fsin'xdx = f- ^^^^dx = J fdx — ^ /'cos2x . dCix
X sin2.r x — sinxcosr
IV. — La formule d {uv) = udv -\- vdu donne, en intégrant les deux membres,
Ml' = / udv 4- / vdu d'où
(11) udv=zuv — vdu.
Cette formule constitue le principe de ï intégration par parties; elle ramène l'intégration de / udv à celle de / vdu.
Dans chaque cas particulier, il faudra choisir u et dv de manière que udv soit la différentielle donnée, et que v d'abord, puis / vdu puissent se calculer.
Exemple. — Soit à calculer ilogxdx. Posons :
i< = logx, dv=dx; donc v=^x;
el il vient, d'après (1 1 :
/ [o^xdx =^ a- log J- — / ./■ . (/ log.r = J? log.r — f x . — = x \ogx — / dx .
Donc
(12) j ]o^x dx = x\ogx — x-{-c.
V. — Dans certains cas. la formule (11) de Vintégraiion jiar ))(trlies, sans conduire à une intégrale / vdu déjà connue, fournil une relation d'iiù on peut tirer lintégrale à calculer.
Exemple. — Soit à calculer J := f \^i — x^rfa?. Posons u = \^ 1 — X-, dv=z dx, V = X.
Il vient, d'après (11) :
/— ^ oodjc /* oc dx X . =XyJl — X--\- / :.
\l—x- J \Jl—X^
Mais, on peut écrire
x^dx (a?^ — 1) -f- 1 , dx I- r, j
, = ^ — ' — dx = —=== — vl — x^ dx.
En portant cette valeur dans (13), on obtient
J" dv r "- — — / v'I — x^dx=x\li — jj-H-Arcsinx-J-hc. Vl— 0^2 J ^
D'où
2J = X V 1 — X- -h Arc sin a? -h c,
ou enfin
/ \ 1 — x'-dx :=-^{x \Ji — x^ -\- Arc sinx) -+-c ,
étant, du reste, une constante arbitiaire, aussi bien que c.
VI, — Dans d'autres cas encore, l'intégration par parties fournil seulement une formule de récurrence, qui ramène V intégrale cherchée, de proche en proche; jtar une suite d'intégrales intermédiaires, à une intégrale connue.
Exemple. — Soit à calculer, n étant un entier positif,
INTEGRALES INDEFINIES
Appliquons la formule (11) de riatégralion par parties à : en posant On a :
" = (P^Âr^.. dx = do, x = c.
, , . %xdx , ,„ ^ x^dx
du ■=. — (n — 1) , ,-7-rT^ , vdu = — \%n — 2). . ' . ^„
ou encore
l'rf» =— (2« -2) (^^.-^ rf^=(9„2) . , ^^,„ ■ 4-(2n— 2)/i , ./"'.,„
Donc
J»-. = (^Z~jyr^ ^ (2« - 2)Jn-. - (2n - 2)W„,
(J"0ll
Celle formule de récurrence ramène le calcul de J„ à celui de J,i-i ; en y remplaçant n par n — 1, elle ramène de même le calcul de J„j au calcul de J„i, et ainsi de suite. En définitive il restera à calculer seulement Tintégrale
qui, d'après ce qu'on a vu plus haut (H. Ex. 2 et 3) est :
- Arctg — hc, pour h=:a-\ et s- loR '~c pour //^ — à-.
/dx , , I — -r^^. On aura successivement :
j — r__L A — < r 1 -r , r hxux
- d'où :
el, par suite, On a, de même,
J I = / -n— ; -. dx = — T— 1 -, .X I X.d — ;-- 7 ^ — r— -;- / ; r— . 'l
d'où :
Ji = ^4-î+2 r^''^ t /'.;: * rf-r = -T^ + 2J, - 2J.,:
dO INTEGRALES INDÉFINIES
et, par suilo, [2] 2J, = -^ + J,=-^ + Arctgx + c.
En porlant dans 1] la valeur de J^ ainsi obtenue, on oMient enfin
Ja = l^FJ^, + g;^:^ + g Arc tFM- + C ;
formule où l'on a désigné par c' la constante arbitraire ^rc.
i; -2. — INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES
306. Décomposition des polynômes en facteurs premiers. — On a vu au n" 292 que les binômes de la forme x — a, et les trinômes de la forme x--\-px-]-q, pour lesquels p- — Aq est négalif, jouent, dans la Ihéorie de la divisibilité des polynômes, le même rôle que les nombres premiers dans la divisibilité des nombres entiers; on peut les appeler des polynômes premiers.
En opérant comme en arithmétique, on a pu démontrer, de proche en proche, que tout polynôme f{x) est un produit de polynômes premiers (binômes x — a, et trinômes a?- + ;;a? + ç sans racines). Certains de ces facteurs premiers pouvant se présenter plusieurs fois, on a, pour tout polynôme
une identité de la forme
(2) fix) = A, . Il (a- — ay . II {x'- -4- px + q]\
où la lettre II indique un produit de facteurs du même type que celui qui est écrit à sa droite. Le degré n sera égal à ?î = i:x + 2ï;X, le signe i: indiquant, de même, une somme de termes analogues à celui qui est écrit à sa droite : il s'applique ici aux exposants des facteurs du premier et du second degré, respectivement. (Comparez n° 190). On peut démontrer, de pliis, que celte décomposition (2), d'un polynôme donné en facteurs algébriques premiers, n'est possible que d'une seule manière.
Exemples 1. x'^ — l ={x — \) [x^ -\- x + l);
3. xi-i=(x'-- l)(xi + l} = (x-l)(x+1)(x2 + l); 4r. x^+px^ + q, en supposant p- — 4'/ < 0,
et par suite, aussi, g > 0.
INTÉGRALES INDKFINIHS H
On écrit, en complélanl lo carré du binôme x- + \(/,
xi + px^ + q = ix'- + N «/)^ — (2 \ g — p)-r-- Or, 2\'/ — p est positif en vertu de l'hypollièse 4</>/j- qui entraîne 2^f/>|p;^- p.
Donc
x^ -{-px- -\-q = ixi -\- \J2\q—p.x-{-\q) ix- — V'2 \ ^ — p .x + s J/)-
Comme le premier membre n'a pas de racines, il en est de m(>me des trinôiriea du second membre; la décomposition est donc achevée.
Exemple. — 5. x^ — 1 .
On a d'abord x'^ — l = (x — \) {x^ -{- x-^ + x- 4-^ + 1)-
Pour décomposer q;(x) = j-^ + -ï'' + ^" + ^ + 1> nous employons le procédé connu pour l'élude des étiuations réciproques. Posons
x-\-~=y, d'où x--\ — 5 = j'2 2,
et
En remettant à la place de y sa valeur /x + -j, il vient
et enfin :
307. Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. — L"inlégralion des fractions rationnelles est fondée sur la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, à laquelle on arrive par les opérations suivantes :
Soit R{x) = ^rj-^ une telle fraction. On pourra supposer que le
premier coefticient de /"(.z) est 1, Dans le cas contraire, on commencerait par diviser numérateur et dénominateur par ce premier coefficient :
A) Si g{x) n'est pas de degré inférieur à f{x), on divisera g{x) par f{x), {n° 23). On obtiendra g{x)=f{x)E{x)-h<jo{x), (degré de g^{x) < degré de f[x)); d'où :
on Ro(, rateur est de degré inférieur au dénominateur.
et on sera ramené à l'élude de la fraction Rn(a;) = %^ dont le numé-
12 I.NTHGRALES INDKI-lNlES
B) Pour siniplilier les notations, nous supposerons avoir affaire
désormais à R(x) = yy^, où g{x) est de degré inférieur à celui de /"(x).
,\oiis admettons i^ue l'on ait effectué la décomposition du dénominateur en facteurs premiers: et nous supposons d'abord qu'elle contienne des binc'kmes. Donc
f{x) = {x-ayf,ix).
en mettant à part Fun d'eux : f^{x) n'est donc plus divisible par (a? — a), de sorte que f{a)z3^0.
Considérons alors la différence
A gix) k g jx) — A/; (x) .
{x—ay {x — aYf^{x) .{x — a)" {x — aYf^{x)
Nous pouvons faire en sorte que les deux termes de la dernière fraction soient divisibles par (x — a), de manière qu'elle puisse se simplifier. Il suffit pour cela de déterminer A par la condition
(3) .9(a)-AA(a) = 0, ou A = ^,
ce qui est possible, puisque f^{a) n'est pas nul.
En supprimant alors le facteur commun x — a, aux deux termes, autant de fois quil sera possible, on obtiendra une fraction rationnelle R,(x) dont le dénominateur sera {x — a)"/, (x), avec a' < a; et dont le numérateur sera encore de degré inférieur au dénominateur; et on aura l'identité
On a ainsi séparé de R(x) une première fraction simple; et il n'y a
qu'à opérer sur Ri(a?) de la même manière, et ainsi de suite.
A' On obtiendra d'abord, si a' n'est pas nul, une autre fraction -, r-, ;
'■ [X — fl)'
et ainsi de suite, jusqu'à ce que le facteur x — a ait disparu du dénominateur.
En général, le fadeur (x — a)" fournit donc un groupe de fractions simples, de la forme :
{x — a^ {x — fl)'-' {x — a)«-^ ^ '•■ ^x — a'
où le premier coefficient A n'est pas nul, car dans la formule (2), g{a) n'est pas nul si on suppose que la fraction R{x) ne peut pas être simplifiée. En effet, l'hypothèse ^(a) = 0 signifierait que g{x) est, comme f{x), divisible par x — a.
INTKGHALKS INDKFLN'IES 13
Au conlriaire. les coefficients A,, A„ . . ., Aa i ne sont pas nécessairement didérents de /.éro, de sorte que certaines fractions simples peuvent manquer dans le groupe, comme il résulte de ce qui a été dit sur la manière de l'obtenir.
C) Par la méthode précédente, on fera disparaître du dénominateur de la fraction rationnelle tous les facteurs binômes; et il reste à examiner le cas d'une fraction K{x)=z —^ dont le numérateur est de
fix)
degré inférieur au dénominateur, et où le dénominateur f{x) ne contient que des facteurs premiers trinômes. Soit donc maintenant
(5) ' f{x) = {x'-^-jjx^g)'fJx).
Pour plus de netteté nous commencerons par décomposer le Irinôme x'^ -\- px ~\- q, en carrés, par le calcul bien connu :
x'--hpx-h<i=(x-i-^ -^[q — E.y Et nous ferons ensuite le changement de variable
(G) ar + l^uy/v-Ç
(se rappeler que 47 — p- > 0). qui ramène le Irinôme à la forme canonique
Ce changement de variable donnera une fraction rationnelle en m.
et ni F,{u), ni G(i/) ne sera divisible par ?<--+- 1. Considérons alors la dillerence
(«/ R( Amh-B G(u) AM-hB G(u)— (Au+B)F,(u)
l») «(^) ^u''^i)' — [u'-{-iyV\(u) (u^-M)'— (u' -^ ij'V.iu)
et cherchons à la simplifier, en rendant le numérateur divisible par
Nous séparons, pour cela, dans G et F, les termes de degrés pairs et les termes de degrés impairs, et nous mettons u en facteur commun dans les termes de degré impair : G et Fj prennent ainsi la forme
(9) G(u) = ï>Ju2) + M^(u2), Fj(u) = -i„(u2)-i-u-J/(u^), ce qui permet d'écrire, [3.^, o, 'h^, i étant des polynômes par rapport à la seule variable w-= v.
G(u)-(A«4-B)F,(u)=[9,(i;)-AyHy)-B'io(u)]+u[9(y)-A.J.o(u)-B.Hy)].
14 INTKGHALES INDEFINIES
Ce polynôme sera donc divisible par u--hi = v-^i si chacun des crochels est divisible par y -4- 1, c'est-à-dire s'annule pour v = — 1; ce qui donne, pour calculer A et B, les équations
(UV, A.H-l)-B|o(-I)-+-?o(-l)=0, A.].,(-l)+BK-l)-'f(-l)=0. Elles ont une solution et une seule, car le déterminant de A et B est
•i[-i)-h{-i)-[-'i,(-i)]'hi-^) = ['H-^)f-^[U-^)f-
Il ne serait nul que si on avait à la fois ■]/( — l) = 0, ■}(,( — 1)=0; mais, dans ce cas, .[/^(r) -f-ti •]/(«) serait divisible par uH-1, et F^{u), d'après les formules (9), serait divisible par r -+- 1 = u--4- 1, ce qui est contraire aux hypothèses.
On voit, (h' mt'me, que A et h ne sont pas nuls tous deux, car le contraire entraînerait, d'après (10). o,^{ — 1) = 0, c&( — 1) = 0, c'est-i\dire, d'après (9), la divisibilité de G(m) par (i<'--f- 1).
Ayant ainsi calculé A et B, on supprimera, dans le dernier membre des identités (8), en numérateur et dénominateur, le facteur commun U--T- 1 autant de fois que possible; el il restera une identité
OÙ le numérateur de Rj est encore de degré inférieur au dénominateur, el où ce dénominateur est de la forme (u'--h l)''F,(i/), avec a' < X.
On a donc séparé de H(a) une fraction simple nouvelle; et, si l' = 0, le facteur tt-+ 1 a disparu du dénominateur de la fraction restante.
Si À' n'est pas nul, on opérera de même sur R/, et ainsi de suite. Comme l'exposant de u^-\~l diminue à chaque opération, il disparaîtra au bout de X opérations au plus.
Ainsi, le fadeur (u'^-H 1)"^ aura fourni un groupe de fractions simples, de la forme
Am -I- B A,M + B, Ax iM + B,.i
où la première ne manquera pas.
Si on revient à la variable x, par la formule (G), les numérateurs de ces fractions deviennent des binômes en x, et on conclut que le facteur {x- -]- px -ir q)'- fournit un groupe de fractions simples de la forme
^ ' {x- -^- px -h q)' [x- -h px -h q)'-^ x^ -\- px -h q ''
où la première ne manque pas.
Par la méthode précédente, on fera disparaître du dônominaleur de la fraction tous les facteurs trinômes; quand on s'occupera du dernier,
INTKGHALES INDEFINIES 15
le facteur f^ix) de l'idonlité (5) sera la constante 1; et tout sera terminé quand on arrivera, dans la suite des fractions H,, . . ., à une fraction dont le numérateur sera du premier degré; cela se produira nécessairement pour celle dont le numérateur sera u^-t-1, si les opérations ne s'arrêtent pas avant. Celte fraction sera la dernière des fractions simples.
En résumé, R(.r) sera réduit, dans tous les cas, à la forme
^. j Pa?-4-Q Pi^' + Q. P>..a?-hQ>., ^
'^ ( {x^ -h px -{- q)''^ {x'^-^px-hq}'—^ '" x'^ -h px -h q )'
C/esl la formule de décomposition annoncée, où chaque groupe de fractions simples correspond à un facteur {x — a)", ou (x^ -\- px -\- q)', de la décomposition du dénominateur de R(ar) en facteurs premiers.
Méthode de calcul. — On démontre que cette décomposition nest possible que d'uite seule manière; on pourra, par suite, poiu" l'obtenir, au lieu d'opérer de proche en proche comme dans l'analyse générale précédente, calculer d'un seul coup tous les termes de la formule en employant la méthode des coefficients indéterminés.
Pour cela, on écrit la formule (12), on chasse les dénominateurs, et on identifie les deux membres; on a ainsi des équations du premier degré pour déterminer tous les coefficients inconnus.
Nous donnerons des exemples, dans l'application de la décomposition à l'intégration des fractions rationnelles.
308. Intégration des fractions rationnelles. — La fraction rationniUIe étant décomposée en éléments simples, tout reviendra à intégrer chacun d'eux. En dehors de la partie entière E(.r), que nous savons intégrer (n° 3Uo), nous serons donc en présence d'intégrales de l'une des deux formes
kdx r Px -h Q
J (nn- -i- m- -U r/l"
{x — aj" . ' {x- -h jjx H- q)"
i° Lintégration de la première est immédiate. — Laissant de côté la constante d'intégration, il vient :
r kdx . ndix — a) Al ,
j(^^r^-AJ^A___^____.^^^^^^^^, pour n=.l;
/' \dx . fa(x -^ a) , . ,
/ =A / — ^ ^ = .\log!x — a, pour n=i.
16 INTEGRALES INDEFINIES
2" Pour la seconde, on fera le changenienl de variable qui consiste à prendre comme variable wnivelle la demi-dérivée du Iritiôme^^^ figurant au dénominateur,
(13) /=.r-t-§, donc dl = dx.
Le trinôme devient :
.r"--h/M'H-7 = /--hf 7 — ^ j = /--f-«-, avec («- = 7—4); car q — ^ est positif. Le numérateur s'écrit :
p(f-ÎT) + Q = P' + Oo' avec 0„ = Q-Pg.
L'intégrale à calculer se décompose, par suite, en deux r tdt „ Ç dt
Nous avons appris à calculer la seconde par intégration par parties (n° 305). Elle s'exprime au moyen d'une fraction rationnelle, et de
Arc tg- = Arc tg = Arc tg ^ •
"^ ^Jq^Pl \^ — p'
Lmlégration 'de la première est immédiate, car elle s'écrit
P rd{t'--ha-)P rd{x^-hpx-^q) 2J {l-^a~}"~ ij {x--hpx-i-q)"'
Au facteur ^ près, c'est donc
pour "^1,
» — 1 (a-'--h/Jx'-|-y)"-" et \og[x'--i' px-]- q)^ ' pour n = i.
En résumé. — L'intégrale de toute fraction rationnelle peut se composeï' de trois parties : une partie rationnelle, une partie logarithmique, et une somme d'arc-tangentes. Le calcul peut s'effectuer dès qu'on a décomposé le dénominateur en fadeurs premiers : il résulte de la décomposition de la fraction rationnelle en éléments simples.
Exemple i. — On peul ainsi retrouver la funnulc nui donne / — ; — — r- On a
(I) C'est, avec une léfrére modification, le cliangement de varinhie opéré plus haut pour réduire un tel trinôme à sa forme canoniijuc, par la méthode de la dccomposition en cariés.
INTEGRALES INDEFINIES 17
Donc
rx^dx ^1 ■-
On a
a;*+! (x2+l)2 — 2x2 (xî — xV2+l)(a;2 + a;s2 + l)
La décomposilion en éléments simples sera donc de la forme
xi Ax+B , A'x+B'
(x2 — x^2+ l)(x2 + xV2 + 4) x2 — xv2+l x2 + xv2 + l
Identiflons :
x2 = (Ax + B) (x2 + X X 2 + 1) 4- (A'x + B") (x^ — x v 2 + 1).
Donc, en égalant les coefficients des diverses puissances de x, de part et d'autre : 0 = A4-A'. l =B + As2 + B' — A's2, 0 = A + B s 2 + A — B' s 2, 0 = B + B'.
D'où
A= — A, B' = — B, 2Av2=l, 2Bs2 = 0,
c'est-à-dire
Ainsi, on a la décomposition en éléments simples
xi \2
jv + 1 4 ^ x2 — X s 2 + 1 xi -f X s 2 + 1 <)
Pour éviter des complications de notations, nous mettrons seulement en évidence, aux numérateurs, les demi-dérivées des dénominateurs :
Kn intégrant terme à terme, il vient alors (') : ^jlog(x2-xs2+l)-log(x2 + x\2-|-I)j + ^|Arctg(xv2— i;i + Arctg:x\2-f 1)|- On peut réunir les arc-tangentes en un seul. Car (n" 104)
Arc tga + Arc tgp = Arc tg .'^ "*" ^- -f- kn.
1 — SCp
Donc, à une constante additive près.
Arc tg (x V 2 - 1 ) -I- Arc tg i x v2 + 1 J = Arc tg ^—^^^^ = Arc tg j^, ■ Kt on a, enfin,
V'2. „xî — X s2 + 1 , v2 . . xv2 ,
x'>-fl 8 x2-fxs2-fi 4 1
(1) Le résultat est immédiat pour les logarithmes; pour les arc-tangentes, on opère comme au numéro 305, II, exemple 2.
MATH. nÉSÉRALES. — U. 2
18 INTEGRALES INDEFINIES
Exemple 3. — Soil à calculer / ^ "Y ■ .., •
La décomposition de la fraction rationnelle est de la forme
x + \ A 4. •:^ u A! 4. Bt + c , Wx + c
X3(X*+ lji~j'"^Xi"'" X "^(xi + l)*"^ xi + l ' Chassant les dénominateurs, on a à identifier
.r + 1 = (j-i + l)^(A + \'x + A"xî) + X'' (Bx + C),+ x-' (x^ + 1) (B'x + CM.
ou
X + 1 = (xi + 2x2 + 1 ) ( A"xi + A'x + A) -f x' (Bx + C) + (x^^ + x-') (B'x + C),
ce qui donne
D'où on tire aussitôt
Donc
et
(x -|- i )(ix dx .dx 9^1 1 d(x- -}- <)
rï(x2 + i)2"~x5 + ^'~""^ + 2 (xi+ l)i
dx d(x^ + 1 ) dx
x»(x2 + i)2 x3^x2 "x^2(xi + lj^ (Xi + l)^'^ x^ + 1 x^ + 1
Toutes les intégrations sont alors immédiates, sauf le calcul de
dx
Appliquant la méthode du numéro .ï, nous partons de
dx /• I
rdX
Arctgx= / ^ f ■ = / ., I et intégrons le second membre par parties Arctgx= .. , 1 + / ., , .w=-?-rT + 2 / -,—^',-,^.i-dx= , . . +2Arctgx — 2J.
D'où
J = 2(x^%l) + ^Arctgx.
L'intégration terme à terme donne, dès lors.
j^^Mïr+Tp = -Eni-x- 2 'of^^l-^^^TT+T)- (21^+^7 + 2 '^'•'^ 'H + + log(x-+ I) — Arc tgx + c
ou, en groupant ensemble les termes de même nature,
(x -t- 1 Wj 3x3 4- 2xi + 2x + 1 , , ^x2 + 1 3 , ,
x-'(-c- + l)-~ 2xi(xi + l) "'"'°" xi 2'^'"'^'o'i' + c.
Remarque. — iXous allons maintenant passer en revue un certain nombre de types rjénéraux d'intégrales^ quon calcule en les ramenant, par des changements de variables, à des intégrales de différentielles rationnelles, auxquelles on applique la méthode précédente.
INTEGRALES INDEFINIES
§ 3. — INTÉGRALES TRIGONOMÉTRlgUES
309. Intégrales de la forme, j \\{cosx, s\nx)dx. On suppose que R est une fonction rationnelle des deux variables intermédiaires cosic et sinx-.
On pose,
tg^=/, c'est-à-dire
On en conclut
1 — tcosj^ = -i — : — -,, sina?:
.\rctg/, a?=:2Arclg/.
dx
YTT-'
Au moyen de ces formules, on obtient une intégrale de différentielle
rationnelle en /.
±dt
Exemple l.
Donc
C dx / i-i-<- rdt , ,,, , ,1,
r dx , 1 , a? I ,
jsiïï^=^°^r^2r'"-
^-".'^-'- I^-I'^-^-Ié^^^"^
= log
-+- '• = log
^ë^^^ëi
' - '85 'Kï
Donc
/^=^«ghs(i+i)
Remarque. — On obtient plus rapidement celte intégrale en la déduisant de la précédente. Car
cosx
^ dix
SI
= log
tg
-i- '-• = log
tgU + 4
Exemple 3. / ^r-^
•^ .'2 sina? — (
0SX + 3'.
^dt
11 vient ici, pour / = tg,^ , 2rf/
2sina' — cosxH-3 4< — (1 — r-)-h 3(1 + /-) 4/--^i/ + 2
2rf< dr2t — i)
20 INTEGHALKS INDEFINIES
Donc
l\r- — -^, = Arctg(2lg|-hlWc.
t' 2 sm X — cos X -h 3 o \ o 2 j
