Intégration des différentielles totales

1. Si l'expression k{x, y)dx-h B(j,', y)dy satisfait à la condition

on peut se proposer de calculer une fonction Q{x, y) ayant cette expression pour différentielle totale, c'est-à-dire telle que l'on ait

INTEGRALES MULTIPLES

l'itlLMilile (/!.i ::= A(/x H- lit/y. D'après co qui pr<''cè(J<', il n'y a qu'à calculer, le long d'un chemin quel- ^

conque allant de Mo, {x^, iJo), à >1, (ar, j/),

l'intégrale curviligne j Xdx-hBdy.

On prend souvent, |)our cela, le chemin coudé M„M,M, formé de deux

vecteurs rectilignes, parallèles aux

axes. Cela donne la formule :

L>(j,% y)= I ^\(x, y,)dx-^ f'^ix, ij)dij.

puisque sur M^M,, la coordonnée y a la valeur constante >/„, (dy :=()), et la coordonnée x varie de vC^ à x: tandis que, sur M, M, l'abscisse x garde la valeur constante x, idx^O), et l'ordonnée y varie de y^ à y.

Remarque. — Pour avoir la fonction la plus générale satisfaisant à la question, il resterait à ajouter, à la fonction Q(ar, y) ainsi trouvée, une constante arbitraire; car, pour que deux fonctions il et 12^ aient la même di(Tér»}nlielle totale, il faut et il suffit que (i(Qj — û) soit nul, c'est-à-dire que l'on ait L2, — L2 = constante ou ^:= Q H- constante.

II. On opérera de même pour intégrer la différentielle totale

dLl=: \(x, y, z)dx-+- -+-B{x,y,z)dy-hC{x,y, z)dz, .

lorsque les conditions d'intégrabilité (8),

.vB ?C ^Sl — lA

sont remplies.

On peut, par exemple, effectuer l'intégrale curviligne de "^ Mo, {Xo, î/o, =o), à M, {x, y, 2), le long du contour, à cotés parallèles aux axes de coordonnées, MoMjMjM, ce qui donne :

(10) il{x, y, z) = f\K{x, y„ z,)dx -h f B(x, y, z,)dy ^ f''C{x,y,z)dz\

et on doit ajouter une constante arbitraire au résultat de l'intégration ".

(1) Dans les formules (9) et (10), on donne, dans chaque cas. à x^,, y,„ :,,. des valeurs numériques, que l'on choisit de manière à simplifier les calculs autant nue possible (Voir n" 390).

tire '■-l='-^=zU(x,y);

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