GM
(1) m^GMi
Les vecteurs GMp GM., étant proportionnels à leurs projections sur Ox, par exemple, on déduit de cette égalité, en désignant par {x^, ?/,, ^j), (j.,, j/.^, z.,), {x, y, z) les coordonnées de M^, M^, G.
?7i,(a', — x) -h m.2{x^ — x)=^0, d'où
(2) et. de même
in.yX,
"'iVi + WgVa
Wo2.,
2° Le centre de gravité d'un système de plusieurs points matériels M,, M,, ..., M„, de masses m,, w,, ..., m„ se définit de proche en proche : on prendra le centre de gravité G, de M, et M./, et on lui attribuera la masse (Wj-i-m,); puis le centre de gravité G^ de G, et de Mji et on lui attribuera la masse (m, -h //j^ -i- mj ; et ainsi de suite; le point final G„ |. ou G, ainsi obtenu, ne dépend pas de l'ordre dans lequel on a rangé les points donnés, pour ces opérations successives, comme le montrent les formules que nous allons obtenir. On est ainsi en droit de l'appeler le centre de gravité des ?» points.
INTEGRALES MULTIPLES 223
Calculons, en efl'et, par exemple, son abscisse, en désignant par ;, celle de G,, par l^ celle de G,, etc.... D'après la formule (2), nous aurons successivement,
m^x^ -+- rUj.r, = (m, -f- m^■^, {Tn^-i-m.^)^^-i-m.^x^=.(m^-■'-m.,-hm^)l,, ... ; et enfin
(w, H- 7/1.^ 4- ... 4- 7n„.,);„î -h >/?„x„ = (//Il -f- 7/1, -h ... -h 7n„);„,.
En ajoutant membre à membre, on en déduit, en tenant compte de ce que les termes en l^, ;„ . . ., ;„» se détruisent de part et daulre,
On a donc, pour les coordonnées cherchées, les formules
r ■^n^x^ H- m.,x., -h ■ . . -}- m„x„ m^y^ -+- m.^y.. H- ... 4- mny„
/ ^v r Tn.s, -h m.^;, -+-...+ 7n„s„
" 1lt^-\-m.,-T- . . . -\-m„
On les écrit aussi sous forme abrégée
^ ^7nx -'"?/ ,- ï!?//-
' i; //i ' ' il /n ' " ^ X 7/1
393. Centre de gravité d un corps continu. — Pour définir le centre de gravilé d'un corps continu, occupant un volame (V). on décompose ce volume en volumes partiels; soient ///,. ?/(.„ ..., ?/i„ leurs masses. Dans chacun d'eux on choisit arbitrairement un point : soient M,, M.,, ..., M„ les points choisis. On attribue à ces points les masses des volumes correspondants; ou, comme l'on dit, on considère les masses des volumes partiels comme condensées en ces points. Soit C le centre de gravité des points matériels ainsi obtenus. Les coordonnées en sont données par les formules (5). Il en résulte que ce point tend vers une position limite G, quand on augmente indéfiniment le nombre des volumes partiels de manière qu'ils tendent vers zéro dans toutes leurs dimensions. Car numérateurs et dénominateurs des formules (5) tendent vers des intégrales triples.
On le voit en raisonnant comme au numéro 376 : aux masses m^, m... .. ., 7/i„. on peut '', pour le passage à la limite, substituer les
produits des volumes correspondants i\, u^, ..., v„, par les masses spécifiques 'j-{x^, y^, z^), u.{x.^, y.,, ;,), ..., ij.{x„^ y„. :„), prises aux points .M,, M.,, .... .M„ déjà introduits. On obtient donc, à la limite, par
(1) C'est un point que nous admettons; car nous ne faisons ici qu'esquisser le raisonnement. Une démonstration rigoureuse nécessiterait des développements qui ne i)euvcnt trouver place dans ce cours.
exemple, pour l'abscisse du centre de gravité.
D'une manière plus abrégée, on écrira les trois coordonnées (6) .M; = /' f f^ aarfy, Mr. = /' f /[ ay (/c, y\: = f f C azdv,
M désignant la masse du corps. M =: / / / klcIv.
Remarque 1 . — Pour le centre de gravité d'une plaque plane <" d'épaisseur négligeable, on peut assimiler celte plaque à une aire plane (A), pour laquelle on délinira une densité superficielle^ limite du rapportde la masse d'un élément de la plaque à l'aire de cet élément. Si on désigne par p cette densité superticielle, on obtiendra, au lieu des formules (6), les formules analogues contenant des intégrales doubles :
(7) ^U = j* f çxdoi, Mr,= C f çydio, M= f f pt/to.
Remarque 2. — De même, pour le centre de gravité d'un corps filiforme, dont on considère comme négligeables les dimensions autres que la longueur, c'est-à-dire qu'on assimile à un arc de courbe (C), on introduira la densité linéaire a, limite du rapport de la masse d'un élément linéaire du corps à la longueur de cet élément; et le centre de gravité sera d(''fini par les formules, analogues aux précédentes, mais où ne figurent plus que des intégrales simples, curvilignes,
(8) M ; = r ■/, .r ds, M y, = f lyds, Mi= Çlzds, M = T X ds.
Exemple. — Centre de gravité d'wne demi-sphère homogène de rayon R, et de densité p..
La sphère ayant son centre en 0, et l'hémisphère donnée étant bornée par le plan des xy, le centre de gravité est sur Oc, par raison de
symétrie, et il suffira de calculer sa cote.
Soit M la masse totale, M^tinîtR', puisque
la sphère est homogène. On a à calculer :
= / / / \>-zdxdydz= Il f j f :dxdyd:.
Nous intégrons d'abord suivant un parallèle, de cote z; <■<■ i|ui donne, z étant constant,
(l)^Four une pl.Kiui' courbe, on opérerait de même, et on arriverait a il» grales de surface (n 379) :
in lé-
ME
■tXdr.
J'I^"- »'==/./>--^'- ""fl;"-
I.NTKrWlALKS Ml LTII'LES ,- / / dxdy = • X aire du parnlli-le = .- x -(II- — z-}: cl il reste a calculer
Donc
