Intégrale prise suivant un
contour fermé. — Étant donnés trois points P, Q, H, sur une courbe (K), on a, pour une intégrale curviligne I Xdx -+• Bdy -h Cdz prise suivant des arcs de cette courbe, les relations suivantes :
«'l'Q «''oc
Pli *^UK «^Kl>
Elles résultent immédiatement des propriétés analogues relatives au.\ intégrales définies
Ja J.i ' «/a J? J-;
Car si on a : Kdx n- Brfy -f- Olz = \\{u] du, quand on remplace x, y, z, par leurs valeurs (8) données par les équations paramétriques de (K); et si a, fi, Y sont les valeurs de n qui correspondent aux points P, Q. R, on en conclut :
/* kdx -f- Brfv -h cdz = r H (u) du, ç = r , li= r •
.'jTy ■ J'j. • yK • ■ « Kl' «'V
Cela posé, imaginons que P, Q, R soient trois points arbitraires sur une courbe fermée (K). On pourra considérer l'intégrale curviligne
f^.Kdx + Bdy^Cdz,
• l'UK
qui sera prise suivant tout le ^ y
contour de la courbe (K). considéré comme un arc d'origine P et d'extrémité P. parcouru dans le sens PQR.
Mais dans ces conditions, l'inlégrale ne dépend que du contour (K) et
Ib8
INTEGRALES DEFINIES
du sens adopté pour le décrire, et non du point d'oïl l'on part pour le décrire.
On a, en efl'et,
' P«K • PQ * OR * Kl' * UK ^RP 'PO * QRP
ce qui prouve qu'on obtient la même valeur on prenant pour point de dcparUun ou lautre des deux points, absolument quelconques, PouQ.
Cette valeur unique s'appelle [intégrale l kdx -h Brfy -h Ce/:, (on lit :
suivant le contour (K)) prise dans le sens fixé sur le contour, sens qu'on indiquera, par exemple, par une flèclie.
Exemple. — L'intégrale
/ xdij — ijdx.
prise le long du cercle trigonométrique a; = cos w, y=:s\nu, dans le sens positif, est :
sin u . '/ ces u = du =. ^-.
cost/.c/sinw
Remarque 1 . — Si l'expression Xdx -j^ Bdy -{- Cdz est une différentielle totale exacte d\{x, y, :), on trouve, en appliquant la for-
mule (13), que l'intégrale / Ac/a?-(- Brfî/ -hCc/:, prise suivant le coutour fermé (K), est V(P) — V(P). Elle est donc nulle.
fiemarque 2. — Ce résultat peut être en défaut si la fonction V est susceptible
/ xdy ~~~ yd-x d'avoir plusieurs valeurs en un même point. Par exemple, l'intégrale / ■> t' i '
prise suivant le cercle trigonométrique, se réduit à / du et est égale à 2::.
Et cependant ^ ^, T ^ .. ='' arc tg-; de sorte qu'on a ici V = arc tg -.
L'explication de cette apparente contradiction est que tous nos raisonnements supposent que la fonction de force V varie d'une manière continue le long du contour d'intégration. Si donc on prend ici pour V, au point A, la valeur nulle de l'arc-tangente, on ne pourra pas conserver pour V la détermination principale Arctangente, quand on franchira le point B, car elle passerait brus(iuement de la
valeur ^ à la valeur — », à ce passage en B. La fonction V devra avoir pour
valeur l'arc que balaye le rayon vecteur du point qui décrit le contour; et la valeur en A, au départ, étant zéro, la valeur, à l'arrivée, en A, sera 2r..
INTKGRALKS DEFINIES
i< 6. — AI'lM.ICATiONS (JÉOMÉTUIOUES
362. Aire d'un segment. — Si le segment est limité par la courbe »/=/■(,;•), par l'axe des .c et deux ordonnées, nous savons que l'aire
est.l= l"'f{x)dx.
On peut la considérer commi' l'iiilégralc curviligne j i/d.r, prise le long do l'arc Ali; ce qui sera le plus commode si on introduit une représentation paramétri(iue de la courbe.
Par exemple, pour un segment d'une ellipse, x = a cosu, y = b sin», compris entre les ordonnées des points M, et M^, d'anomalies excentriques u^ et u,, on aura
.1'= / 63in(i.adcosa = — / absin^^udu.
Donc
^"' t — cos2u
du
Y u, -u. + 7,(sin2u. — sin2u,)^
Or, * sin2ii = sinu cosu. Donc ou peut écrire, (en introduisant les coordonnées
de M, et NU)
Pour le quart de l'ellipse ((jj = -, «^ = 0), on a .'' = ^^^: l'ellipse est iiab. Pour 6 ^ a, on retrouve Taire du cercle, -kq-.
donc l'aire totale de
Généralisation. — Considérons ^ un segment compris entre deux cordes AC, BD d'une courbe, ces cordes étant parallèles à O;/ par exemple. Nous supposerons que le segment est balayé par une corde
variable MN, d'abscisse a-, lorsque 'Â ! L^ J^
X varie de a, abscisse de AC, à b, abscisse de BD.
On peut supposer Taxe des x tellement choisi que toute la courbe
INTEGRALES DEFINIES
soit au-dessus de cet axe; soit alors y^ l'ordonnée de N, et y., celle de M. qui sont deux fonctions de x connues.
Le segment considéré est la ditTérence des deux segments
ABB'A = IVida:, et CDB'A'= T'ï/A. Son aire est donc
a.= / yjx— f y^dx= f {,j,— y^)dx.
t'ii t'a t'a •
Mais y, — y, = MN ; de sorte que l'on a
a. = / (corde MN).rfx.
11 en résulte que la dérivée, par rapport à x, de l'aire du seymeut variable AMNC est la corde MN qui limite ce segment (du côté variable);
car la dérivée d'une intégrale définie / f{x)dx, par rapport à x,
est fx). Ce résultat se démontrerait directement, en raisonnant comme au numéro 301.
363. Aire dun secteur. — Considérons l'aire d'un secteur variable, compris entre une courbe (K), un rayon vecteur fixe UA, d'angle
polaire x, et un rayon vecteur mobile, O.M, d'angle polaire 0, supérieur à a. Cette aire est une fonction S(0), dont nous cherchons la dérivée.
Soit rie rayon vecteur OM; c'est une fonction connue de 0; si 0 augmente de AO, r varie de A?-; M vient en M', et le secteur S(0) augmente du secteur AS = OMM'. En supposant, pour simplifier '', que /• varie toujours dans le même sens quand 0 augmente de AO, on voit que AS;=OMM' est compris
entre les deux secteurs circulaires d'angle au centre MOM'^AO et de rayons >'| et ,r-f- Aî'| . Donc
AS est compris entre Q^'^^ et ^(j'-i- Ar)*A8,
AS
-r-r est compris entre âf AO ^ 2
et
AS
et on conclut, en passant à la limite, que ^ry a pour limite -â-
(1) II. serait facile de donner au raisonnement une forme plus frénérale, en ne supposant pas que A6 soit positif, ni que r varie toujours dans le même sens dans l'intervalle (h, h + AO). 11 n'y aurait qu'à calquer le raisonnement sur celui da numéro 301.
INTEGRALKS DKFINIES
Donc, on a la formule
On en conclut que S est celle des intégrales indéfinies de ^r^d() qui
s'annule pour 0 = a; car pour 0 = », OM se confond avec OA. Donc, d'après, les propriétés des intégrales définies,
Remarque I . — On peut considérer, en étendant aux coordonnées
polaires la notion d'intégrale curviligne, que S est l'intégrale curviligne
- ; r-rfO, étendue à l'arc AM qui sert de basé au secteur.
Si on revient aux coordonnées rectangulaires x= r cosO, y = ?sin6, on a :
r'- = x- + y\ ?^=lgO, O^arctg^, d^^^^-ÈLlL^.
Donc r'-dh^ xdy — ydx\ et on obtient la formule
S = J \^xdy — ydx.
Remarque 2. — Dans ce qui précède, on a supposé que S croît avec 0. Sinon, l'intégrale (2), où a serait plus petit que 0, serait négative. En d'autres termes, les formules (-2) et (3) représentent l'aire balayée par le rayon vecteur du point qui décrit la courbe, affectée du signe -h ou du signe — , suivant que le rayon vecteur tourne dans le sens positif ou dans le sens négatif.
On peut remnrquer, du reste, que l'élément différentiel
AI (oc. y)
xdy — ydx = x {y -\-dij) — y (>r -h dx)
est la valeur algébrique, (voir n° 201,
et n° 341), de l'aire infiniment petite
du triangle O.MW qiii a pour sommet
l'origine et pour base l'élément
différentiel, MW, de la courbe (K); car le point W a, par définition
(n'^ 204), x-{-dx, y -h dy pour coordonnées.
364. Application aux fonctions hyperboliques. — Nous allons appliquer ce qui précède à l'hyperbole équilalère (4) ' x'-y'-=l,
Math, géskbales. — II.
INTKGIIALF.S DKKINIKS
dont le demi-axe transvnrse, OA, esl égal à lunilé de longueur. Nous nous bornons à la branche de droite, pour laquelle x > 0, — 1 < -^ < 1 ; d'où x-hy >0, x — tj >0.
Pour en obtenir une représentation paramétrique, nous écrivons l'équation (4) sous la forme
(5) (x + j/)(x-y) = l; et nous posons
ce qui esl possible, car cela é([uivaut il •^ u = \og(x-+-y).
Léqualion (3) devient
e"(x — i/) = 1; c'est-à-dire
On a ainsi
d'où
c'est-à-dire, d'après la définition analytique des fonctions hyperboliques, qui s'introduisent ainsi i aturellen-.ent, (n" 100), x=: chu, y = sli II.
Calculons alors la valeur algél rique de l'aire du secteur OAM. Nous avons,
^'^y ~ ydx = chu .dshu — shii .dchu = (cli-w — sh-») du, c'est-à-dire
xdy — ydx = du.
L'aire cherchée esX donc. ^ ion remarque que uest nul en .\ u-^= 1 , y =0),
- / du = -.-
Ainsi les fonctions hyperboliques ch u et sh u sont les coordonnées du point .M, u étant le double de la valeur algébrique de l'aire OAM. C'est la définition géométrique de ces fonctions, toute pareille à celle des fonctions circulaires, annoncée au début du numéro 100. dans la première partie de ce Couis.
365. Aire d'une courbe fermée. — Imaginons une courbe fermée, et supposons l'origine des coordonnées à son intérieur. Nous admettrons
INTEGRALES DEFINIES
qu'une demi-droite issue de l'origine ne rencontre son contour ([u'en un point, de sorte que le point M décrivant le conlour dans le sens direct, le rayon vecteur OM tourne toujours dans le sens positif. Le rC'SultaL que nous allons obtenir pourrait s'étendre au cas général, où on n'introduirait pas cette restriction.
Toute l'aire est balayée, quand le rayon vecteur tourne de l'angle mesuré par 2tc, c'est-à-dire lorsque M décrit tout le contour. L'aire totale limitée par la courbe est donc égale à l'intégrale curviligne
\>z=^ I r-df) = - f .^dy — ydx
prise le long du contour de l'aire, dans le sens direct.
Le résultat subsiste si 0 est à l'extérieur de l'aire. Portons, en effet, l'origine en 0,, à l'intérieur.
Nous aurons
avec
x^z=x — a, y^=zy — 0,
où {n, b) sont les coordonnées de Oj.
Donc,
" '' ~ 0 ./k ^^~'"'>^y~~ ('^ —0)dx=^- j^ xdii — rjdx — ~ f ady — bdx.
Mais la seconde intégrale est nulle, parce que l'élément différentiel est la (litlérentielle totale de ay — bx (n° 361). La formule (6) subsista donc.
Autres formules. — Un peut écrire
xdy — ydx = d{xy) — iydx.
Donc, d'après la formule (6),
INTEGRALES DEFINIES
Mais la première intégrale est nulle, l'élément différentiel étant une diiVérentielle totale exacte, et il reste
= -fjdx.
On pourrait du reste déduire cette formule, directement, de celles du numéro 362.
Enfin, en écrivant xdy — rjdx = 2xrfj/ — d{xy), on obtient, de même,
Xk;,-^'^-'/-
Exemple. — Soit à calculer l'aire de la développée d'une ellipse (1, page 491)
X = — cos'u,
On a,
Donc
c2 — r sin'u.
3cï
dx = — 3 — cos^u sinudu, rfy = — '-^- sin^u cos u du a •' b
ydx=: 3 -rcos^u sin*udu, ao
xdy = — 3 -r C03* u sin* u du ao
xdy — ydx = j- cos-u sin'-udu:= — t-t (sin2u)2du.
Si on fait varier u de 0 à 2-, la courbe est décrite dans le sens négatif. On aura éonc pour l'aire
3c Sab
r / Sin2 2u.du = ô-r / —
cos4u
du
366. Calcul des longueurs d'arcs. — Pour une courbe quelconque
la longueur s de l'arc compris entre une origine A, (M = a), et le point M, de paramètre u, est une fonction de u dont la différentielle est donnée par la formule (n" 20o et n° 254) :
flfs^ = dx- -\- dy- + dz^.
On a donc :
ds = ±: V-/'(u)-hf«(u)-h/;^(M) .rfw.
Si nous supposons que s est la valeur algébrique de l'arc AM, et que le sens des arcs croissants correspond au sens dans lequel M se
ds déplace lorsque u croit, -r- est positif; et on doit prendre :
ds = v's'^lu) -f- y^iu) H- y;''{u).du.
INTEGRALES DEFINIES
ir.5
La fonction 5 est dès lors celle des fonctions primitives du radical qui s'annule pour u = x\ c'est donc Tintégrale définie
5= r \l<^"^{u)-\-y-{u)-h/'\u).du.
Sous une forme plus abrégée, on écrira, comme pour une intégrale curviligne,
(9) s= C^dx--\-dy--\-d-J.
Mais il n'y a équivalence des deux formules que si u > z. Dans le cas u < X, la formule (9) s'écrirait, du étant négatif,
Elle donne, dans tous les cas, la longueur de l'arc, sa valeur étant essentiellement positive.
Exemple t. — Longueur d'un arc de cycloïde. — Les équations de la cycloïde sont (n" 230)
x = a{u — sinu), y=:a{l — cosu).
Donc
D'où
ds- = a-[{l — cos a)- + sin^ u] dads- = a- (2 — 2 cosu)du- = 4a- sin- 7^du'-.
ds = 2a\ sin s \du.
en supposant que le sens des arcs croissants est celui de la flèche.
Sur l'arche OSR, on a 0 ^ u $ 2it, donc sin ^"^ 0; et on aura : s ^ 2a / sin^t/u,
si on compte les arcs à partir du point 0. Cette formule, (qui ne serait plus valable
au delà de U), donne s=ia(l — cGSr^j, ou encore s=;8asiu-r. La longueur de
l'arche OSR correspond à u = 2;i; c'est donc s ^= 8a, c'est-à-dire quatre fois le diamètre SS' du cercle générateur.
INTr.GRALKS IIKFIMKS
Exemple '2. — Lon<iucur d'un arc de parabole. — L*<'<iuatioii de la parabole élaiit y- = 2px, on a ydy = pdx; ■d'où
dsi
'-^^^dy-^;
et pour lan- A.M,
ps= 1 \y^--j-pidy.
« Il
En intégrant par parties, on obtient :
^ py . /"" dr
ps = y\y- + p-— / vy-'+P-'O' + p- / -===■
En remarquant que la seconde intégrale est ps, il vient donc
ou enfin :
2ps = y ^ yî -I- p2 + /)î ' log (y + \ y- + P-)^o
Exemple 3. — Longueur d'un arc d'hélice. — Les équations de l'hélice sont (n° 260)
j' = ocosu, y = asinu, z^hu,
a étant le rayon du cylindre sur lequel l'hélice est tracée, et 2T:/t étant le pas de l'hélice. On a
donc, pour s = arc AM,
ds'-^a-i^'\a-ndu--{-a-cOS-udu--\-h-du-=z{a--\-h-)du-.
Donc l'arc, compté à partir de A, (u = 0), est
s= I \a- -\- h-du, c'est-à-dire s = \a--\-h'^ u.
L'arc de l'hélice est donc proportionnel à l'angle u,
et. par suite, à l'arc AW = au de la base: et on peut écrire s^ - ° "^ — arc AW.
Ce résultat est du reste évident si on déroule le cylindre. On a, sur la figure ci contre, qui représente le déroulement d'une spire.
donc
AA' — 27;«i, A'A, = 2ii/i, AA, = 27t \a-^ -\- hi ;
et, par suite
AM = -^^!AW = ^^^il±^'A\V. .\A a
iNTi:nn.\i.ES dkfiniks
367. Volumes à bases parallèles. — Considérons le volume V compris entre deux sections plane.s, parallèles, d'un solide (S). Nous supposerons qu'on a pris un axe 0: perpendiculaire aux plans de section. L'un de ces plans : = z„ sera fixe, l'autre, de cote quelconque 2, sera variable. Le volume V est alors une fonction V(;). Pour Côcaluer, nous opérerons comme dans le cas des aires et des arcs, en cherr/iant sa dérivée, et remontant de la dérivée à la fonction par une intcf/ralion.
Si nous donnons à z un accroissement \z, le volume V(c) s'accroît de la tranche A Y, comprise entre les deux plans horizontaux, de cotes z et z*-f- As.
Cette tranche, infiniment petite avec As, est un infiniment petit équivalent " au volume du cylindre qui a pour base la section de cote z, et pour hauteur As. Si A(s) est l'aire de la section de cote z, le volume
(1) Pour établir ce point, il suffit d'inia;,'iner la projection, sur le pian de la base inférieure de la tranche, de la surface latérale de cette tranche. Elle aura, pour Iz assez petit, une forme irénérale annulaire; et, des deux cvlindres, de hauteur Ar, qui ont pour bases les aires limitées par le contour intérieur et par le contour extérieur de celle projection, le premier est entièrement intérieur à la tranche, tandis que le second la contient tout entière.
Si donc A, et Ae désignent les aires des bases de ces cylindres, on a .\i Ar < AV <C AeAr, et, par conséquent, en désignant par A l'aire de la section (base inférieure de la tranche),
A, ^ AV A ^ A . A r
Mais, lorsque A. tend vers zéro, la projection de la surface latérale de la tranche tend vers le contour de la base inférieure; donc Ai et Ae tendent vers A: les rapports
—■, -^ tendent vers 1 ; et il en est de m^me du rapport -r — ^. (C. Q. F. D.)
INTEGRALES DEFINIES
de ce cylindre est A(:).A:; et on a, en remplaçant, pour trouver la
limite de -r-^-, le numérateur A\ par son équivalent A(:).A(:),
,. A V ,. A(z). A: , , , lim-YT = lim ^' — := A(:).
Donc
(10) ^ = A(:s ou d\ = \{z)dz.
Dès lors, V(:) étant celle des intégrales de \{z)dz qui s'annule pour : = 2q, on a, d'après les propriétés des intégrales définies, pour le volume cherché :
(11) \ = J^^\{z)dz.
Ainsi, le volume d\in solide esl Viniégrale de l'aire d'une section plane de ce solide, de même que Caire d'une portion de plan est l'intégrale d'une corde (n° 362).
368. Application aux solides de la géométrie élémentaire. — 1° Cône et IroH'- de cône. — Soit 0 le sommet d'un cône, dont la base est
parallèle au plan aOy. D'après l'homothélie des sections parallèles, on a, h étant la hauteur et B la base,
Donc, pour le volume total, la formule (il; donne :
.'u h- Sh-^ -» 3
Pour le tronc de cône compris entre la base B et la section à la cote Zq, on aura :
Si on introduit la hauteur ll = /i — z^ du tronc, et la base inférieure B' = ^,B, la formule se réduit à la formule classique V = ^(B + VBB'-f-B').
Remarque. — Ces résultats comprennent, comme cas particuliers, le cas de la pyramide et du tronc de pyramide.
2° Segment sphérique. — Pour la sphère x- -f- y- -f- z- =: R-, l'aire A (z) est celle d'un cercle dont le rayon est l'y du point M, de cote z, du cercle méridien 7/--hz- = R^, (a^ = 0). Donc
k{z) = r.y- = r.{\\'-z\ \ = J\(W - z^-)dz-
INTKGRALKS DKFINIES
ce qui donne, en eUecluant :
(1) \=:^K^{,-z,)-t:1^{-J-zI).
Pour le segment sphérique à une base la formule se simpUlie. Il vient, en faisant i^ = — R,
ou
= TrlV2(: — R) — ^^(;' -H R'),
Celte formule devient, en y introduisant la hauteur /i^R-+-: du segment,
V = t: r^ R ■ + R2 [h — R ) —\{h — Rf 1 ; ce qui se réduit à
\ = -hH\{ — yi
Remarque I. — On peut introduire aussi, dans la formule (1), les rayons des bases du segment, y^ et y, et sa hauteur : — -o=^^'- En écrivant
V = 7rA[R^-i(.^ + :r„ + .^)], nous éliminons d'abord zz^ au moyen de
{z — z^Y=h\ zz^ = ^{z^^zl — h^), d'où :
Il ne reste plus qu'à remplacer z- et ;^ par ::-=R^ — y- et ;,^=R^ — yl, pour obtenir la formule classique
