Équations de condition entre les dérivées de A, B, C

I. Considéruiis uininlemuil le cas de deux curlabies : La formule de Riemann (n° 382), nous donne

(3) lAd.+ Bdy = fJ[{%-'J^)d.

Je dis qu'il en résulte que, pour que le premier membre soit nul quel que soit le contour (K), il est nécessaire et suffisant que l'on ait identiquement

(4) 'Jf L^3=0.

La condition est évidemment suffisante, puisque le second membre de (3) est nul identiquement, si elle a lieu.

Démontrons qu'elle est nécessaire; c'est-à-dire que, si cette identité (4) n'a pas lieu, il y a des contours (K) pour lesquels le second membre de (3), et, par suite, le premier n'est pas nul.

En effet, si on suppose que y- — | a, par exemple, en un

point M, une valeur positive P, on peut (en supposant continues les dérivées partielles de A et B), entourer ce point M d'un contour (K),

assez petit pour que ('— — ''—) soit, dans toute Taire (A) limitée par

ce contour (K), supérieure à un nombre positif 11, qu'il suffira de choisir inférieur à P.

L'intégrale double / / i'- '-^jdoy représente alors le volume

d'un cylindre tronqué (n° 372), qui contient à son intérieur le cylindre

de base (A) et de hauteur H; elle ne peut donc être nulle. (C. Q. F. D).

Nous concluons donc que, pour que l'expression \{x,y)dx-\-B{x,y)dy

soit une différentielle totale, il faut et il suffit que Von ait identiquement

:>x ^y ' Dj/ ^'x'

Remarque. — Le fait que cette condition est nécessaire 7'ésulte du théorème d'après lequel on a, pour une fonction Q(x, y) quelconque,

— '^^=:- . (n° 177). Car si on a

(5) A(x. 7/) = '!^. B(ar. y)

on en conclut

^.\ ?-Li ?B i^'Q

?î/ ^"^■ï^.7 'ix ^y^-Tc

d'où

214 INTEGRALES MULTIPLES

Mais inversement, les considérations précédentes fournissent une nouvelle démonstration de ce théorème — — - = — -^, puisqu'elles montrent que (4) est une conséquence de (5); et que, si on lient compte de (4), (o) s'écrit ^^ — ^^ = 0.

II. Passons au cas de trois variables. — Il s'agit d'exprimer que Adx -^ Bdi/ -h Cdz est une différentielle totale, c'est-à-dire qu'il existe une fonction il (.r. y, z) telle que l'on ait identiquement

Comme Ion a, d'après le théorème sur l'interversion des dérivations partielles, les identités

^ ' :>y:}z c'iz^y :>z:'x c^>r?:. ?x:'y :>y:)x

on peut écrire immédiatement les conditions nécessaires :

(8) 'l-'S=o. •^-■:A=o, '-A-îB^

qui. en vertu des identités (6), se confondent avec les identités (7).

La formule de Stokes (n° 383) montre, immédiatement aussi, que ces conditions suffisent pour que Adx-\-Bdy -]-Cdz soit dilïérentielle totale exacte; car, si elles sont remplies, le second membre de la formule de Stokes [n" 383 équ. (30)] est identiquement nul, puisque les conditions (8) expriment que les trois composantes U, V, W du vecteur tourbillon de (A, B, C) sont nulles. Le premier membre de la formule de Stokes étant alors nul. par suite, quel que soit le contour (K), on a bien affaire (d'après le numéro 38G), à une différentielle totale.

Remarque. — On peut énoncer le résultat ainsi : Pour quun champ de vecteurs soit conservatif (c'est-à-dire dérive d'uti potentiel), il faut et il suffit que le tourbillon du vecteur du champ soit identiquement nul.