CO

cos(N,,:) • ' cos(;N,, :) - •"■ cos(N„, ;) "'

Or, pour un point quelconque M de (ï), cos(X, z) est une fonction

des coordonnées x, y de .M. Celle limite est donc l'intégrale double,

étendue à l'aire (A), de la fonction ra, — ^, ce qu'on écrit

^ ' cos(N, z)' ^

^ ' J .'(A cos(.N, s) J Ja, cos(N, 2)

Formule explicite. — Les coefficients de direction de la normale en

(1) En réalité cela suppose, sur le mode de passage à la limite, des conditions restrictives que nous ne pouvons préciser dans ce cours. El le mieux serait de considérer (]uc notre conclusion : • Vairc de (il; est la limite de la soninte

cos(N,, rj ' cosiN^, r) ' ■ ■ ■ "^ cos(N„, 7) '

constitue la déllnition même de l'aire de (S). Car cette somme a bien une limite, eu vertu des explications qui suivent, d'après la définition même des intégrales doubles.

INTEGRALES MILTII'LES

un point de (S) sont, (n" 273), — ;j = — :^^, — 7 = — -^, -h 1. On a dono'(l, p. 398), pour le cosinus directeur v=rcos(N, :),

cos(N, :)= T — — 1

^/ 1 l pi l ^2

■car il faut prendre le signe (H-), ce cosinus étant celui d'un angle aigu. La formule qui donne l'expression générale des aires courbes est donc

(16) <:= f f ïîTYT~q^ .do>.

liemarque. — La formule (15) équivaut à dire que la portion infiniment petite de Taire t. qui se projette sur le plan des xy suivant 1 élément d'aire plane rfw, est équivalente (au point de vue de la théorie des infiniment petits), à

cos(X. z) d(M

Cette formule, où N désigne la normale en un point M (arbitraire) de la portion d'aire courbe considérée, donne l'expression de ce qu'on appelle un élément d'aire de la surface (S) considérée.

Exemple. — Fenêtre de Viviani. — Il s'agit d'évaluer la portion de l'aire d'une sphère de centre 0, qui se projette, sur le plan des xy, suivant l'aire (ombrée) comprise entre le cercle décrit sur 0\ comme diamètre, l'axe des v, et le cercle de section de la sphère par ce plan.

En un point quelconque M, (x, y, z) de la sphère, la normale a pour cosinus

directeurs -, ^, g, R = \ j- -j-y^ | z- étant le rayon de la sphère. L'intégrale à

•évaluer est donc

Si on opère en coordonnées polaires, dw = rdi-db; et R- ^ x- -f- y- + -- = r- + Jo J,; v/R2-rî

donc r = ^ Ri — r^.

On a donc

190 lNTK(iRALi:S MLLTEPLES

Pour les limilt»3 r^ et r... on a

r, = Il cosO, r^ T= n.

La première intégration à Taire est donc •" rdr

R /* ^ — = — » L ^' "^ — ^'j" , = H V/K^ — H''cos^<» = ll-' sin(

et il vient ensuite

L'aire est donc é'jale au carre ronslruil sur le rayon.

§ 2. — INTÉGRALES TlUPLIiS

376. Définition. — L'intégrale triple est une généralisation naturelle des intégrales simples et doubles. Dans le cas de l'intégrale simple, on se donne un intervalle [a, b) et une fonction f[x) d'une variable; on divise rinlervalle en /( intervalles partiels, d'étendues o,, Oj, ..., ci,,; dans chacun d'eux on prend un point, et les points ainsi choisis ayant pour abscisses i\, x.,, . . . , a?,„ l'intégrale est la limite de la somme :

S = /'(a^J8^4-/-(.r,Jo,+ ...+/(.r„)o„.

Dans le cas de l'intégrale double on se donne une aire, ou champ à deux dimensions (A), et une fonction f{x,y) de deux variables; on divise le champ en n champs partiels, d'étendues w,, w^, . . ., a)„; dans chacun d'eux on prend un point, et les points choisis ayant ainsi pour coordonnées (x^, y,), {x.^, ?/.,), ..., {x,„ j/„), l'intégrale est la limite de la somme :

(l) S = f{x,, ?/,) wi 4-/'(a^., ?/i)o), + . . : + /(.r,., y„)u>„.

Pour définir une intégrale triple, on se donne de même un volume (V), ou champ à trois dimensions, et une fonction f{x, y, z) de trois variables. On décompose le champ en n champs partiels, ou cellules, par un cloisonnement quelconque; soient i\, o.-,, . . ., i'„ leurs volumes. Dans chacun de ces champs partiels "', on choisit arbitrairement un point, et les coordonnées de ces points étant désignées par {x^, y,, -,), (a?,, î/2' '2^ • • •' (^n' î/»' ^n)' ^^ cousidèfe la somme :

S = /"(-Tp y„ z,) y, + fi^i, Vv «2)^2 -+- • • • + /"(^n, y„, 2„) u„.

On démontre que si la fonction f{x, y, z) est continue dans le champ considéré, cette somme tend vers une limite 3, lorsqu'on augmente indéfi-

(1) La ligure indique une seule de ces cellules, de forme parallélépipédique, par exemple. Le point {xk, yk, •?*) est celui r|ui est pris dans la cellule de volume ua..

INTK(iKAt.i:s Ml 1/ril'LES

nivifiiil le nombre des r/ininps prirliels, de manièi'i' '/u'ils tendent shnnltanéinenl vers zéro dans toutes leurs dimensions ''.

Cette limite ? ^'appelle l'intégrale triple de la fonction f{x, j/, z), étendue au volume (V). et se représenle par la notation

^ = ffj[.f{x.yr^)dv,

qui s'énonce « somme, somme, somme », et qui rappelle la formation de la somme S, dont l'intégrale est la limite. La notation dv indique «ju'il s'agit d'un volume qui doit tendre vers zéro dans toutes ses dimensions * : c'est ce qu'on appelle un élément de volume.

Interprétation par la masse. — Dans le cas où la fonction f{x, y, z) est positive, on peut donner de l'intégrale triple une interprétation physique. Imaginons le volume (V) rempli par une substance dont la masse spécifique sera, en chaque point {x, y, z) de ce volume, égale a f(x, y, z). Cela veut dire que, si ce point est à l'intérieur d'une portion

(y) du corps considéré, de volume v et de masse m, le rapport ^ tend

vers f{x, y, z) lorsque ce fragment (v) du corps tend vers zéro dans toutes ses dimensions, en contenant toujours le point {x, y,-); ou, en d'autres termes, lorsqu'il tend à se réduire à ce point.

(1) D'une manière précise, cela veut dire que, si ça est le rayon de la plus petite sphère contenant à son intérieur la fc"'"»; cellule, la différence \J — S est aussi petite que l'on veut, dés que le plus grand des nombres ç,i. est pris suffisamment petit, quelle que soit la loi adoptée pour les cloisonnements successifs du champ et pour le choix des points (xa. ja, r/,).

(2) Si c'est un parallélépipède rectangle, par exemple, cela équivaut à dire que les dimensions de ses trois arêtes tendent simultanément vers zéro.

192 INTKGHALES Ml LTII'LES

11 en résulle que la masse m de ce fragment {v) du corps a pour valeur approchée le produit f{a\y,z)i\ qui serait la masse d'une subtance homogène, remplissant la même portion d'espace, avec une densité constante égale à /"(x, y, :). La somme (1) est ainsi une valeur approchée de la masse totale du corps (V) considéré; et on démontrerait, en raisonnant comme nous lavons fait pour les intégrales doubles au numéro 37:2, que cette somme S tend vers la masse lf)lale exacte du corps considéré.

Donc, si /"(x, j/, z) est une fonction positive, l'intégrale

est égale à la masse d'un corps continu, limité au cliamp d'intégration (V), et ayant en chaque point pour densité (masse spécifique) la valeur correspondante f{x, y, z) de la fonction donnée.

Remarque. — La notion d'intégrale triple n'est liée qu'en apparence à l'introduction d'axes de coordonnées: il suflU que, par un moyen quelconque, on définisse une fonction de point /"(P), dont une valeur corresponde à chaque point P de l'espace : la somme (1) s'écrira, en introduisant les points P^, P^, ..., P„, au lieu de leurs coordonnées

(■^1» yp 2.)» (^"2' y-l^ =2), • • • , (^«' ?/.n -n),

et la limite de cette somme, dans les conditions énoncées, sera l'intégrale triple If f P)dv. Cette remarque s'applique à l'exemple,

donné ci-dessus, de la masse d'un corps hétérogène; elle s'étend aux intégrales simples et doubles (comparez la remarque 2 du n" 372); et elle intervient dans toutes les applications de la notion d'intégrale à la physique.

377. Calcul des intégrales triples en coordonnées rectangulaires. — Pour efrectuer le cloisonnement du champ d'intégration, on peut employer des plans parallèles aux plans de coordonnées.

Supposons que la surface qui limite le volume (V) ne soit percée qu'en deux points par une verticale (parallèle à Oz). Soit z, et z.^ les cotes du point d'entrée M, et du point de sortie M^ d'une verticale, supposée décrite de bas en haut: R son pied sur le plan horizontal (plan des xy), et {x,y) les coordonnées de ce pied : Zj et z^ sont des fonctions ç,(a7, y), 3'2(x, y), et les équations z, ^o,(x, y), 33:= ©^l^»!/) représentent les deux portions de la surface qui limite le volume (V), par-dessous et par-dessus, et qui sont séparées par la courbe de

INTEGRALES MULTIPLES

contour apparent (C) (courbe de contact du cylindre vertical circonscrit au volume). Les points du volume (V) se projettent sur l'aire (A) limitée parla projection de cette courbe (C) (contour apparent horizontal).

Cela posé, décoinposoos (A) en aires partielles '' par un quadrillage parallèleauxaxesOr et O7. L'un des éléments rectangulaires ainsi obtenus, ayant pour sommets un point R {x, y), et les points ix-hdx, y), (x, y -\- dy), (X -+- dx, y -\- dy), a pour aire dx.dij. Prenons-le pour base d'un prisme illimité vertical; et il restera à décomposer eu éléments de volume, par des plans horizontaux, la partie de ce prisme comprise à l'intérieur de (V). Nous mènerons ces plans horizontaux par les points MjM, (entrée et sortie de la verticale de R), et par des points intermédiaires dé la corde M, M., dont nous désignerons les cotes par l^, ^2, • • -, C^^-i-

Relativement à cette opération, on démontre que la limite finale n'est pas changée, si on substitue à la baguette prismatique exactement déterminée dans le volume V par le prisme vertical illimité la pcjrlion de ce prisme comprise entre les plans horizontaux des points iMj et M2 (cotes z^ et z.-,).

Cela posé, construisons la somme S, conformément à la formule (3).

Le volume v de l'élément compris dans le prisme considéré, entre les plans de cotes 0,i et ^a est (^^ — ^i;-i)dxdy\ et, pour point P à prendre dans cet élément, on peut choisir le point [x, y, ^a i), sommet le plus rapproché des trois plans de coordonnées'.

On a ainsi une somme partielle de termes de S

f{x, y, s,) (r^ — z,)dxdy -+- f{x, y, C,) {l, — X,^)dxdy -h . . . + f{^^ V' V- >) (=2 — ^i.-i)dxdy,

(1) Cktmme on l'a fait pour les intégrales doubles, numéro 373.

ig4 INTEGRALES MULTIPLES