EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

404. Équations aux dérivées partielles. — Généralités. — .""up; osons qu'une foi^-clioii inconnue : des deux variables indépendant! s

"250 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

X et y soil assujettie à satisfaire identiquement, c'est-à-dire pour tout système de valeurs de ces variables, à une équation

où figurent, en même temps que j-, y, :, les dérivées partielles du premier ordre, /j = — , 9 = ^, de la fonction :. Celte équation s ap-

pellera une équation aux dérivêrs partielles du premier ordre.

Toute fonction qui satisfait à une telle équation est dite une solution ou une intégrale; la surface z^ f{x, y) qui représente une solution s'appelle une surface intégrale. Trouver toutes les solutions d'une équation aux dérivées partielles donnée, ou, ce qui revient au même, toutes les surfaces intégrales, s'appelle intégrer cette équation.

Les mêmes dénominations s'étendent aux cas d'une équation

OÙ figurent en outre les dérivées partielles du second ordre, /•=: ' -i-

5 = , t = ^—^ de la fonction inconnue z : on l'appelle une équation

aux dérivées partielles du second ordre '*.

On appellerait, de même, équation aux dérivées partielles d'ordre n. une équation où figureraient x, y, z et les dérivées partielles de :, jusqu'à l'ordre n.

On peut aussi avoir affaire à des équations aux dérivées partielles où la fonction inconnue dépend de plus de deux variables. Telle est Téqua-

tion de Laplace AF = 0, ou — sH 5-1-!— ^^0, à laquelle satisfont

les potentiels de l'attraction newtonienne (n° 401).

Intégrale générale. — L'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles est, comme l'intégrale générale d'une équation différentielle ordinaire (ù une seule variable indépendante), une formule propre à représenter toutes les solutions de cette équation. Mais tandis que l'intégrale générale d'une équation différentielle ordinaire dépend de constantes arbitraires, l'intégrale générale d'une équation aur dérivées partielles dépend de fonctions arbitraires.

Intégration de Véquation *^0. — Nous allons constater ce fait, en intégrant 1 équation 5 = 0, c est-à-dire = 0. On peut l'écrire

(1) Ce 3ont des équations aux dérivées partielles du second ordre, linéaires par rapport aux dérivées du second ordre, qui interviennent en physique, dans les théories les plus importantes.

EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 251

i^ = 0, q désignant la dérivée ' "; et, sous cette forme, elle exprime

que q est une constante par rapport à x, c'est-à-dire, puisqu'il y a deux variables indépendantes x et //, que q ne dépend ([ue de y. Donc pour toute solution de lÏMjuation, on a

q = G{y), ou |^ = G(y),

G(t/) étant une certaine fonction de la seule variable y. En désignant par M?y) une fonction primitive de <j(?;), ceci peut s'écrire

^^=f(y), ou ^y,z-'Hu}] = 0.

Cette équation exprime que z — '|(j/) est une constante par rapport à y, c'est-à-dire une fonction cp(cr) de la seule variable x. Donc on a, pour la solution z considérée, une identité de la forme 3 — ■|/(j/) = cp(x), ou

(3) z = ^,{x) + 'Hy)-

Réciproquement, si on prend les dérivées d'une fonction : de cette

forme, il vient p = '~' {x), 5 = — :=0; de sorte que cette fonction (3)

est une solution de l'équation .9=:0, quelles que soient les fonctions cp(a;) el'hiy).

Nous concluons donc que la formule (3), où figurent deux fonctions arbitraires d'une seule variable y cf,(a") et '■['(y), est Vintêgrale générale de

réquafion s = 0, i on — — :^0|-

Conditions iiutialrs. — Comme dans le cas des équations différentielles ordinaires, pour dé/inir une solution déterminée d'une équation aux dérivées partielles, (parmi toutes celles qui sont comprises dans l'intégrale générale), il faut se donner certaines conditions initiales ^^K

La nature de ces conditions initiales varie avec Tordre deléquation; et, pour les équations d'un même ordre, elle peut varier avec le type de l'équation considérée. En ce qui concerne les équations aux dérivées partielles qui interviennent en physique, la nature de ces conditions initiales est indiquée, dans chaque cas, par les données physiques du problème. Nous en verrons plus loin des exemples précis.

Pour une équationaux dérivées partielles du premier ordre (1), la condition initiale qui définit une solution particulière peut s'énoncer

(1) Nou3 employons le mot initiales, par analogie avec le cas des étiualions différentielles ordinaires; il \audrait mieux employer le terme plus général, de conditions complémentaires (voir n" 406).

KQLATIONS AUX 1)I:1UVI:ES PAKïlKLLES

SOUS forme géométrique de la manier.^ suivante : il existe une surface intégrale et une seule passant par une courbe donnée, que l'on peut choisir arbitrairement <".

C'est ce (jue nous allons constater dans un cas simple.

405. Équations aux dérivées partielles du premier ordre linéaires.

Il s'agit des équations (1), du premier degré en p et (/, c'est-à-dire de la forme

Pour arriver à la méthode d'intégration de cette équation, nous l'interpréteronsgéométriquement, en introduisant le champ de vecteurs, ou champ de forces, (A, B, C).

En chaque point M, (x. y, :), de l'espace, nous avons donc un vecteur V, de composantes X(.r, V, :), B(a-, y, :), C(x, y, :). Si le point M appartient à une surface (S)r

:=:z)(x, y), et si p et q désignent les dérivées y-, ^, l'équation (4) exprime que le

vecteur F, qui a .M pour origine, est tangent à la surface (S); car/), g. — 1 sont les coeflicient* de direction de la normale à (S) en M (n" 273^ de sorte que l'équation (4)

e.xprime que F est perpendiculaire à cette normale.

l)onc, pour qu'une surface (S) soit une surface intéiirale de (4), il faut el il suffi qu'elle soil tawjenle, en chacun de ses points, au vecteur du cliamp qui a ce point pour origine.

Par analogie avec les lignes de forces, tangentes au vecteur du champ en chacun de leurs points, on peut dire que les surfaces qui satisfont à cette condition de contact avec le vecteur du champ sont les surfaces de forces du champ. L'énoncé précédent devient ainsi :

Les surfaces intégrales de l'équation (4) sont les surfaces de forces du cliamp (A, B, C). Tout revient donc à trouver ces surfaces d^ forces : leur construction résulte du théorème suivant :

Théokkmk. — Les surfaces de forces sont engendrées par les lignes de forces - .

1" Toute surface (S) engendrée par des lignes de forces est une surface de forces. ' En elTet, par chaque point .M de la surface (S) passe, par hypothèse, une ligne de force U.MV ; celle ligne étant, par définition, tangente en M au vecteur F, ce vecteur F est dans le plan tangent à (S) en M (définition du plan langent). Donc le plan langent à (S), en chacun de ses points, contient le vecteur du champ correspondant : c'est dire que (S) est surface de forces.

2° Réciproquement, si une surface (S) est surface de forces, chacun de ses points M est l'origine d'un vecleur F tangent à la surface: et il existe, par suite, une famille

(1) Dans une étude rigoureuse des éciuations aux dérivées |iarlielles, il y aurait lieu de préciser les coiidit,ions que cet énoncé suppose implicitement remplies, pour l'équation, et pour la courhe.

(2) Parmi ces surfaces de forces, on considère souvent, en physique, des tubes de forces, engendrés par les lignes de forces qui rencontrent une courhe fermée.

KylATIONS AIX IJi:iUVi;i£S l'AiniKLLLS