IV
369. Formule des trois niveaux. — Ces divers cas rentrent dans le cas, plus général, où A(z) est un polynôme en z du troisième degré au plus.
L'intégrale ^ = ^ \{z)dz a alors une expression simple, comme
nous l'avons vu au paragraphe 2, n" 345. y En tenant compte du changement de
1^ notation, il suffit d'appeler H la hauteur I du solide, B et B' les aires des bases, et __i___ B" celle de la section équidislante de ces bases, pour en déduire la formule du volume, dite formule des trois niveaux :
370. Volumes de révolution. — Pour un segment d'un solide de révolution, limité par deux parallèles, l'aire A(:) est, comme dans le cas, plus particulier, du segment de sphère, celle d'un cercle dont le Z rayon est \'y du point correspondant M
fif de la méridienne principale.
On a donc la formule
V= lyy'.dz,
en supposant y tiré de l'équation y = /'(z) de la méridienne.
x/ On peut, mieux encore, considérer
•cette formule comme une intégrale curviligne
V = - f y^dz;
INTEGIIALKS DKFINIKS
prise le long de Tare de méridienne qui engendre la surface latérale du volume.
Ainsi entendue, elle s'étend au cas du volume engendré par une aire plane qui tourne autour d'un axe Oz de son plan t/0», ne la rencontrant pas.
L'intégrale curviligne devra seulement être calculée le long du contour de celte aire, dans le sens direct.
Supposons, en elTet, pour simplifier, que le contour de l'aire ne soil coupé par une parallèle à Oy qu'en deux points M^ e[ M,.
Le volume à évaluer est la dilTérence des volumes de révolution qui correspondent aux deux arcs AM,B, AM.,B; et on a
dz
\=zr. f^^y'-dz — - f^yHz = T. fifdz-^-r. f^yhlz = iz C ^y^
ce qui établit le résultat annoncé.
Exemple. — Volume du lore. — Le tore est le solide engendri' par un cercle qui tourne autour d'une droite de son plan. Nous ne considérerons que le cas où la droite ne rencontre pas le cercle. Nous pouvons supposer le centre du •cercle générateur eu C sur Oy, et soit a = OC. Soit II le rayon de ce cercle.
Les équations paramétriques de la méridienne principale seront, d'après les formules du numéro 218,
y = a -j- R cosu, j = Rsinu,
u étant l'anjrle du rayon CM avec le rayon CA; et >, z étant les coordonnées de M. On a donc, pour le volume du tore,
V = 7; / ((j4-Hcosu)2RcosurfH = 27TaR2 / cos2u(ia + 7:H2 / (a2--j-R2cos2u).d sinu.
La seconde intégrale donnera un polynôme en sinu, si on y remplace cos'-u par 1 — sin-u: et le polynôme s'annulera aux limites de l'intégration. Elle est donc nulle.
Dans la première. / cos-iirfu= / . 'fi . 'Il
p-l+cos2u
du est égale à tî.
Il reste donc
V = 2itaR2.TT = 27;îaR2.
On peut l'écrire Y = i;R-.27:a, ce qui est le produit de l'aire du cercle générateur par la longueur de la circonférence que décrit son centre.
371. Aire d'une zone d'un solide de révolution. — Pour délinir l'aire de la zoae engendrée par un arc M^M de courbe plane, tournant
INTKORALES DEFINIES
autour d'un axe 0: de son plan, qui ne le rencontre pas, on imagine une ligne polygonale inscrite dans cet arc; et Taire de la zone est, par définition, la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par cette ligne polygonale, dans le même mouvement de révolution, lorsque le nombre
de ses côtés augmente indéfiniment de manière que le plus grand de ces côtés tende vers zéro.
On en peut conclure que l'aire engendrée par un arc infiniment
petit MM' est équivalente à l'aire du tronc de cône engendré par la corde de cet arc, ce que nous admettrons.
Cela posé, l'aire de la zone engendrée par l'arc MjM de la courbe y = f{z), — le point M,, étant fixe sur cette courbe, et de cote z^, et le point M étant variable et de cote z (supérieure à :o) — > 6st une fonction Z(-) de z. Nous la déterminerons, par une quadrature, au moyen de sa dérivée.
Pour trouver cette dernière, nous donnons à z Taccroissement Iz. d'où résulte pour Z un accroissement AZ, et on aura, d'après ce qui
précède,
,. AZ ,. aire tronc de cône engendré par corde MM' km-— = lim -^ ^ ,
puisque AZ et le tronc de cône sont des infiniment petits équivalents (n° 113).
Or, l'aire latérale du tronc de cône est, ses bases ayant pour rayons î/etj/^Ay, / V X
T = 27r.MM'.^[î/-^0/ + A,v)] = 2..MM .(i/H-^j,
T . MM / Av\
Tz=^'^-^T[y-^-¥)-
d'où
INTEGHALES DKFINIES
Pour cheirlier la limite, on peul encore remplacer MM' par l'arc A*
correspondant'", 5 désignant la mesure de lare AM, compté h partir
d'une origine A quelconque; de sorte que -^ a même limite que —,
ds c'est-à-dire qu'il tend vers j^, dérivée de s par rapport à 2.
En remarquant que A?y tend, en même temps, vers zéro, on a, en définitive,
dZ ,. AZ ,. T r, du
c'est-à-dire
(13) dZ=i^nyds.
On en conclut que Z est celle des intégrales indéfinies de ^izyds qui s'annule pour : = Zoi c'est-à-dire que c'est l'intégrale définie
(14) Z=^^£yds, ou, sous forme d'intégrale curviligne,
(lo) Z = 2- fyds.
Exemple. — Aire d'un ellipsoïde de révolution aplati.
Ob a, pour la méridienne, y = 0 cosu, z = 6sinu,
ds- = \dy^ 4- dz- = \a- sin-u -|- 6^ cos^udu. La formule (15) donne donc, ici,
Z = 2t / \ a- sin- u -{- b- cosu. a cosu du ou, en po3ant sin u = r,
2:^2= r \a2u2-f-62(l— i>2idy= r ^ c-2yi + 62 di-, (c2 = a2 — 62j. En intégrant par parties, on obtient
——Z=v\c-v--\-b-\ — / =rt — / * z=====dv.
-"« ' ^'^ À NC2t.2+62 j, SC^u2 + 6. '
ou
(1) L'arc étant un infiniment petit équivalent à la corde (n° 203).
174 KXKUC.ICKS SI It LK l.HAl'ITHK IV
D'où on tire
TTO
Z = a + -log ^
ou enMn, pour la moitié de ruire de l'ellipsoïde,
(16) Z = 7ia2 + ira- iog-^J—-
Remarque. — Si c tend vers zéro, on peut écrire
g -f- c a + g /?i-£ 4 ' fl
6 ^ô^^^^cï Va — c y 1 ^
=i'+iÀ'-„-r=('+2-:+-)('+Ji+ ■■•)='+»-+■•■•
Donc — i — est de la forme I + a, a étant équivalent à . Par suite,
log^' = log(l + a),
étant équivalent à a, (n" 76), est équivalent à -, et, comme 6 tend vers a, le second
terme de la formule (10) tend vers r.a^ ■- =~a-. Donc Z tend bien vers la moitié ^ ' c a
