ÉQUATIONS AIX DÉRIVÉES PARTIELLES

La forme linéaire de celle équation (10 permet de montrer, d autre part, comme nous l'avons fait pour l'équation linéaire homogène ordinaire du second ordre ^n' 3i9(. qu'on obtient des intégrales nouvelles, soit en multipliant par des constantes arbitraires des intégrales connues, soit en ajoutant des intégrales connues. On en conclut dabord lexistence des inîégrales de la forme (32i et (33). qui correspondent à la vibration fondamentale et à ses harmoniques; et si on admet que toute vibration résulte de la superposition dune vibration fondamentale et d'harmoniques successifs, dont l'intensité s'allénue de plus en plus, on est conduit à penser qu'une série de la forme (3i) pourra représenter le phénomène, dans le cas le plus général.

On le vérifie en constatant que, pour / = 0, la formule (31) donne, • en admettant qu'un puisse la différentier terme à terme).

z = Z A,sin-^— , - = v__c,sin— p.

On peut choisir, en effet, les coefficients de ces deux séries, d'après la théorie des séries de Fourier. de manière qu'elles représentent respectivement les fonctions données F ^x) et V(x), dans linlervalle (0. Il, et les fonctions — F — x), — V( — x), dans l'intervalle ( — /, 0). 11 resterait encore à prouver qu'il n'y a pas de mouvement vibratoire, correspondant aux conditions initiales données, autre que celui qui se trouve ainsi défini ' .

■409. Propagation de la chaleur dans un milieu homogèue-

Soil YiJ. r. -; t\ la température au point (jt, v. c) d'un milieu horaocène. à Tinstant t. Nous supposons qu'elle ne varie que du fait de la conductibilité du milieu, dont certaines parties peuvent, de plus, être portées à'des températures déterminées, variables ou non. On démontre que. dans toute parlie du milieu où il n"y a pas de source de chaleur, cette fonction V satisfait à l'équation aux dérivées partielles ^

:»Y ."^^v ^âv >*v

<S4) ^=.:AV, où A\'=;^ + 3^ + V7ï-

Nous nous bornerons au cas où les surfaces isothermes, (lieux des points de même température, à un même instant', sont constamment des plans par.'iUèles à un même plan fixe. En supposant que cette direction de plans est celle du plan des j. r. ia fonction V sera une fonction de ; et de / seulemeut. et l'équation à intégrer sera

<1 TvUi ceci e>l une mt-Uicuif liinveniiou. liont ies conclusions devateiu oire contrôlées par une méthode plus rigoureuse. On y voit un exemple de la manière dont les séries de Fourier se sont iuUoduiles en analyse.

(■- Cette équation se présente dans la théorie de la condaetihilité élfctriqxif, comme dans celle de la conductibnn^ rfl/;.ri^.^uc. dont il s'agit ici.

264 ÉQUATIONS AIX DÉIUVÉES l'ARTIF.LLKS

Nous supposons le milieu illimite dans tous les sens, et abandonne a la seule action de la conductibilité, après avoir été porté à une température déterminée, variable d'un niveau .- = constante h un autre. En d'autres termes, l'intégrale V(.-. t), qu'il s'afrit de trouver, doit se réduire, pour ( = 0, à une fonction F(.-) donnée. Il est, du reste, évident, par raison de symétrie, que, le milieu étant soustrait à toute action extérieure, les surfaces isothermes resteront elTeclivement les plans .- = constante, si ce sont ces plans à l'instant 1=^0.

Inlrijralion par une série. — En dilTerentianl par rapport à / l'équation (:}5), on obtient

^11 V vi+i V ^î , >-i V

Si on fait / = 0, on a, par hypothèse, V= F(c), et l'éiiualion ('-io) donne

La première des équations (36) donne alors (^-3-^ = 0 — ^',., "; d'où, en tenant

compte de la valeur trouvée pour ( ^7 ) <

(•|iïl=-'^^^--^"<->-

La seconde é([uatioa (36) donnera ensuite, par un calcul analogue,

et ainsi de suite. On aura, en général, ( r-r^r j = a"F -"(;).

Si donc on admet que la série de .Mac Laurin soit applicable à la fonction V, considérée comme fonction de t. il viendra, pour celte fonction V cherchée,

Solution par une intégrale définie à limiies infinies. — Poisson a donné, pour représenter la solution du problème considéré, la formule

(38j V = -^ ^ F[:-\-2u\at}e-"'du.

Nous allons vérifier qu'elle satisfait, en effet, au.x conditions du problème, si on suppose que F(^), F'(;), F"(;) soient bornées en module, de — oc à + =c- Cette condition étant remplie, l'intégrale V est régulièrement convergente.

['■ Pour 1 = 0, la fonction (38) se réduit ù F{:}. — Car, en y faisant /=0, elle devient

J= r'Fi:)e-u^du = m r%-'--du = 'i^.,^. = Fi.).

\ Tî i/-x \- J-x \~

l'HOMAïui-iTK UKs i:iîiu:i US 205

Kn l'tlet, riiili'prale délliiio / e "'du est Taire toUile de In courbe en cloche,

c'est-à-dire le double de l'intégrale / e-"'(/u, r[ui est égale à \^ ■

2° La fonction (38) satisfait à Céquation aux dérivées partielles (35). Les dérivées de

celte fonction s'ublieiincnt en dilTcrcnliant sous le signe / ; car cette dilTérentiation

donne encore des intégrales régulièrement convergentes. Calculons donc le^ dérivées correspondantes de F(r + 2uy'a<), en posant, pour abréger l'écriture,

: -\-2u\at =^ ui.

Il vient

.iFCw) u\a y^YJM) p,„, .

:>t \t ?:^- D'où

:•?(<,>) tV2F{»û) \a. „,, ^ — „„. ,,

— !— i — a- —'■ :=^[uF'|t.)) — \atF"{ui)].

On aura donc, pour la fonction (38),

V = ^ / e~»'F(M)du,

'IY a'^ = -^ r^*e-'"[HF'(a)) — V"tF"(u)]c/(i.

L'équalion à vérifier étant ^ "'^TP ~^' ^^"^ revient a prouver que cette dernière intégrale est nulle. Or la fonction sous le signe 1 est ici, au facteur (— 2) près, ^[e-'<=F'(w)] = — 2ue-'<=F'(<o) -f e-"'.2y,âi¥"{o)),

de sorte que cette intégrale est

e-"'F'((o) , avec w = c-l-2u\at;