Méthode d'intégration
On sait (n° 335) que les lignes de forces du champ (A, B, C) sont les courbes intégrales du système
dx dy __ dz
Les équations générales de ces courbes intégrales, que Ion appelle les courbes carnctéristi'fues de l'équation aux dérivées partielles Ap -{- Bq — C = 0, dépendent de deux constantes arbitraires Cj, c^. Nous supposerons (jue ces équations y = 3(j;; c,, Cji, r = •i/(j-| ; c,, c^),
254 ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES l'AHTlKLLKS
aieul été résolues par rapport à ces constantes, c'esl-à-dire que nous prendrons (es éi{uations (jénéralcs des lignes de forces (ou caractéristiques) sous la forme
(6) u(x, y, r)=c,, y(x, y, ::) = Cj,
où figurent deux intégrales premières u et u (n" 337) du système (5). Dans ces conditions, Véquation générale des surfaces de forces (ou surfaces intégrales) est
(7) v{x, y, z) = <f{u{x, y, r)), ç(u) étant une fonction arbitraire de u.
Voici la démonstration de ce théorème.
1° Toute surface (S) dont l'équation est de la forme (7) est engendrée par des lignes de forces. Soit, en effet, {xq, Jq, zq) un point de celte surface (S) ; posons Cl = u(xo, Vq, -q), et considérons la ligne de forces
(8) u{x, y, z) = ci, v(x, y, z) = i(ci).
Elle passe par le point (xq, yo, Zo)i car on a, d'après la valeur de q, u(x0, y^, r„) = c, ; et, d'autre part, en vertu de l'équation (7), vérifiée par le point (xg, y^, Zq) on a "{•To, J'o. -o) = ?("(>ï^o. Jo' ^o)) = ?(ci); de sorte que les équations (8) sont vérifiées par j- = xo, ^- = ^0, 2 = ^0-
De plus, toute la courbe (8) est sur la surface (S); car l'équation (7) est une conséquence des équations (8) (obtenue en portant dans la seconde la valeur de c, tirée de la première); de sorte que si les coordonnées d'un point vérifient les équations (8), pour une valeur quelconque de c,, elles vérifient l'équation (7).
Donc, par tout point de (S) passe une ligne de forces, située tout entière sur (S) : c'est dire que (S) est bien engendrée par des lignes de forces.
2° Toute surface engendrée par des lignes de forces a une équation de la forme (7). Soit, en eiïet, (ïi) une telle surface : c'est le lieu des courbes (G), qui passent par les divers points x=f(t), y=:g{t), 2^h(t) d'une courbe directrice. Or, la condition pour que la courbe (G) passe par le point x=f(t), y=^g(t), :z=h(t), est que c, et c^ aient les valeurs
q = "{/«), 9it), h{t)), c, = u(/(0, g(t), h{t)), qui sont des fonctions déterminées, Ci = yi('), C9 = '{9(t), du paramètre t. La surface (H) est donc le lieu des courbes,
En raisonnant comme on l'a fait*au numéro 235 (t. I, p. 360), on verrait que l'équation de ce lieu s'obtient en éliminant le paramètre t entre les équations générales (9) des génératrices. Si, pour cela, on tire t de la première pour le porter dans la seconde, on aura pour la valeur de t une expression de la forme t^ b(u), et on obtiendra le résultat de l'élimination de t sous la forme u=yj(0(u)), c'est-àdire sous la forme v = -£{u). L'équation de la surface (i^) considérée est donc bien de la forme v = ç (u).
Exemple 1. ap-\- bq — c = 0, (a, b, c étant des constantes). Le système différentiel des lignes de forces est
-— = -T- ^ — , ou ady — bdx = 0, adz — cdx = 0 ;
abc '' '
l'intégrale générale est donc (lignes de forces)
[' ] ay — 6a; = Cj, az — ccc = Cj,
et l'équation générale des surfaces intégrales est
[2] az — ex = ^(ay — 6x).
Les caractériùliques [1] sont les droites parallèles à la direction ï = ^= -; l'équation [2], étant l'équation générale des surfaces engendrées par de telles droites, est
EQUATIONS ALX DKIUVKI.S l'A UTIKLLES 255
l'équation générale des cylindres parallèles à la direction {a, h, c). Gotntnu champ de forces, le champ est un champ constniit iiuelc(»nquc.
Exemple 2. px -]- ny -- c =: 0.
Le système dilTérentiel des courbes caractéristiques est
dx dy rf£ ,
et l'intégration donne
iog I y I = log I X 1+ log I c, I , log 1 z ; = log I X I + log I Cî i , ou
Les surfaces intégrales ont pour équation générale
Les caractéristiques [IJ étant les droites qui passent à l'origine, les surfaces [2], engendrées par de telles droites, sont les cônes qui ont leur sommet à l'origine des coordonnées.
Exemple 3. py — (/x = 0.
Le système dilTérentiel des caractéristiques est
^ = —^ = -7?, ou xdx -{- ydy ^=0, dz = 0;
dont l'intégrale générale est [1] x2 + y2 = ci, z = c,.
Les surfaces intégrales sont donc
Les caractéristiques fl] étant les cercles qui ont pour axe commun l'axe des z, les surfaces [2], engendrées par ces cercles, sont les surfaces de révolution autour de Vaxe des r.
406. Équation des cordes vibrantes. — Une corde élastique tendue entre deux points tixes 0 et A, étant écartée de cette position rectiligne OA, et abandonnée à elle-même ", se met à vibrer. Elle atTecte, à chaque instant t, la forme d'une courbe (C). Admettons que la vibration ait lieu dans un plan :0j^, passant par OA; et prenons OA pour axe des x. Pour chaque valeur de /, la courbe (G) a une équation de la forme ; = F(a:.'); et la famille des courbes (C), qui correspondent aux diverses valeurs de t, a une équation de la forme z=:f{x, t). En d'autres termes, le : d'un point courant de la courbe est une fonction z = f{x, t) des deux variables x et /. On démontre qu'elle satisfait à l'équation aux dérivées partielles (*', dite des cordes vibrantes,
(i) Ses divers points peuvent avoir regu des vitesses initiales, comme cela se produit pour une corde Je violon, sous l'action d'un archet.
(2) Dans le cas plus général où la courbe (C) est gauche, l'équation (10) a lieu pour la projection de cette courbe sur un plan quelconque passant par Ox. Dans tous les cas, on suppose l'action de la pesanteur négligeable, par rapport à l'effet de la tension de la corde.
256 EQr.VTlO.NS ai X DKIUVKKS l'AIlTIELLKS
où a est une constanle qui dépend île hi i-urde.
Pour que le mouvcmeul soil bien détiiii, il faut se donner les condi-
lions initiales de ce mouvement, qui sont : 1° la forme (Cq) de la corde,
à l'instant t = 0; c'est-à-dire la fonction F{x) à laquelle se réduit la
l\)iiclion z = f'{.r.l) cherchée, pour < = (); 2° la vitesse initiale " des
divers points M de la courbe (C), sur leurs ordonnées respectives,
c'est-à-dire la fonction V(.r) à laquelle se réduil, pour / = 0, la dérivée
^f(x t) ' ^ ' de la fonclion z = f{x, f) cherchée.
Il faudra tenir compte, de plus, des conditions aux liinilcs, qui consistent en ce que les extiémités de la corde sont fixes. Si donc on pose OA = l, on devra avoir : := 0, quel que soit t, pour .r = 0 et pour x= I.
En 7'ésiané, nous aoons à trouver une fonclion z de x et de t qui soit solution de l'équation {iO), cl satisfasse aux conditions complémentaires suivantes :
(11) conditions initiales :
z = V{x), ^^^ = \ix), pour /=0;
les fonctions F(j') et \{x) étant des fondions données.
(12) conditions aux limites :
; = 0, pour .2- = 0 et pour x = l, quel que soit <; Intégration de V équation (10). — On ramène l'équalion (10) à la forme 5 = 0, du numéro 404, en faisant le changement de variables indépendantes
(13) u = a;4-flf, v=^x — al.
On tire, en effet, de ces équations (13)
Toute fonction c = /(.r, /) devient, par ce changement de variables, une fonction de u, v\
qui reprendrait inversement son expression première en x et <, si on y remplaçait u et u par leurs expressions (13). On a donc, pour cette fonction, par application du théorème des fonctions composées,
(1) Il s'agit ici de mouvement de points gcomotriques et non des points matériels de la corde: à moins ({u'ou admetti-, comme on le fait généralement, que ces derniers vibrent tous sur dos perpendiculaires à OA.
EOLATIONS AUX UKItlVEES i'AHTIELLKS 21)7
(n° 17()), et en écrivant simpleincnt '■*, '", ... uour les dcrivcos partielles de z=:g{u, v),
Ces formules sont vraies pour toute fonction :; elles expriment l'équivalence des opérateurs di/férenliels qui y interviennent,
? z Nous aurons donc, en appliquant la première à -^, et la seconde
^ ' :^x^ ?x\?x) :^u\:^xj :^v\?x)
?u\?u ?vj ?v\?u ?v/
En portant ces valeurs (14) et (15) dans l'équation (10), les termes
€n —, et '-^, se détruisent, et il reste
2^2 j:l — 2a2 -^-^ , ou —U-^^^ = 0.
L'équation à intégrer est donc devenue
dont l'intégrale générale est (n° 404), avec deux fonctions arbitraires,
En revenant aux variables x et /, au moyen des formules (13) du changement de variables, on obtient l'intégrale générale de l'équation (10),
(16) z = -^{x-i-at)-h'l{x — at).
M.VTH. GtNÉBALES. — II. • '
258 EQUATIONS AUX DKRIVEES PARTIELLES
Détermination des fonctions aj'bitraires o et l. — En verlu des conditions initiales (11), la fonction ,16), et sa dérivée
' " = a-^'(x ~\-al) — a-l'{x — at),
doivent se réduire respectivement à F(t) et V(j), pour t^O. Cela donne, pour déterminer o et •}, les équations
(17) o(x)-h.i(a-) = F(x), ao'{x) — a'y{x)z=\{x).
La seconde s'écrit, en désignant par G{x) une primitive quelconque
de- V(,r),
d'oii, en intégrant,
(18) o{x) — l{x) = G{x)-\-c, (c = constante). On tire alors de (17) et (18)
(19) o{x) = ^[F{x)-i-G{x)-i-c]. ,j^{x) = ~[F{x)-G{x)-c -, d'où, pour :. la formule
(20) : = |[F(x -i- flO H- G(a- -+- at)] -h^[¥{x — at) — G{x — al]].
Il sera plus commode, pour la suite, de garder les formules (16) et (19); comme, de plus, la constante arbitraire c a disparu du résultat (20), on peut faire c = 0 dans les formules (19); et il reste, en résumé,
(16) z = ^{x-^at)-^-i{x — at),
avec
G(x)= f\{T)dx.
C'iilisalion des conditions aux limites. — Les fonctions F(x) et V(x). se rapportant à l'étal initial de la corde, ne sont définies que dans l'intervalle (0, /) : il en est donc de même pour les fonctions z,{x) el •l(x) données par les formules (21). Or, dans la formule (16), t doit pouvoir prendre toutes les valeurs positives; de sorte que o(m) doit être défini pour toutes les valeurs u = x-\-at supérieures à zéro, et 'l{v) pour toutes les valeurs u = x — at inférieures à /. Nous pouvons même nous placer à un point de vue un peu plus général, en admettant que la vibration de la corde a pu commencer à un instant antérieur à l'instant initial t = 0. pour lequel nous supposons connue l'état de la
EQUATIONS AIX DKHIVKES PARTIELLES 259
corde; c'esl-à-dire en considérant le inouvemenl comme pouvant avoir lieu de / = — se ù l=:-\- oc; et cherchant, t'n conséquence, à délinir les fonctions ç. et 'l pour toutes les valeurs de leur argument, en les supposant connues seulement dans l'intervalle (0, /).
Cela est possihie. en vertu des conditions aux limites (12), qui donnent, quand on y remplace : par son expression (10),
Si nous posons at=z/r dans la première, et at =: l -^ w dans la seconde, elles s'écrivent
(23) =,(?<;)-+-•]/(— //•) = 0. -^{'^l-hw]-i--l{—ir) = 0.
et on en conclut z>iw-\-2l)^ z,(w}: de sorte que o est une fonction périodique, de période 2/.
La fonction -;.(?/•) sera donc connue, en vertu de celte périodicité, pour toute valeur de w, si elle est connue dans un intervalle d'amplitude 2/. Or elle est déjà définie pour 0^«'^/, par la première formule (21); et la première équation (^3i. ^(^r) = — 1/ — ir) donnera les valeurs de ^ pour — ^^2/^^0, car le second membre est connu, par la seconde formule (21), pour 0^ — "'^/, c'est-à-dire — /^"'^O. Ainsi -^(x) est entièrement définie par les formules :
l-^(x) = ^,lF{x)-hG{x)] pour 0<x<^
(-■^' ''.o{x) = ~[G{-x) — Fi-x)] pour /<a'<0,
La première formule (23) suffit alors à définir ■i>{ir)=z — 'i( — ?r), pour toute valeur de w; c'est aussi une fonction périodique, de période 2/, puisqu'on tire de là. en tenant compte de la périodicité de -y,
■l{w + 2/) = — o (— ic — 2/) = — -j{— iv) = -l (,r).
On peut dire, par suite, que -lix) est définie par les formules
-l{x) = ^/F{x) — Gix)] pour 0<a-</,
^"^^ ' ■i(x) = — ^y(—x)^G{—x)] pour — /<x<0,
Notons encore que z = -jix -{- at) ^ -lix — at), est, à cause de la riodicité de o et de -l, une fonction périodi quand ou y considère x comme une constante.
périodicité de o et de -l, une fonction périodique de /. de période —
260 KQIATIONS AIX DlMtlVKKS I'AUTIF.I.LKS
407. Représentation trigonométrique de la solution. — On peut inlerprt'lor los lornuiles [-I'd île la manière suivante. Convenons que F(a'). qui est donnée dans l'intervalle (0, /) sera détinie dans liutervalle ( — /. 0). par la condition d'être une fonction impaire,
et que Cï{x). donnée également dans l'intervalle (0, /), sera définie dans l'intervalle ( — 1,0) par la condition d'être une fonction paire. .\lor» les formules
(21) o(x)=:,^i:F(x)-hG(a:)l, 'l{x) = l[F(x} — G(x)l —l^x^l,
jointes à la condition de périodicité, o{x-h'il}=iz,(x),-l>{x-\--2l) = 'l>{x), équivaudront aux formules (24) et (25).
On mettra la périodicité en évidence en représentant F {x) et G [x) par des séries de Fourier (n" 3oi) ". La fonction impaire F{x) sera représentée par une série de sinus, donnée.
(26) F(j^) = v"A„sin/i^.
D'autre part, G{x), étant une fonction paire et de période 2/, sa
dérivée G'(x)^-\{x), qui est donnée, est une fonction impaire, et
de période 2/; car de
on tire
— G'{—x) = G'{x), G'ix-h'il) = G'(x).
Donc V(a) sera aussi représentée par une série de sinus, donnée,
(27) \{x} = ^^ B„s\nn'-^;
et G(x) étant Tune quelconque des fonctions primitives de — — . on
pourra prendre, en intégrant terme à terme le second membre,
(28) G(x) = — V'^-^cos»^,
ou
(29) G(a:^) = — ^*C„cosn^,
en posant
(1) On suppose (jue ces fdnclions satisfont aux conditions énoncées pape 14-3.
ÉQUATIONS AUX DÉUIVÉKS F'AHTir.LLES 261
En portant ces développements dans l'expression de :,
z = o{x-hat)-h'l{x — rit) = ^[F(ar -h at) H- F(x — at)]
-^'^^[G{x-hat) — G(x — at)l
on a, pour les termes généraux des deux crochets :
1 . r • />i-x nT.al\ . . fnr.x UTiat^i ^^A,.|s.n(^-^ + -^j+sm(^^^ r)\
. . nr.x n-at = A„ sin—^ ces — j-,
1^ r /nr.x )n:al\ { mtx nr.atW -2C,.[cos(^ — + -^j-cos^-^^ —)\
. nr.x . mzat = C„ sin— y— sin — -. —
El il vient, pour :, la formule cherchée (31, - = 2i sm — V- I A„ cos -7 h C„ sm — -. — y
où C„ a la valeur (30).
I/nrmonitjues. — Ce développement conduit à considérer la vibration de la corde comme la résultante des vibrations simples qui correspondent aux divers termes du développement, c'est-à-dire de la vibration fondamentale
(32) :.,^sin^( AjCOS^^-hC^ sin-p I .
et de ses harmoniques successives
,oov • nr.xf , n-nt „ . n~at {66) :„ = sin— ^ A„ cos — -, h C„ sin
Dans la vibration (32). la corde a constamment la forme d'un arc
de sinusoïde, :, ^ M,(/). sin^ , qui ne
coupe (>A qu'aux points 0 et A, dont les
abscisses sont les seules racines de —^ '"^ ' ^
