Exemples

Exemple I. — Trouver, pour rexpression {2x-{-y)dx — (ix — y)dy. un facteui intégrant de la forme zil^), et en déduire l'intégrale générale de l'équation différentielle {2x -Jry)dx- (ix — y)dy = 0.

1° Posons - = u. La condition que doit remplir z, est

yy [(2x + y) ? («)] = ^ [- (*^ - y) ? («)],

ou

ou. en réduisant,

5?(u)+("--3u + 2)-/(u) = 0; ce qui s'écrit encore

De là on tire pour i, (en négligeant la constante d'intégration, parce qu'on n'a besoin que d'une solution particulière),

'~\u — 2/ \y — 2x] 2" Il faut maintenant intégrer la différentielle totale :

(j^^)\('^x + y)dx-{^x-y)dy].

On abrégera le calcul en posant :

y — 2a:=:a, y — x='^, d'où x = 3 — a, >' = STi — a.

U vient

{2j -\-y)dx — (4x — v) dy = — 2fS J a + 3a d p.

Et il faut intégrer

&-5(3adri-2!îda)

qui satisfait bien a la condition d'intégrabilité (vérification),

.•^al aS J — .^^L a^ .1

On ne peut pas prendre pour point de départ du chemin d'intégration l'origine,

car a = 0 annule les dénominateurs.

Nous prenons le point (a = l, Jï = 0) par exemple: et nous aurons pour l'intégrale.

- ' 1 . 'Il ** £* . 'Il

,,3 ^1 /fi^,'-l[ (y- J)3 12 6 "al "2 'lai/ ~ 2*1 (y — 2j-)2 | '

OC

Pour avoir l'intégrale générale de l'équation dillérentielle, il faut égaler cette fonction il à une constante, ce qui équivaut à écrire

(yl'Syz = G, (j - xy - G (y - 2xf- = 0.

Exemple 2. — Vérifier que