TT X

sin^ = 0. dans l'intervalle (0, /). Chacun des points de cet arc vibre,

le long de son ordonnée, d'un mouvement vibratoire simple, de

... 2/ période — .

Dans le premier harmonique [équation (33), /j=2j, la forme delà

262 F.QIATIONS AUX DERIVEES l'ARTiri-LES

corde est celle d'un arc de sinusoïde 2^ = M^(/) sin^^. qui coupe OA

en 0 et A et au milieu do OA; car

-)-x les racines de sin^^— = 0 sont a:- = 0.

.r = ^j, x^l. Chaque point de cet arc

vibre, le long de son ordonnée, d'un mouvemcnl vibratoire simple, de

période ^ = -.

Dans le (n — i)'è<iio harmonique, on aura de même » -h 1 )ia'nds de

vibration (points fixes sur OA), et un mouvemcnl vibratoire simple.

de période ■^. Les périodes, pour la vibration fondamentale et ses )ia * ^

harmoniques successives, sont donc proportionnelles aux nombres

7, TT, - De là le nom donné à la série harmonique.

Quant à l'amplitude de la vibration, aux ventres, points pour lesquels

HTtX

sin— ^ = 1, elle est égale à 2\Af, -f-C^ ". Or on démontre que les

coefficients a,„ 6„ d'une série de Fourier {n° 354) sont inférieurs

en module à — . K étant un nombre positif fixe -. Donc l'amplitude n '^

p du n"'"'' harmonique est inférieure à t, P étant un nombre positif

fixe; et son influence sur la vibration résultante s'atténue de plus en plus, lorsque n augmente.

408. Méthode de Bernoulli. — La formule (31) a été obtenue d'abord, par Bernoulli. en partant de la considération des harmoniques, fournie par l'étude physique du phénomène. On vérifie immédiatement que toute fonction qui a l'une des deux formes

. n-x . )}~nt . nr.x nr.at

z =1 sin , sin — - — , z = sin — -. — cos — .- ,

est une ii^tégrale particulière de l'équation (10), s'annulant aux doux extrémités de la corde.

(1) Pour retrouver ce résultat, on peut poser A,. = Rn costi)». Ci = R» sin t.)»; on a R^ = A,î -f C,;, et r„ = R,, sin— p- eosi — -. oj» 1; elil est visible que le maximum

de i Zn I est R,i.

(2) Ceci s'applique aux fonctions usuelles, qui satisfont aux conditions énoncées page 143.