Application à la thermodynamique

Admettons que l'état dun corps, en équilibre, puisse être défini par son volume u et sa pression p; cet état pourra être représenté par un point M, de coordonnées p, V. Toute transformation (jui amènera le corps, par une suite d'états d'équilibre, d'un état initial M, à un état final .M.i, sera représentée par un arc de courbe M,Mj décrit par le point M. Si l'état final est identique à l'état initial, la courbe sera fermée, et la transformation prendra le nom de cycle.

INTKGRALKS MlLTIl'LES

Dans uiu' telle transformation, fermée ou uon, cha(|ue état correspond à un instant 0. A la transformation qui amène le corps de létal initial M, à un élut quelt.on<|ue M, et «lui est représentée par l'arc MiM de la courije llgurative, correspondent ;

1" Un travail 6, efTeclué par les forces extérieures agissant sur le corps; 2° Une quanlilé de chaleur Q, absorbée ou cédée par le corps (positive dans le premier cas, négative dans le second). Ce travail C et celte quantité de chaleur Q sont aussi des fonctions de 0, qui ne sont déterminées (jue si l'arc de courbe Mi-M est connu, c'està-dire si on connait p et i' en fonction de 0. Mais on admet (jue leurs diirérentielles dh et dQ, prises par rapport à 0, ou par rapport à toute autre variable indépendante à laquelle on pourra rapporter l'état du I

corps, ne dépendent que de l'état actuel '^

(p, v) du corps et de la variation infiniment petite (dp. dv), de cet état; et, d'une manière plus précise, qu'elles sont de la forme

[Ij dV> = G(p,v)dp + Yiip,v)dv,

[2] d() = r,(p, v)dp 4- >.(/>, u)*/"-

Le travail total et la quantité de chaleur qui correspondent à une transformation seront mesurés par les valeurs des intégrales curvilignes

Gdp-f Kdv, U

i/ar. M,M,

r, c/p -j- '/.dv.

prises le long de l'arc M,M., qui représente cette transformation. Ces quantités dépendent donc, non seulement de létal initial et de l'état final, mais encore de toute /a suite des états intermédiaires, par lesquels le corps a passé, bn d'autres termes, les seconds membres des formules [l] et [2] ne sont pas des différentielles totales, et les notations dh, dQ ne désignent des différentielles que par rapport à la variable indépendante à laquelle on rapporte l'état du corps, dans une transformation continue déterminée.

En particulier, si les actions extérieures se réduisent à une pression uniforme agissant sur la surface du corps, le travail élémentaire est :

[3] d'b^pdv

et le travail, b = / — . pdv, correspondant à une transformation, est l'aire balayée

J an M, M: ^ ^

par l'ordonnée du point figuratif M, lorsqu'il décrit l'arc M,Mj qui représente cette transformation : au.\ déplacements de l'ordonnée effectués de gauche à droite correspondent des aires positives; et aux déplacements en sens contraire, des aires négatives. Cela résulte de l'interprétation géométrique des intégrales définies

ydx. Pour un cycle, l'intégrale, étant prise suivant un contour fermé, représente

l'aire limitée par le cycle, affectée du signe — , ou du signe -1-, suivant qu'il a été décrit dans le sens direct ou dans le sens opposé. Cela résulte de ce que nous avons vu (n° 365) pour la détermination des aires, limitées par des contours fermés, au moyen

de l'intégrale curvili^'ne / ydj:. Dans le cas de la ligure, on aurait la somme algébrique des aires ombrées, avec les signes indiqués.

220 INTEGRALES MULTIPLES

Principe de rèquivalence. — Le principe de IVviuivalence du travail et de la rlialeur consiste en ce qu'il existe une constante A, telle une l'expression d^^ — Ai/ G soit une dillérentielle totale. La fonction U dont la dilTérentielle totale est

[4] (/U = rfQ - \d C

est l'énergie interne du corps. Dans le système C. G. S, la constante A est égale à 1.

Équation caractéristique. — Pour chaque corps, il existe une relation fondamentale ou équation caractéristique, entre les variables p, v et la temp»Mature t du corps. Nous supposerons qu'on exprime les températures en températures absolues T, (T = / degrés centigrades + 273). On a alors, par exemple, pour les gaz parfaits, la formule

[5] pu = RT, (R = constante).

Pour des cas plus généraux, on a des formules telles que celle de Van der Waais (n" 161). Pour les liquides incompressibles, la relation serait de la forme V= f(ï).

Principe de Carnet. — La température absolue T étant ainsi, pour chaque corps, une fonction déterminée de p et i', le principe de Garnot consiste en ce que =; est un facteur intégrant de dQ.

En d'autres termes, -,^ est une dilTérentielle totale. La fonction 8 dont la dilTérentielle totale est

[G] db = Y

s'appelle V entropie du corps.

Application aux gaz parfaits. — En tenant compte de l'équation caractéristique, on peut prendre à volonté, comme variables indépendantes, deux quelconques des trois variables p. v, T; et transformer les formules [l] et [21 de manière qu'il n'y figure que ces deux variables et leurs dilTérentielles.

Considérons le cas des gaz parfaits, et prenons comme variables T et v. Nous aurons, pour dQ, une expression de la forme

[7] dQ = cdT + Idv,

où, si on suppose que v est le volume rapporté à l'unité de masse, c est la chaleur spécifique à volume constant.

En ayant égard à la formule ^-3], nous pourrons écrire que

dQ — dG = cdT + (/— p)du, ^ = ^,dT+,|du

RT sont des difTérentielles totales. En tenant compte de la formule ^5], ou p = — , il

vient ainsi

.V cM ?p :'l R 1 c-^c 1 ."*/

De là on tire

On en conclut, en tenant compte de [5],

?c :)l R . R R ^ et s-=^ = = 0.

Donc C est fonction de T seulement.

Ainsi Véquation thermique (7) devient [0] dQ = cdT + pdv,

ou G ne dépend que de T.

INTIXIMALKS MILTIPLES

RT

elle

Si on y inlroduil p cniniiie vniialjle, au lieu de v, uu moyen de (5), " = — > c équalion thermique devient t(J = cdT+ (pdT — T '//<), ce r|ui s'écrit, à cause de la

valeur de i',

[16] dQ = (c4- H)dT — i)(/p.

Le coefficient de UT est la chaleur spécificiue sous pression constante C cjui est donc

et qui, par suite, ne dépend aussi que de T. L'expérience a montré (Regnault) (|u'elle ne varie pas avec T. C'est donc, comme H, et par suite aussi c, une constante.

Si on pose, pour le rapport -.

et si on revient aux variables /j et i', l'équation thermique [9] prendra, en y faisant

T = ^ , dT = B (pdv + vdp), la forme : n r\

dQ = ~(pdv + vdp) + pdv = ^-^^pdv + ^vdp.

Or, on tire de ;il] et [12],

R = c(y — 1), c+R = cv;

et on a, en définitive,

dQ:

pdv +

-vdp.

On en conclut enfin, pour Vénergie interne.

d\: = dQ, — d'i^ = dQ— pdv = —^^ ipdv + vdp) ;

T = cT.

d'où, à une constante additivc prés, t»*] L-=^. pu = ..,,

Et, de même, pour Vcntropie,

d'où, à une constante additive prés, [15] S = logp''u<^

On déduit immédiatement de ce dernier résultat l'équation générale des courbes intégrales de l'équation différentielle du premier ordre dQ = 0, qui correspondent aux transformations dans lesquelles il n'y a pas d'échange de chaleur entre le corps et l'extérieur, et qu'on appelle, pour cette raison» courbes adiabatiques.

L'intégrale générale est, en effet, d'après ce que nous avons vu pour le facteur intégrant au numéro 89, S = constante, c'est-à-dire

constante.

[16] pu. = constante.

La constante v a pour valeur numérique

Les adiabatiques ont donc, comme les isothermes pu ^ constante, les axes de coordonnées pour asymptotes; mais si ou

INTEGRALES MULTIPLES

compare Tadiabatique AA' et risotlitTiiu" Il (jui sp croisent on un point M, (p, v), la pento do la première est en valeur absolue supérieure à celle de la seconde: car en prenant dans les deux équations les dérivées logarithmiques, on obtient pour ces pentes :

adiabatique :

isotherme :

et Y est supérieur à l'unité.

dv

dp„

dv

'Ip-

dv

<Lp-

dv

S? ;i. — CENTRES DE GRAVITÉ

392. Centre de gravité d'un système de points matériels. — 1" Le

centre de trravité dun système de deux points matériels M,, M^, de masses m,, m.^, est le point G de la droite M,M^ qui est défini par la condition :