Formule de Green
1° Intégralion partielle. — L'intégrale triple 0= f j ff{x, y, z)dv
se réduit à une intégrale double, si f{x, y, z) est la dériyée partielle d'une fonction connue.
Supposons, par exemple, que l'on ait
La première intégration, (formule (7) du numéro 377), que Ton a à effectuer sera :
Dans cette- formule, z^ et :, sont les cotes des points M, et M, où la verticale du point R, de coordonnées x, y, perce, à son entrée et à sa
in
INTEGRALES MULTIPLES
sortie, la surface (S) du volume (V) d'intégration. Il restera ensuite à calculer l'intégrale double (formule (6) du numéro 377),
^= f f [C{.r.y,z,)-C{x,y,z,)]dc.,
étendue au champ (A) limité par le contour apparent du volume donné (V).
Remarquons que, daprùs la délinition des intégrales, doubles et triples, iintégrale d'une somme de plusieurs fonctions est la somme des intégrales des divers termes, car l'intégrale est la limite d'une somme S, (voir le début du numéro 376, par exemple), pour laquelle la propriété est évidente.
Nous écrirons donc :
Introduisons les demi-normales M,N, et M^N,, menées en Mj et M^, à la surface (S), vers l'extérieur; elles forment, avec la verticale ascendante, des angles Oj et 0.^, dont le premier est obtus et le second aigu, car la surface (S) est convexe, en vertu des hypothèses faites dans ce qui précède.
Il en résulte quen M, Vêlement de surface de (S), (n" 375, formule (17)
est dr:=i ^ ; mais qu'en M,, cet élément de surface, qui est positif,
est égal b. d'j =
cosO
. Nous poserons ■', = cosO,, v^=cos62. Nous
INTEGRALES MlLTIl'LES 199
di'sigiiorons par (S.j la portion de (S) située au-dessus de la courljc de contour apparent (C), et par (S,) la portion de (S) située au-dessous de celle courbe; et nous remarquerons que, quand P décrit le champ plan (A), M, décrit (S,), et M. décrit (S^).
Nous pourrons donc écrire la formule (1) en faisant (/5 = — «
do^ = ';.,d'7, dans la première intégrale, et (/(j = —, dio^ — Yi^'
ïi dans la seconde :
(2) ;i= /' /' C(a-, y, :,)y,c^'+ f f GU, y, z^y^^dn.
l.a première intégrale est étendue à la surface (Sn), et la seconde à la surface (S,). On peut donc les réunir en une seule :
(3) 3=JJ^^C(x,y,z)';d'7,
où V désigne le'cosinus directeur, relatif à 0:, de la normale extérieure en un point quelconque de (S), et où l'intégrale doit être étendue à toute la surface (S).
Et l'on obtient ainsi la formule d'inlégration partielle :
où la notation (Se) rappellera que la normale à la surface (S) doit être menée vers l'extérieur, par rapport au volume (V) qu'elle limite.
2° Formule de Green. — En introduisant les deux autres cosinus directeurs a, ^, de la normale extérieure, on obtiendrait, de môme, les deux autres formules, analogues à (4),
et, en ajoutant les trois formules, on a la formule de Green, symétrique :
379. Intégrales de surface. — Le second membre de la formule (5) est une inté'jraUi de surfare. La parenthèse (.\a + B^-h Cy) est une fonction de point, définie sur la surface (S); et l'on démontrerait que, dans ce cas, l'intégrale est la limite d'une somme de la forme
INTEGRALES MLLTIPLKS
OÙ T,, c7„ . . ., 7,, sont les mesures des aires oblenueè en décomposant
la surface donnée (S), en n aires partielles, ("^ J y{'^^y''^^~~~7^^-^^^ par un procédé quelconque; et où /",, /"j, . . . , /",, sont les valeurs de la fonction de point donnée /, (ici /"= AaH- BliJ -i- Cv), en des points M,, M,, . . ., M„, arbitrairement choisis dans chacune de ces aires partielles respectivement.
Le passage à la limite doit se faire de manière que, le nombre des
aires partielles augmentant indéfiniment, ces aires tendent vers zéro
dans toutes leurs dimensions.
Flux dhin vecteur. — Dans Tintégrale de surface en question, (7) r/' (Aa + BpH-Cy)rf7,
intervient le champ de vecteurs défini par les composantes A(a;, ?/, s), B{x, y, z), C{x, y. z) du vecteur F qui a pour origine le point M, (.r, ?/, z).
L'expression Aa + Bfi + CY est égale à la mesure de la projection F„
du vecteur F sur la normale extérieure à la surface (S) au point M de cette surface, (origine du vecteur). Ou peut donc écrire l'intégrale (7) ainsi :
A ce point de vue, on l'appelle le flux du vecteur F à travers la surface (S), de l'intérieur vers l'extérieur.
INTEGRALES MULTIPLES
fit'tnarqui;. — Ce mot se rapporte à VinU'rprHalion hydrodynamiiiue suivante. Imapinoiis un lluide en mouvement, cl supposons (ju'à l'instant t la vitesse île la particule qui passe
— > en M soit représentée par le vecteur F; au hout du tempï>rf<. le point M sera venu en M', et, en néplifreant
—y les inllninient petits d'ordn' supérieur, .MM' sera le
— >vecteur Ydt.
Si l'élément f/^ est assez petit, lu vitesse du liuidc sera la même, approximativement, pour les divers points de rélémenl (/t de la surface, que nous considérerons, de plus, approximativement, comme plan.
Au hout du temps dl, les points du fluide, qui étaient sur do- à l'instant t, seront donc sur l'élément parallèle rfi', obtenu par la translation qui est définie par le
vecteur Ydt\ et le volume du cylindre obli(iuc dont dn et dn' sont les deux bases représente (approximativement) le volume lluide qui a traversé l'élément do- dans l'intervalle de temps dt considéré. Or ce cylindre a pour volume
d^X {projection de MM' sur U^) = dT.(F„.dl). Ce volume est ainsi alFecté du signe + ou — , suivant que F„ est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que le passage du lluide à travers (/•j se fait de la face intérieure à la face extérieure, ou en sens contraire. La somme
d«.i:F,jd<7
est donc une expression approchée du volume lluide qui sort de la surface (S) pendant le temps dl, le signe ïl s'appliquant à toutes les aires partielles d-ren lesquelles on aura décomposé la surface. Cette somme sera, du reste, en général, une somme algébrique, le passage du fluide à travers la surface pouvant se faire, suivant les éléments considérés, de l'intérieur vers l'extérieur, ou inversement. Par conséquent, la somme SF„rf(x est une expression approchée du débit,
l volume débité \ j « j . ^ ■ , ,^. ..
I j — : — -T^. j r , du fluide a travers la surface. Et on démontre que, par le
\ durée d écoulement/ t > i
passage à la limite, qui donne l'intégrale (8), on obtient rigoureusement l'expression
de ce débit à l'instant /.
On remarquera, du reste, que cet instant t n'intervient pas dans l'intégrale en ([ues-
tion, de sorte qu'on a affaire à un régime permanent, où le débit est constant. C'est donc
ce débit constant que nous désignons par le mot de JJux.
Flux élémentaire. — L'élément ditîérenlielF„(/(î = (Aa-|-Bp+CY)rfff
de l'intégrale flux s'appelle le flux élémentaire du vectew F à travers i élément superficiel d'j, dans le sens (a, jï, v).
Autre notation. — Nous sommes arrivés à la formule (4) en nous servant de ce que 7^7 était, au signe près, égal à l'élément d'aire, ûJoj, du plan des xy. On représente souvent, comme nous l'avons vu, cet élément di» par la notation dxdy. On convient de l'introduire dans les intégrales de surface, en même temps que les notations analogues dydz eldzdx. à la place de arfî et de pda; et on écrit la formule de Green (5) sous la forme :
Mais il est alors entendu que, tandis que dxdi/dz est, dans le second membre, essentiellement positif, les produits (/?/(/:, (/:(/.r, dxdij désignent les aires élémentaires des trois plans de coordonnées, aflfectées des signes des cosinus directeurs correspondants de la normale extérieure.
380. Diverqence. — L expression - — \- - — i . qui figure au second
membre de la formule s'appelle la divergence du vecteur V, au point (a-, y, z) de res|)ace, (origine du vecteur); et on écrit :
(10) ^H'lB+.lÇ^,i,-f
On écrira donc la formule de Green, sous forme condensée,
(11) J j^^^F„dG= J f /^ div 'V.dv.
Le flux d'un vecteur F à travers une surface fermée (S), de Vintérieur vers Vextérieur, est égal à Vintégrale de la divergence de ce vecteur^ étendue au volume (V) limité par cette surface.
Remarque. — Le mot de divergence se rapporte à l'interprétation tiydrodynamique donnée plus haut. Si on applique la formule (11) à une surface, infiniment petite, entourant le point {x, y, z), le flux à travers celte surface est, approximativement,
représenté par Télément div F. du. La divergence est donc la limite du rapport du flux qui sort d'une surface fermée infiniment petite (entourant le point considéré) volume limité par cette surface; c'est ce qu'on pourrait appeler le Jlux spécifique en un point. Elle mesure la tendance du fluide à se dilater, en un point quelconque de ce fluide.
381. Cas particulier. — Supposons que /'' champ (A, B, C) dérive dun potentiel c'est-à-dire que l'on a, ce potentiel étant — L}(.r, y, :),
kdx-^\idy-\-Cdz — dO., ou
Les deux membres de la formule (11) peuvent alors s'exprimer au moyen de la seule fonction û. Examinons-les, en effet, séparément.
1'^ La divergence est d'abord, F désignant toujours le vecteur (A, B, C),
divF=-— H-- — h — = -r~7, -h ——, -h — 2 > :>x ??/ ?z ^x- ?T/- :iz^
INTEGHALKS MULTIPLES 203
expression qui se représente par lu notalion A,
H" Dérivdc dans une direction. — Le tlux est, d'autre part,
il3) F,. = aA + riB + YC = «^' + fi^-hY7^."
Quelle que soit la direction (a, [i, y), on donne à celte expression
a^-^-h ft'-^-l- y!^^ le nom de drricre de il dans la direclion (x, [i, v).
La raison de celte dénominalion est que celte expression est la limite du rapport : .71
MM' - ' y^^'S'^
lorsque M' tend vers M en se déplaçant sur la droite, issue de M, qui a la direclion (x, [i, y). On doit supposer MM' évalué algébriquement, la direction positive étant définie, précisément, par les cosinus directeurs a, ^, y-
En effet, les coordonnées de M' sont ar'^a^H-xw, y' = î/ + [iM, :^=: : H- yi/, avec u = MM' ; et le rapport (14) est, par conséquent,
Comme x, y, :jouenl le rùle de constantes, il{x-T- au, y -h'^u, :H-y u) est une fonction de u,
(16) 'h{u)^il{x-{-0LU,y-\-^u, : + y?/) = !.>(d?',y', s')
et le rapport (16) s'écrit — ^ ', de sorte que sa limite, pour u
inlinimcnt petit, est la dérivée de la fonction (16), pour w = 0. Or celle dérivée est, d'après le théorème des fonctions composées,
ce qui se réduit bien, pour y< = 0, à l'expression :
^!. > ;> Q ? y :>x ^ oy ' o:
Remarque. — On peut arriver au même résultat de la manière suivante, qui conduit en même temps à la notation usitée pour représenter la dérivée en question. Soit n=ÎM l'abscisse de M, comptée, à partir d'une origine arbitraire 1, sur la droite considérée. Si le point
M est supposé se déplacer sur cette droite, L2(.r, y, :) est une fonction de », et la dérivée de Q dans la direction (a, p, y), limite du rapport (14)
par définition, n'est pas autre chose que la dérivée -7^, calculée pour
la valeur de » qui correspond à la position de M donnée.
Dans ce quotient -^, le numérateur s'obtient, d'après les règles du
calcul diflférenliel, par la différculialion totale de iî, et l'on a
:>iî, :>Ll, ^il, dQ^x^^~^J^^y'^JÏ^^ dx IQ dy ^ii^dz .H2 du dn dn'^x du ' ^'tj dn ^z
dx Mais on peut appliquer à la droite considérée les formules olz=-j-,
P = -T^, Y ^-7^ qui donnent les cosinus directeurs de la direction positive de la tangente à une courbe n" 261), en observant que la droite est à elle-même sa tangente, et que l'on a ici s=.n. Les formules en question deviennent donc
dx dy ^ dz
dn — ""' dn~^' dn~^'
, , , , do. ..... .
et la valeur de -7— s écrit ainsi dn
C'est la formule qu'il s'agissait d'établir.
Formule de Green. — En résumé, on a, dans le cas où F dérive du potentiel Q, div F=:AQ, F„ = -j^, et la formule de Green (11) prend la forme.
On se rappellera que -r^ est la dérivée de L2, prise dans la direction
de la normale (extérieure); c'est ce que rappelle la lettre n.
Remarque. — Les potentiels de l'attraction newtonienne et les potentiels électriques et magnétiques satisfont à Véqualion aux dérivées partielles de Laplace., AF = 0, en tout point extérieur aux masses attirantes. De là l'importance de cette transformation de la formule de Green. On donne le nom de fonctions harmoniques aux fonctions qui satisfont à cette équation AF 0.:=
INTEGRALKS MLLTII'LKS
382. Formule de Riemann. - Lu formule dite de Iticiu.inn s.déduit de l'inlégralion partielle des y
intégrales douhles, convme la forluule de (jreen se déduit de l'intégration partielle dos intégrales triples.
Soit à calculer l'intéi^rale double :
^^'^^'■'=/.//5^^'"^î/=,('^y.(.";sl^^'
où H désigne une fonction donnée B(x. y).
La première intégration à effectuer est
vB
X ^^'^^^^^^vyî) — ^^^^-^)
et il reste
D= f''B{x,,y)dy- f''^{x,.y)dy= f Bd,/- T Brf//;
.1= CBdy-h f^dy= f Bdy.
La dernière intégrale étant prise sur tout le contour (C) de l'aire (A), dans le sens direct. On a donc la formule :
fj hc'^^^y—Jc ^'^y''
où le sens dans lequel est décrit le contour correspond au sens de rotation de Ox vers Oy.
En changeant le rôle des axes, on en déduit la formule analogue
/. / — dxdy = / \dx.
ou. en renversant le sens de l'intégrale curviligne,
j Jl-^dxdy = j^ \dx
Si on ajoute enfin les deux formules (20) et (21), on obtient la formule de Riemann annoncée :
/. ^dx-^My = j\f (r^^-'A\l,dy.
Elle sert à transformer les intégrales curvilignes de contours en
INTEGRALES MULTIPLES
intégrales doubles, ou inversement, comme la formule de Green sert à transformer les intégrales de surfaces en intégrales triples, ou inversement.
383. Formule de Stokes. — Nous allons en déduire une formule analogue, pour le cas de l'espace.
Pour la démonstration, nous supposerons que le contour fermé (K), donné dans l'espace, n'a qu'un jioint sur cliaque génératrice du
cylindre vertical (parallèle à Oz) qui passe par ce contour; la courbe de base (C) de ce cylindre est alors un contour fermé sans point double, qui limite une aire (A).
Nous nous donnerons, d'autre part, une surface (S) quelconque, limitée au contour (K), mais qui ne soit percée qu'en un point par une parallèle à 0-; chacun de ses points M se projette ainsi en un point P de (A); et chaque point P de (A) est la projection d'un point M de (S). et d'un seul. Soit
f-23) . z = o(x. ty),
l'équation de cette surface (S). Nous poserons 'r| = /A ';;^ = î-
Nous nous donnons enfin un champ de vecteurs (A, B, C) quelconque, et nous nous proposons de transformer l'intégrale curviligne
(24) •^— / Arfj^-f-Brfjy-hCf/:,
prise le long du contour (K) dans le sens qui correspond, en projection sur (C), au sens de Ox vers Oj/. Par rapport à la verticale MZ
INTEGKALKS MULTIPLES 207
dirigée vers le haut, co sens sera celui des rotations positives "' (de droite à gauche); et comme l'angle 0 de MZ avec la normale MN dirigée vers le haut est aigu, ce sens est aussi celui des rotations positives par rapport à MN. Nous désignerons par (a, p, v) les cosinus directeurs do MN.
Sur le contour (K), situé sur (S), l'équation (2) est identiquement vérifiée, et en la ditlerentiant, il vient dzz=.pdx -\- qdy. L'intégrale (24) peut ainsi s'écrire
.1= 1" (A + />C)rfa7 + (B + 7C)rfy, les coefficients de dx- et dij étant, d'une manière plus précise,
^ ^' \ B,(a^, //) = B(j.-, y, :) + r/C(^, ?y,::) = B(a?, V, cp) + çC(a-, y, 9).
Comme, d'autre part, (x, y) sont aussi bien les coordonnées d'un point de (K) que de sa projection sur (C), on a, en définitive,
,1= / A.rfa? + B.c^y,
linlégrale étant, maintenant, prise le long du contour plan (C), dans le sens direct.
Appliquons lui la formule de Riemann. Il faut calculer
?A, pB ^% ?q„ l'^C .-^CM
r?X ?A Mj^ /:^C ^C\'
Si on simplifie
en remarquant que
^ :>-'j> ?^ï> :>ji
?x ^y:>x :>x:^y ."^y ' il reste seulement :
^ ^ ?x ^y \?x :>yj ^\?z ?j// ^\^x :>z )
Pour abréger l'écriture, nous poserons, pour un point (a.-, y, z) quel conque de l'espace,
(1) On sait (voir, par exemple, t. I, p. 401) que pour définir les rotations positives par rapport à un axe Or, on imagine un observateur que l'axe traverse des pieds à la tête dans le sens 0; (sens positif choisi sur Taxe), et qui est tourné du côté où le mouvement a lieu. Si cet observateur voit le mobile se déplacer de sa droite vers sa gauche, on dit que le mobile tourne, par rapport à Taxe 0;. dans le sens positif.
INTEGRALES MILTIPLES
El il viendra, d'après la formule (:22), en y remplaçant dxdy par dw, nolaliou générale pour un élomenl d'aire du plan des xi/,
.1= f f i\\-pv-<i\y
où : doit être remplacé pour la fonction ç.(./', y), dans les fonctions U, V, W de .1-, y, s.
Or, si on introduit les cosinus directeurs (a, [i, y) de MN, et rélémenl
d'aire rf?^ — de la surface (S), en tenant compte des équations
qui expriment que {p, «/, — 1) sont coefficients de direction de la normale à la surface, (n° 273), on obtient :
d co = Y dn. — p do) = - d (0 = a û?(J,
qdi'} = - (i(o =r 8 rf(T,
de sorte que l'intégrale (28) devient l'intégrale de surface (29) :• = r /' (a u -+- p V -4- Y W) f/<7,
étendue à la surface (S), limitée au contour (K). On a ainsi la formule de Stokes, annoncée,
(30) f \dx H- Bd>j ^Cdz= f /' (a U -f- p V
«/(Kl i/ «.'.S)
OÙ u, V, W sont définies par les formules (27).
Remarque. — Imaginons une surface (S), de forme quelconque, et divisons-la en deux parties (SJ et (S,) au moyen d'une ligne transversale AU..
Si on peut appliquer la formule (30) à chacune de ces parties, et si on ajoute membre à membre les résultats obtenus, on obtiendra dans le premier membre la somme des intégrales curvilignes :
Mais les deux intégrales prises suivant la ligne transversale, en sens contraire, se détruisent; et il reste seulement.
.V'i'- ^'■■''.■^ «'iKj
Dans le second membre, la somme des intégrales de surface
INTEGRALES Ml LTIPLES 209
donne l'inlégrale / / . Donc on obtient ainsi la formule de Slokes,
appliquée à la surface (S) et à son contour.
Cette remarque permet d'étendre l'application de la formule à une portion de surface de forme quelconque, en la décomposant en parties qui satisfassent, séparément, aux conditions admises pour la démonstration. >y C^'J^^T)
Il faut alors observer que le sens dans lequel est décrit le contour (K), pour le calcul de l'intégrale curviligne, se trouve lié à la direction positive (a, p, y) de la normale en un point quelconque de (S), direction qui intervient dans le calcul de l'intégrale double, par la règle suivante :
1° La direction positive de la normale MN varie d'une manière continue quand M décrit la surface (S).
i" Lorsque M est dans le voisinage du contour, le mouvement d'un mobile qui décrit le contour dans le sens voulu, et qui se déplace sur la portion du contour voisine de M, se fait dans le sens direct par rapport à MN. c'est-à-dire de la droite à la gauche d'un observateur ayant les pieds en M et la tète en N, et regardant celte portion du contour.
Celte règle se juslilie par It's remarques suivantes : — l"" Elle est d'accord avec le choix du sens de parcours de (K) et du sens positif des normales à (S) que nous avons fait dans la démonstration de la formule. — 2" Si nous avions alors changé le sens de parcours sur (K), il aurait fallu changer le sens positif des normales, conformément à la règle. Car, en opérant ainsi, on n'eût fait que changer le signe des deu.\ membres de la formule. — 3" Si la règle est vraie pour les deux surfaces (Sj) et (Sa) de la remanjue ci-dessus, elle est vraie pour la surface totale (S).
384. Interprétation de la formule de Stokes. — Les formules (27), M^\B V — — — — \v = — — —
associent, en chaque point M de l'espace, au vecteur du champ, F, de
composantes A, B, C, un vecteur T de composantes U, V, W.
On rappelle le vecteur tourbillon, parce que,
lorsquon considère F, dans l'interprétation hydrodynamique, comme la vitesse d'une particule fluide passant en M, une petite masse fluide entourant ce point M est animée, en même temps que d'une vitesse de translation représentée
par F, d'une vi'.esse de rotation représentée par le vecteur ^T; c'est cette
MATH. GÉNÉRALES. — II. l*
INTEGRALES MULTIPLES
rotation qui produit l'aspect de tourhillonuonieut que l'on constate, par exemple, dans des anneaux de funiéo.
Il résulte de celle signification du vecleur tourbillon qu'il est déterminé lorsque le vecteur F est défini en chaque point de l'espace ; et, par conséquent, qu'il ne dépend pas du système d'axes de coordonnées dans lequel on a pris les composantes du champ; ce qu'il serait facile de vérifier par un calcul de translornuitions de coordonnées.
On représente le vecleur tourbillon par l'une des notations
tourb F, rot F, curl F.
La notation rot. est un abrégé du mot rotalionncl; le mot curl est un mot anglais dont le sens initial est boucle.
On a ainsi l'énoncé : Le travail d'un vecteur le long d'un contour fermé est égal au /lux du vecteur tourbillon correspondant à travers une surface limitée à ce contour; le setis de circulation sur le contour correspondant à une rotation positive par rapport au sens dans lequel le flux est évalué. ^
Si on désigne par F^ la projection de F sur la tangente au contour
(K), menée dans le sens des arcs croissants, on a
\dx-i~Bdy-+-Cdz =
l\ds,
et on peut écrire la formule de Slokes, d'après ce que l'on sait sur le flux d'un vecleur (n° 379), sous la forine condensée :
f P,ds= r /' (tourb F)/77,
qui ne fait plus intervenir aucun système particulier d'axes de coordonnées, et a ainsi une signification purement géométrique.
.§ 4. — DIFFERE.\T1EI-LES T(iTAi-ES
385. Condition pour qu'une expression de la forme \dx-^^dy, ou A(/a:-i-Brfr/H-Crf:. soit une différentielle totale. — Dire que A{x,y)dx-hB{x,y)dy est une difléreiitielle totale, signifie qu'il existe une fonction Q(a?, y), telle que dii^= kdx ~\- Bdy; ou, ce qui revient au même, telle que l'on ait à la fois
De même, dire que A{x, y,z)dx -}- B{x,y, z)dy -i- C{x,y,z)dz est
iNTi:(;n.\LKs miltiplks
uno dilïorcnliolle lolalo, c'est dire qu'il cxislo uiu' fonction iJia',j/, :). telle (lue l'oQ ail idenliqueuieul
ou. ce qui revient aumêmt",
lidy -^-Cdz;
Nous avons vu ([ue, s'il en est ainsi, rintéf:;ralc curviligne plane fxd.v -4- lUh/, dans le premier cas, et l'intégrale curviligne de lespace
/ A(/j.--t- lif/// -+- Cdz, dans le second cas, ne dépendent que des extrémités du chemin d'intégration et non pas de la forme du chemin d'intégration tracé entre ces deux extrémités.
iXoits allons étahlir la réciproque, en raisonnant, par exemple, dans le second cas, le raisonnement étant tout pareil pour le premier cas.
Nous supposons donc que l'intégrale / kdx 4- B/y -h Crfz ne dépend que de i'oi-igine M,,, et de l'exlré-
Uy,^')
^o(-^c.Jo,^.)
mité M du chemin d'intégration (L). Si nous prenons pour M„ un point rix(> (.<■„,//„, :p), et pour M un point variable (a', j/, :;), la valeur de linlégrale sera déterminée dès (ju'on aura lixé le point M, car, en vertu de l'hypothèse, on pourra, pour la calculer, choisir ensuite arbitrai rement, sans changer le rcsullal, un chemin (L) ([uelconque allant de M^ en M.
Linlégrale, ainsi considérée, est donc une fonction Li(.i", j/, s), qu'on peut écrire, sans ambiguïté,
i>(.r, »/, :) = / kdx-^V>dv -4- Crf:.
Nous allons montrer que cette fonction L} a bien pour di irérentielle totale kdx-\- Bdi/ -h Cdz, ce qui démontrera le théorème ; nous prou-
verons pour cela, par exemple, qu'elle a une dérivée partielle ^"" qui
est précisément identique à A(x, 7, 2).
Portons, pour cela, l'extrémité du chemin d'intégration de M , {x, t/, z), en M',(.r', y, :;) ; comme le chemin d'intégration est arbitraire par hypothèse, il suftira de l'allonger du segment recliligne .M.M . parallèle à Oj-, et on aura
ALJ = il{x\ )/, :) — Lî(x, V, z)= f \dx -h Brfv -+- Cdz.
./mm ' '
INTEGRALES MILTIPLES
Mais comme y et : sont conslaïUs sur MM', celte intégrale curviligne est, simplement,
M} = Q{x' , y , z) — ilix, y , :) = / ^ A(a^',y, z)dx.
Il suffira, dès lors, de reprendre le raisonnement qui a donné la dérivée de l'intégrale définie par rapporta sa limite supérieure. 1/intégrale, dans la formule précédente, a pour valeur, d'après le théorème de la moyenne, {x' — -lO^l^) V, -)i <^i' ^ ^st compris entre x et x'.
On a donc :
lLl Ll(.v'.y,z)-L}{x,y, 3)
Aa^— x' — x ■ — -M., ?/, -j.
ce qui tend vers A (a-, y, z), lorsque .r' tend vers x. car ; tend alors aussi vers x, et on suppose, bien entendu, la continuité des fonctions A, B, C.
386. Autre forme de la condition trouvée. — Dire que l'intégrale curviligne,
(1) Ckdx-\-My-\-Cdz,
ne dépend que des extrémités du contour d'intégration (quelles que soient ces extrémités), équivaut à dire quelle est nulle, dès quon la •prend suivant un contour fermé.
1° Car l'intégrale / , suivant un contour fermé quelconque, peut s'écrire, en prenant deux points P, Q, quelconques sur ce contour,
K .'l'aO t'«,'-l' .'IVU .'Pay
Si donc l'intégrale ne dépend pas du chemin, les intégrales de /K) dernier membre / , / , sont égales, et
l'intégrale / est bien nulle.
l'iK
2° Réciproquement, si P, Q sont deux points quelconques, deux chemins PaQ, PfiQ, allant de l'un à l'autre, constituent dans leur ensemble un contour fermé (K); et l'identité (2) s'applique encore. Si donc on suppose que l'intégrale est nulle suivant tout chemin fermé, le premier membre de cette identité est nul par hypothèse, et on en conclut
=z f c'est-à-dire que l'intégrale, prise entre deux points F*, Q
quelconques, ne dépend pas du chemin d'intégration qui les joint.
INTKGRALES Ml LTIl'LES 213
