Facteur intégrant

I. .!^i une expression Adx-hBdy n'est pas une dif/erentielle totale, il existe une fonction U{x, y) telle que le produit M{Adx-\- l^dt/)soit une différentielle totale; c'est ce qu'on appelle un facteur intégrant.

Démonstralion. — En elTet, l'intégrale générale de l'équation dilTérentielle Adx+Brf/^=0 peut s'écrire, si on la résout par rapport à la constante d'intégration,

sous la forme F(x, y) = G, ce qui équivaut à dF ^ '— dr -f- — «/y = 0. Il y a donc équivalence entre les deux équations

Si on les considère comme des équations du premier degré en dx, dy, cette équivalence entraine la proportionnalité des coefficients des premiers membres, et, par suite, celle des premiers membres eux-mêmes. Car de

dx~ B ~ >;^''

d'où

^=MA, ^ = MB; )r^dx + =r^dy = M(\dx + Bdy).

?x ?y i'x ?y \ Ji

Le facteur M ainsi obtenu satisfait donc à l'identité [1] dF = M(Ada;-fBdy),

ce qui démontre le théorème.

Remarque. — Il y a, pour une expression Adx -{- Bdy donnée, une infinité de facteurs intégrants; car si on a, sur toute courbe intégrale, F = constante, on a aussi, quelle que soit la fonction <I>, <l> (F) = constante. On aura donc, d'après le raisonnement précédent, un facteur intégrant tel que :"

d<^ (F) = Mi(\dx + Bdy).

Cela s'écrit

«ï>'(F)dF = M,(Ad.r-|-Bdy).

On a donc, d'après [1],

<I>'(F).M.(Adx + Brfy) = Mi.(Ada; -{- Bdy), d'où enfin :

11 serait facile de conclure de là, qu'inversement, on a le facteur intégrant le plus général M, de Xdx -(- Bdy, en multipliant un facteur intégrant particulier M quelconque par une Jonction arbitraire d'une intégrale première quelconque F de Adx -{- Bdy = 0.

II. Si on connaît m/î facteur intégrant du premier membre d'une équation différentielle Adx -h Bdy = 0, l'intégration de cette équation se fait par quadratures.

Soit, en efTet, .M le facteur intégrant supposé connu, de sorte qu'il existe une identité de la forme

y\{Adx-^My)=d?.

L'équation différentielle, Ac/x -h Hrfy = 0, est donc équivalente à rfF^O, c'est-à-dire à F =: constante. En d'autres termes, l'intégrale générale de cette équation différentielle est F(x, ?/) = c; et, pour

INTi:(JllALi:.S MILTIPLES 217

robtenir, il suffit do calculer F, c'esl-à-dire d'intégrer la difTérentiello totale y\i\dx -{-hdy). Nous avons vu, au numéro précédent, que ce calcul se fait par quadratures.

III. Poii7' une expression à trois termes \dx -hBdi/ -h Cdz, il nxj a pas, en général, de facteur' intégrant M, tel que M (ArAr -h Bt/// -\-Cdz) soit une différentielle totale.

On déinontie que pour qu'un fadeur intégrant existe, il est nécessaire et suffisant que le vecteur (A, B, C) soit perpendiculaire à son tourbillon (U, V, W).

Comme on a '

Ty Tz' ?: ?.r' ':>x ?y'

la condition est donc que l'on ait, identiquement, ^ ^ \<M/ :>zj \:^z :>x J \.^a' ?y/