OU
(4) ^A-r, ?/, -.u;.-3.)H-A^^y, s.)i!:,-g + ...4de sorte que S se composera de la somme de toutes les expressions analogues, relatives aux divers éléments " dxdy de l'aire (A).
On démontre qiie l'on peut, comme pour les intégrales doubles, effectuer d'abord le passage à la limite pour chaque sommfi (t). en y laissant fixes dx et di/. D'après la définition des intégrales définies simples, cela donne
(5) dxdy I f{x, y, z)dz=H(x, y)dxdy,
qui est, au facteur dxdy près, une fonction de x et y. parce que x, y, figurent, comme paramètres constants, dans l'intégration relative à z, et parce que les limites de cette intégration sont les fonctions z^ = cp,(a;, ?/), 2., = 9.,(x, y) qui définissent les deux portions de la surface qui limite le volume (V).
Cela fait, il restera à passer à la limite dans la somme S II (a;, y)dxdy de toutes les expressions (5) qui correspondent aux divers éléments de (A); ce qui donne, d'après la définition des intégrales doubles,
(6) :•= /"/" H{a^, y)dxdy.
Donc on aura à effectuer une intégration simple suivie d'une intégration double; l'intégration simple se fait le long d'une corde verticale du volume^ dont le pied a pour coordonnées {x, y)\ elle fournit une fonction de {x, tj), qu'il reste à intégrer suivant l'aire (A) limitée par le contour apparent du volume donné.
La formule explicite (voir les notations sur la figure de la page précédente), sera
(7) .T^ f'dx H'dy fyix.y, z)dz,
OÙ î/, et y., sont les fonctions i/^ = .!/,(j:'), j/^ = '}.^(a'), qui réprésentent les deux parties CP,D. CPjD du contour apparent.
Remarque I . — Tout ce qui précède s'applique au cas on le volume V est la portion d'un cylindre vertical comprise entre deux surfaces :, = tpj(a:, y), ^^ =: ^-^(a;, y). L'aire (Aj est alors la projection d'une section droite de ce cylindre.
En particulier le volume V peut être un cylindre vertical à bases parallèles, et alors ;, et z.^ sont les cotes de ces deux bases : ce sont alors des constantes.
(1) Comme pour les intégrales doubles, on démontre qu'on peut négliger des portions irrégiilières, adjacentes au contour de l'aire, de manière à n'avoir que des éléments rectangulaires.
INTEGRALES MULTIPLES
Comino cas plus particulier encore, si le volume V était un parallélépiprdc rectangle, à faces parallèles aux plans de coordonnées, les six liniilos d'intégration seraient constantes; les plans des faces du parallélépipède étant .r = a, x=^b, y=- '/p y = ?/.,. : = z,, z=: z,,.
Itemarque 2. — Si on groupe ensemble les deux premières intégrations à elTocluer, cela donne
/ dy / f\x, y, z)dz^=Vi{x)
C'est une intégrale double, dans le calcul de laquelle .r joue le rôle de constante. On peut l'interpréter '" comme l'intégrale double de
l\x, y, z) considérée comme fonction de y et :; le champ d'intégration étant la courbe de section (ombrée) obtenue en coupant le volume (V) par le plan ZQY, parallèle à :0y. et d'abscisse x.
Celte courbe est. en effet, comprise entre les droites Y = y^, Y = y^ de son plan; et z, et z., sont les cotes des extrémités Mj et M.^ d'une corde quelconque de la courbe, qui se projette sur l'axe QY au point R pour lequel Y =: »/.
Ainsi, pou7' calculer lintégrale triple (il [{x, y, z)dv, on peut
/ f(x, y, z)dydz, étendue à la
section faite par le plan X=a" dans le volume (V). Cela donne une fonction G (a?) quil reste à intégrer entre les limites a, A, entre lesquelles le plan sécant \=ix doit varier pour que la section balaie tout le volume.
(1) Pour la clarté des figures, les axes des x et des y ne sont pas placés de même dans les deux fis-ures de ce numéro: mais les notations v sont les mêmes.
INTEGRALES MULTIPLES
/iemarque 3. — Qu'on opère de l'une ou do l'autre manière, on peut changer le rôle des axes de coordonnées dans ce qui précède, c'est-àdire adopter un ordre quelconque pour les trois intégrations simples, suivant x, y, z, que comporte le calcul de l'intégrale triple à évaluer.
Exemple. — Polenticl cVune sphère homogène par rapport à un point extérieur. — Le potentiel d'un corps attirant (V), en un point (juelconque M, de l'espaco, est par définition riiité^Male triple (se reporliM- à la remarque finale du numéro 37G) :
ffl'f
dv.
où IX est la masse spécifique du corps, en un quelconque de ses points P, p la distance MP, et dv lélément de volume auquel appartient P. On peut écrire aussi
dm
en remplaçant \j.dv par dm, qu'on peut considérer (comparez ce qui a été dit au numéro 376, sur la mesure des masses), comme Vélémcnl de masse du corps (V). Si le corps est homogène, [i. est constant, et l'intégrale potentiel s'écrit
do
Soit une sphère homogène de rayon II : nous prendrons l'origine des coordonnées au centre, nous ferons passer Or par le point M; et nous poserons OM = c. Alors, (x, y, r) étant les coordonnées du point P dti volume de la sphère, on a p = va;--|-y^-|-(- — c)-,
r , étendue au volume
et il s'agit de calculer l'intégrale triple / T / -r=
de la sphère.
Nous intégrerons d'abord suivant l'aire d'un parallèle, en nous servant, pour celte intégration double, des coordonnées polaires (x = rco3 0, j' = rsinO). L'intégrale
INTi:GRALl!:S MULTIPLES
doul)le à calculer sera, le rayuii du parallèle étant \'K- — z- = r^, et (<a> = rdrcéO étant l'éléinent d'aire à introduire,
.Al .'u \r'
rdr
= 1' d<i[ir'- + (z-cy^]l\
c'est-à-dire
27t[v'H2+ci— 2cz — \(z — c)^\.
Comme r est inférieur à c, on doit prendre \{z — c)- =:^ c — r; et il reste à calculer l'intégrale simple
En tenant compte de c > R, qui entraine
(R2 + C2 — 2cR)î=:(c — R)a.
on écrira cette expression
-'^ I - h^' - ")' -^' + ^^'' - 2cR I = 2-^ . En rétablissant enfin le facteur jj., il vient pour le potentiel U cherché,
où m est la masse totale do la sphère.
Le potentiel est donc le même que si toute la masse était concentrée au centre de la sphère.
§ 3. — ANALYSE VECTORIELLE
