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de courbes LMV, tracées sur la surface, et langeules en cliucua de leurs points au

vecleur F correspondant a ce point. Ces courbes étant, par conséquent, des lignes

de forces, la surface est bien engendrée par des lignes de forces, ce qu'il fallail mon Irer.

Pour niellre hors de doute l'existence de ces courbes L'.MV, tangentes aux vecteurs F considérés, on peut pr.ijeter ces vecteurs sur un plan \V) (|U('lcou((ue ;

leurs proji'clions /" constituent, dans ce plan, un ctiauip de vecteurs, et les lignes de forces mw de ce champ |ieuvent être considérées comme les projections de certaines courbes UM\', tracées sur la surface (S,). Je dis que ces courbes sont précisément des lignes de forces du

champ des vecteurs F.

Soit, en effet, M un point d'une de ces courbes, m sa projection, et F et / les

— > vecteurs associés respectivement à ces points M et m. Le vecteur F étant dans le

plan langent à (S) en M, et ayant pour projection /, est sur l'intersection du [>lan tangent et du plan projetant Mm/. Mais puisque la courbe UMV a pour projection

— > «mt', et que la tangente en m à celle-ci est la droite qui porte /, la tangente en .M

à l'.MV se trouve dans le plan Mm/; car la tangente à UMV doit avoir pour projection la tangente à umv. La tangente à UMV étant aussi dans le plan tangent à (S) en M, est donc la droite d'intersection de ce plan langent et du plan Mm/. Or nous

avons vu que cette droite porte le vecteur F : celui-ci est donc bien tangent à la courbe UMV; c'est ce qu'il fallait mettre en évidence.

Conséquence. — Si on se donne une courbe AB, (voir la première figure i, on obtiendra une surface de forces passant par celte courbe en menant, par chaque point U de .VB, la ligne de forces qui passe en ce point. Les lignes de foi'ces UMV ainsi définies engendreront la surface (S) demandée.

Il est visible que, réciproquement, toute surface de forces (S') passant par celle courbe .\B se confond avec la surface (S) que nous venons de construire, puisque par chaque point U de .\B doit passer une des lignes de forces engendrant (S'), et qu'il n'y a qu'une ligne de forces passant par un point donné de l'espace.

Nous avons montré ainsi que, pour Véquatlon (4), il existe une surface intégrale et une s;ule passant par une courbe, arbitrairement donnée.