u),x(u))f(u) + C(9(m) •}(«), y.(u))/;(u)]rfu,
la Courbe (K) ayant pour équations paramétriques les équations (8).
l£n différentianl par rapport à u, on a donc, d'après la propriété de l'intégrale définie considérée comme fonction de sa limite supérieure,
rfC = [A-(ï.(M), •]/(«), /(«))?'('^)+ • • -J^^i ou, plus simplement,
(14) (/€ = A(/x + B(/j/-i-Crf;,
('■tant entendu que le second membre doit être exprimé en fonction de u. A ce point de vue, Vêlement différentiel d'une intf^grale curoiligne est donc la différentielle de cette intégrale.
Lorsqu'on interprète l'intégrale curvili^e comme travail du recteur
F, (A, B, C), on appelle celle diÛ'érenlielle le travail élémentaire qui
correspond au dé.placemeul infinitésimal {dx, dy, di).
Nous suivons (n" 204, rem. I; et n" S61) q'ue ce déplacement est un
vecteur MW tangent à la courbe, et de loagueur ds, puisque da^ -h rfy* -+- dz^ = ds-.
INTKGHALES DEFINIES
Le second membre de la formule (14) est le prodiiil scalaire du veclour
F et de ce vecteur déplacement MW. On peut donc écrire celle formule (14), qui donne !e travail élémentaire,
(15) dh = F.ds.cos{F,ds).
