Aire dun ellipsoïde de révolulion allongé

16.— Calculer l'intégrale C{y^-i- z-)dx -\-{'J-i-x^)dy ■+-{x^-¥y^)dz le long de la partie de l'intersection des deux surfaces

x'- + y^-hz^ = iax, a-'- -+- y2 2aa-, (a > 0), pour laquelle on a : > 0. [On montrera que l'on peut poser z = 2a cosu.J

CHAPIT|{E V

372 Origine géométrique de la notion d'intégrale double. — Imaginons le cylindre tronqué, parallèle à Taxe Oz, qui a pour base, dans

le plan des a:, y, une aire quelconque (A), et qui est limité supérieure-: ment par la portion (S) d'une surface z = /"(a?, t/) dont les points se projellent sur le plan des x, rj à l'intérieur de l'aire (A).

En employant, pour évaluer le volume V de ce tronc de cylindre T, la- méthode infinitésimale qui*a servi pour Tévaluation des aires au moyen des intégrales définies, on est conduit à opérer comme il suit.

MVITH. GÉNÉRALES. — II.

17S INTlicilALLS MLLTll'LF.S

On décomposera l'aire A), par exemple au moyen d'un quadrilkifçe.

en un certain nombre d'aires partielles a,, a^, ..., a„, qui seront les

bases d'autant de cylindres tronqués, analogues à T. Désignons-les par

(y, t.î, . . ., /„, et considérons l'un quelconque de ces derniers, soit Z^. Si

/H/, et Ma désignent la cote minima et la cote maxima des points de

(ï) qui appartiennent à la face supérieure de th. son volume v est

compris entre ceux des deux cylindres, de base commune x/,, qui ont

pour hauteurs ?«? et M^; et si on appelle encore o^ l'aire de la base a/.,

on a ainsi

m^io,, < Ua < MfcW/.-

Cela posé, prenons pour valeur approchée de tv, le volume z^^o^^ du cylindre qui a pour base a/, e: pour hauteur la cote -^ r= /(.rA, //a) d'un point Pa, de coordonnées (xa, î/a), choisi arbitrairement sur celte base al : comme on aura ^^a^w.^ Ma, cette valeur approchée sera également comprise entre ?HAWt et Ma^a; et l'erreur commise sera moindre que (Ma — »'a)w/.-

On en conclut que la somme

représente le volume V = y, -)- r.^ -h . . . H- i'„ du tronc de cylindre donné T avec une erreur moindre que

(Ml — ?nj)coj-h(M,— ?/f,)a>.,-h .. . +(M„ — »i,.)co„.

Si on désigne par o la plus grande des différences Ma — nif,, cette limite de Terreur est inférieure elle-même à

0 (wj -I- co., -h . . . -j- w„) = oQ,

û étant la mesure de l'aire (A).

Or, à cause de la continuité, que nous supposons, de la fonction f{x, y), 6 tend vers zéro, si le nombre n des aires partielles xa augmente indéfiniment, de manière que ces aires tendent simultanément vers zéro dans toutes leurs dimensions ' . Il en sera donc de même de la différence I V — S , qui est inférieure à oS.:».

En d'autres termes, lorsqu'on passe à la limite dans les conditions indiquées, la somme S tend vers le volume V. On peut donc écrire V = lim S = lim ; /"(x,, y^) a>, ^ /"(x,, î/j) w^ -+-... -+- /(x,., i/,.)oj„ ;.

On représente celte limite par la notation

(1) D'une maniiTe précise, si oq enferme chacune de ces aires dans un cercle de r«von aussi petit que possible, le plus prand des rayons des cercles ainsi tracés doit tendre vers zéro.

INTKGIIAI.KS MI l.TIPLES

qu'on ('nonce : » sotnme de f'{.r, y)du), étendno à l'aire A »; et qui rappelle la nature de la somme dont on représente ainsi la limite.

lifmavque 1 . — Les considérations précédentes supposent la fonction z:^f{:p,y) positive dans le champ (A). Or, la formation de la somme S est indépendante de cette hypothèse. Si, de plus, nous posons :

nuus pourrons supposer que P est un nombre positif assez grand pour F(ar, y) soit positive dans le champ (A), quel que soit Ic'signe de f{x, y). Car cela aura lieu si on a constamment /"(j?, j/)h- P < 0 c'est-à-dire — P < f{x, y); de sorte qu'il suflit que — P soit inférieur au minimum absolu de la fonction f(x,y) dans le champ (A): et ce minimum absolu existe, la fonction f{x,y) étant supposée continue. La somme S s'écrit ainsi

= l^(^i^ yt)^'^ + . . . H- F(x„, î/„)u)„] — P(w, 4- . . . -+- ojj.

Dans le second membre, la première partie tend vers une limite. d'après ce qui précède ; la seconde partie est égale à la constante — PLI. Donc le premier membre tend vers une limite.

On peut donc écrire, par définition, sous la seule condition que f{x, y) soit continue dans le champ(.\),

Cette définition ne fait intervenir que l'idée de la décomposition du champ d'intégration (\) en aires partielles ^a, d'étendue wn, .du choix des points (x^, y^) dans chacune de ces aires partielles, et du passage à la limite.

180 INTEGRALES MLLTIl'LES

La limite 0 ainsi introduite s'appelle Vintégi-ale double de la fonction f{x, y), étendue au champ (A). La notation du) indique une aire qui devra tendre vers zéro dans toutes ses dimensions : c'est ce qu'on appelle un élémenl d'aire.

Remarque 2. — Nous simplilierons les notations, en vue des applications, en remplaçant, sous le signe f, les coordonnées {x^, yi) des points P;. par les lettres P/, elles-mi''mes. La notation /"(P) désignera dorénavant la valeur que prend la fonction f'{Jo,y) au point P, dont les coordonnées sont {x, y). La définition de l'intégrale double sera donc exprimée par les formules :

(1) s = /'(P,)(.>, + /-(P,)u,,+ ... -+-/-(P,.)(o„ = i:/-(P)co,.

(-2) :\ = f f^f[x. y)dv^ = f Jj[P)dco = \im':>.

Il y est entendu que le champ (A) est décomposé en aires partielles, mesurées respectivement par les nombres Wj, co^, ,.., co„; que l'on a. choisi dans ces aires partielles, respectivement, des points P,, P^, . . ., P„; que le mode de décomposition est arbitraire, comme le choix de chaque point dans l'aire correspondante; et que Ton passe à la limite, en augmentant indéfiniment le nombre des ;iires partielles, de manière qu'elles tendent simultanément vers zéro dans toutes leurs dimensions. La limite 0 est, de plus, indépendante de la loi particulière adoptée pour les décompositions successives du champ, et pour le choix des points P.

Remarque 3. — Nous avons prouvé, l'existence de la limite de S, en admettant que le volume du tronc de cylindre T était susceptible de mesure. Au point de vue rigoureux de l'analyse mathématique, on démontrerait directement, sans considérations géométriques, l'existence de la limite (1); et, dans le cas f{x, y) > 0, cette limite servirait précisément de définition à la mesure V du volume du tronc de cylindre T.

373. Cal cul des intégrales doubles en coordonnées rectangulaires. — Pour décomposer l'aire {\) en aires partielles, le plus simple est d'employer des parallèles aux axes de coordonnées. On peut opérer comme il suit, en supposant qu'une parallèle à Oy ne rencontre le . contour de l'aire qu'en deux points'".

(1) Les notations du numéro précédent no sont pas conservées dans ce qui suit, en ce qui concerne les coordonm'es. Les lettres x^, Xj, . .., y^, y^, n'auront plus la même sifrniûcation. On se reportera donc seulement aux formules (1) et (2), pour suivre les explications du texte.

L'aire (A) est comprise entre deux parallèles extrêmes à 0/y, {]{]' et VV", correspondant aux abscisses a et b. On décompose U'V" par des points de division j;,, x.,, . . . , x),i, et on mène les ordonnées correspon-

Vi^^m

a^ X, x^^i Xi, Xp., h

JC

dantes, qui déterminent dans (A) p bandes. Puis on décompose chacune d'elles par des parallèles à Ox. La construction est indiquée sur la figure pour une de ces bandes, comprise entre deux ordonnées quelconques, dont, pour simplifier les notations, nous désignerons, pour un instant, les abscisses a:/,i, x^, par x et x' . Les traits horizontaux employés ont des ordonnées y„ tj,, yi^, . . ., vi,i, y^.

On remarquera que r/j et |/o sont les valeurs, fournies, pour l'abscisse i", par les équations

des arcs de courbe UM,V et UM^'V qui limitent le contour, supérieurement et inférieurement.

On démontre que, dans le passage à la limite, on peut ajouter Taire ombrée qui se trouve au bas de la bande, et retrancher celle qui se trouve en haut, sans altérer le résultat final. Pour la somme des termes de S fournis par cette bande, on peut ainsi prendre la somme suivante, où toutes les aires partielles o)/, sont des rectangles, et où les points Pa sont les sommets de ces rectangles, pris, pour chacun deux, à gauche et en bas :

A^-N y,) L(;i, — î/.) (^' — ^)] + A-r, -^i) [Cio — -^nK-^' — x)]-^...

H- A-^. -^,7 '0 [iVi — "^v-') (•^■' — ^L '

182 INTKGHALKS MILTII'LES

r.elte somme parlielle sécriia simplemenl (x' — r)^/.. si on pose, pour abréger.

En opérant de même pour chacune des bandes, on aura, pour la somme lolale, en remarquant que, dans nos notations, x = X/.,, x' = a/.,

(5) è = {x^ — a)s^-^{x.,—x^)s^-\-...-h{x,,—x,,l)s,-+-...-Jr{b — Xf,^ ,)s^,.

0)1 démonlre que, pour le passage à la limite, on peut opérer en deux fois, en faisant tendre vers zéro d'abord la dimension verticale des éléments d'aires, puis leurs dimensions horizontales.

Si donc on laisse d'abord fixes les nombres x,. a-^, , . . , x^i, il résulte de la formule (4) que la somme .s/. tend, d'après la définition des intégrales définies simples, vers .

lims/. = (a: — X) / f{x.]i)dy,

où l'intégrale définie, prise en considérant x comme une constante, est une fonction de x,

(6) r'^"'''f{x,y)dy = G{x).

Comme, dans .s'a, x a, en fait, la valeur x^^i, et x' la valeur x/,. nous pouvons écrire

(7) lim iv, = (J^A — x,. i) G(.r,.i).

Le résultat du premier passage à la limite, pour la somme (5), est

(8) (i-, — «)G(a)4-(x, — a•,)G(x,)-^ ... -^ {x,, — Xk-i)G{xk-i) -h ...

-h{h — Xj,^iiG{x,,i).

Il reste à augmenter le nombre des divisions de (a, h), de manière que chacune tende vers zéro : la somme (7) tend alors, d'après la définilion des intégrales définies simples, vers la limite finale cherchée :

(U) :•= f f f{x,y)do>= f'G{x}dx.

On peut donc écrire, en définitive,

(10) ?=: f f fix,y)do.= f'dx l""f{x,y)dy. ,

la première intéyralion à faire étant celle de droite.

On peut dire h\iq4' intégrale double est le résultat de deux intéyrjlions simples successives. La première se fait le bmy d'une corde iM,M,, parai-

INTKGKALES .Ml LTIl'LK.^

I''li' à ()»/. du champ ci'mtêijrnliou. I.ii seconde, relntioe à la variable x, correspond à Vinlervalle (a, b) dans lequel doit varier l'abscisse de cette rorde M,M.^ pour qu'elle balaie tout le champ d'inté<iratii>n.

Hemarijue I. — jOans ce qui précède, chaque élément rfoj est un rectangle di)nt les doux dimensions sont des accroissemonls './.r et (/// donm^'s aux valeurs la;, '/) qui ligui-enl dans le fadeur /'(r. y, de ré!énient différentiel. Aussi peut-on écrire f/w =:t/.r(/j/. \io\\v Vêlement d'aire rvalué en coordonnées rcclauffulaires. Et on emploie couramment la notation ' :

.'»:=: / / /(a-, y]dxdii.

Jiciii(ir<iiii' J . — Tout ce qui précède s'applique au cas où l'aire (A) est limitée par deu\ cordes U,Uo, VjV^, parallèles à Oy, d'abscisses a» r= 0 , x= 0, et par deux arcs

de courbes U,V,. V,\.,. ayant pour éiiuations les équations (3)

Ce cas comprend, en particulier, le cas où le cham.p d'intéijrntion (A) est un rectangle dont les côtés soni parallèles aux axes (voir la ligure à la page suiva!!tf).

Si li.'s droites qui limitent ce rectangle sont x = a, x = h, y = <\ y = cf, on a y^ = ^, ?/. = '/, et la formule (9) s'écrit

JC

•'= f'd^- f"tV,y)dy.

(1' On dit i-ouvent que in prcmic-re irilégralion. qui donne

dx I f{x,y)dy,

consiste à sommer les éléments de rinléprale fournis par la liande du champ i \) comprise entre les parallèles à Oy d'abscisses x et x -j- rfj. Cela l'ait imape, mais n'est pas correct.

184 INTEGHALKS MILTIPI-FS

Les quatre limites d'intégration sont donc alors constantes; et co

yz

JC

sont, pour chacune des intégrations à efTectuer, les valeurs extrêmes entre lesquelles peut varier la variable correspondante.

Remarque ,'i. — Interversion des intégrations.

On peut, dans ce qui précède, intervertir le rôle des axes de coordonnées; c'est-à-dire faire une première intégration le long d'une corde PjPj du champ, parallèle à Ox, qui donnera, en introduisant les équations

des deux arcs latéraux WP,1{, WPgR du contour d'intégration,

(10) H(y)= r"''-'"'f{x,y)dx;

et faire une seconde intégration

J= f"\i{y)dy,

où y varie entre les limites c et d, de manière que la corde PjPj balaie tout le champ d'intégration. On aura ainsi

(13) 3= /' /' fix, y)dxdy = f dy H f(x, y)dx.

Interprétation géométrique. — Si on revient au volume du tronc de cylindre T du numéro 372, on voit que l'intégrale (9) n'est pas autre chose que l'aire de la section (en forme de segment) du volume T par le plan ZIY d'abcisse x; car la section de (12) par ce plan a pour écjuation, dans son plan,

iNTK(;u.\Li:s Ml 1/rii'Li.s

tm-

El le calcul du volume V tolal, par linlcgralo (H), ou i.uu l'sl l'aire de cette section,, peut titre considéré couiine une application du la rnétliode du numéro 3(»7; puisqu'oa

intègre entre les limites u et 6, entre lesquelles doit varier l'a; du plan sécant demanière que la section (ombrée) balaie tout le volume considéré ' .

Exemple. — Soit à calculer l'intégrale

étendue à l'aire triangulaire OAB, le point A ayant pour coordonnées (1,0\ et le point B (1,1). L'é(iualion de OB étant v = .r, on aura à calculer

.-)= / dx f {x'- + y'-}dy.

La première intégration est

La seconde est

c'u I -J Ju •->

374. Calcul des intégrales doubles en coordonnées polaires. — Si on emploie les coordonnées polaires, on décomposera le champ d'inté-

(1) On dit souvent que la première intégration, qui donne

dx I /(c, y)dx,

fournit le volume de la tranche du volume V, comprise entre les plans X = x, et \=zx-\-dx. Elle fournit en réalité une tranche cylindrique, (jui est un intiniment petit équivalent à la tranche du volume V.

INTKC.IÎALKS Ml l.Tll'Lr.>

graiion en aires partielles au moyen de demi-Jroiles issues de 0, et de cercles de centre 0.

L'une de ces aires sera ainsi limitée au moyen de deux demi-droites,

d'angles polaires 0 et 0-h AO, et de deux cercles de rayon r et r~\- \r La mesure de cette aire serait donc

5(r-4- Ar)-. AO — ç.r . AO = ?-A /• AO + ^ A r^ . AO.

On démonire que, pour le passage à la limite, on peut, en négligeant e dernier terme qui est d'ordre supérieur au premier, prendre pour élément de surface ?-ArAO; et on écrit l'intégrale

:\=i i / /■(/•cosO, rsinOlz-rf/v/O^ j | F(/-, 0)rf7-rf0.

En raisonnant comme on l'a fait en coorcionnées rectangulaires, on sera conduit à faire deux intégrations successives, l'une par rapport à r, qui sera une intégration le long de la corde MjM^ interceptée, dans le champ d'intégration, par la demi-droile OA d'angle polaire 0; l'autre par rapport à 0, où il Faudra le faire varier entre les limites a et p qui correspondent à la rotation de la demi-droite OA, qui fait balayer l'aire par la corde M, M,.

Si on désigne les rayons vecteurs de M, et de M, par r, = cp,(0), )'., = =..,(0), on a ainsi

.1= (iO ./ l'{r, ()}dr.

ExemfAr. — Soil à cnlculer !<■ volume compris entre le F)ian des j.v. je plan des x:, le paraboloide fiyperiH)li(|ii*' : = xy, et les deux cylindres verticaux

xi + y'-=\, i2 -f yî — 2x = 0.

inti;(;uam:s .mlltii'Lks •

Kn ce qui concerne ces cylindres, ou |)eul coiiaiilérer, d'après l'éuoncé, soit hilérieur au second et exlérieur au premier, soit l'espace inlérieur aux deux : nous firendrons la première hypollièse. Ou à alors à calculer rinté{;rale

l'espace

Jf

xydxdy étendue à l'aire ombrée

sur la (lyure.

Les cercles de base des cylindres sont r,= l, rj=:2cos6. Et 0 variera

entre 0 et +o- ^^^ "l^ ''st un des

rùlés d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle /•=:Uc(>sO. Oa a donc a calculer

v-^dr.

.1= / db 1 rcos'j.rsinO. r(/r= / cosÔsinbdO /

y I' =^:|6 CI s'»0— 1]; et il reste à calculer

n=. I (16cos'*fj — l)cos^sia6(/f) = :^ / (1 — 16 cos^'j)(/ tos^Ô =

/ ■ :i - l(3(co.s-;0)^]./ cos-0 =H cos-^6 — 16 ^^ 1 '.

Le résultat est donc :

.-gia-^)-('-v")i=-5a+vr)=^«

375. Aires des surfaces courbes. — Suit à évaluer l'aire t de la portion (il) d'une surl'ace z = f{x\ y) qui se projette sur le plan xO»/ suivant une aire donnée (A).

Nous la considérerons comme la limite vers laquelle tend une surface polyédrale, à facettes triangulaires, construite de la manière suivante.

188 •INTÉGRALKS MILTIFLES

On inscrit dans le contour de (A) un contour polygonal ; et on décompose l'aire du polygone ainsi obtenu en un réseau de triangles, d'aires w,, co,, ..., co„. Les sommets de chacun de ces triangles sont les projections de points de (ï;), qui sont eux-mêmes les sommets d'un triangle, qui est Tune des facettes en question. Si T,, (7.^, . . ., s,, sont les aires de ces facettes, Oj, 0,, . . . , 0„ les angles de leurs plans avec le plan des xy, on a, d'après un théorème connu,

(O, = (Tj C0S6j, 0)^=: (7., COSÔ.,, ..., w„ = (7„COS6„.

Et l'aire de la surface polyédrale, ainsi inscrite dans (S), est

' - ■ ■ ■ " cosOj cosO^ ■ ■ ' cosO,, Il faut passer à la limite, en supposant que le nombre des triangles de (A) augmente indéfiniment de manière qu'ils tendent simultanément vers zéro, dans toutes leurs dimensions.

Dans ces conditions, nous admettrons " que chaque facette a^ fait un angle infiniment petit avec le plan tangent à la surface en un de ses sommets, et, par conséquent, avec le plan tangent en un point quelconque iMa de (S), projeté à l'intérieur du triangle w;, correspondant; et nous admettrons " aussi que, dans le passage à la limite, on peut, par suite, remplacer cosO,, par cos(i\a-, z), Na désignant la normale à (S) en M/..

En définitive, l'aire de (S) est la limite de la somme