JU-—X

et ce résultat est bien nul, puisque nous supposons F'((i)) borné en module pour toutes les valeurs de w. La vérification est donc achevée.

§ 3. — NOTIONS SUR I.A IMIOB.VBILITÉ DES ERREURS

410. La méthode des moindres carrés. — H arrive fréquemment, dans la pratique des sciences expérimentales, que, pour déterminer des inconnues, on recommence un certain nombre de fois la série de mesures qui doit en fournir la valeur. Chaque série de mesures donne alors, directement ou non, un système de valeurs des inconnues, et il s'agit d'en conclure le système de valeurs le 2^^ws probable pour ces inconnues.

Il est sous-entendu que chacune des séries de mesures a été faite avec toute la précision que comporte la méthode employée, et que

266 PROBABILITE DES ERREIRS

celle mélhode exclut toute erreur systématique. L'exactitude plus ou moins grande des résultats des diverses séries de mesures apparaît ai«irs comme un elVel du hasard, ou, comme Ton dit, ces résultats ne sont entachés que d'erreurs accidentelles; de telle sorte que rien né permet a priori de préférer les uns aux autres.

On est ainsi conduit à demander au calcul des probabilités une rèijle pratique pour combiner entre eux les résultats des diverses séries de mesure en question.

La règle pratique généralement acceptée consiste à choisir les valeurs des inconnues, de manière que la somnœ des caiTés des erreurs soit minima. Les erreurs sont ici les différences entre les valeurs qui seront adoptées pour les inconnues, ou pour les grandeurs qu'elles servent à calculer, et les résultats correspondants donnés par les diverses séries de mesures.

C'est ce qu'on appelle appliquer la méthode des moindres carrés.

Les exemples suivants permettront de se rendre compte de la signiiication précise de la règle précédente.

Exemple I . — H y a une seule inconnue x : on l'a mesurée n fois et on a trouvé, pour cette inconnue, les valeurs Op a^, . . . , a„. On choisira donc X par la condition que la somme

?>={x — rt,)2 -\-(x — a,)- -h ... -h {x — a,,)-

soit minima. Égalons, à cet effet, la dérivée de cette somme à zéro. Cela donne, pour x, l'équation unique

d'où "

a, -hfl., -h . . . -h^„

, La règle conduit donc ici à prendre la moyenne arithmétique des résultats des mesures; ce qui est d'usage courant.

Exemple 2 . — On a, par des mesures géodésiques, mesuré n fois les trois angles d'un Irian/jle. Quelles valeurs adoptera-t-on pour ces angles'.'

Soient x, v, z les valeurs inconnues des trois angles; et a,, b^, c,; a.,, b^, o^; ... ; rtii, 6)1, cn les divers systèmes de valeurs mesurées. Nous admettons que les trois angles soient mesurés avec le même degré de précision; et nous écrirons que la somme

(1) Il resterait à vérifier que celte valeur donne bien un minimum. Nous supprimons, pour abréger, cette vérification; et de même dans les exemples suivants.

l'HOHAHiLiTi: i)i:s r.itiiKius 267

■est iiiininia. Mais il faut It'iiir l'oniple i<i du ce (|U(' l'on doit avoir, i-nlre les angles X, y, : d'un triangle, la rclalion

tandis ([ue, pour les mesures elTecluées, on n'a pas, en général, a^ + ''/, "h '"/.^^ '^• Vu devra donc cliercher les valeurs x, y, .- (pii satisfont à (2), et rendent la somme S jninima.

Ou pourrait tirer ; de (2) et porter dans S, qui ne dépendrait plus (|ue des variables x el y; et on égalerait à zéro la dilTérenlielle totale de S. Le résultat devrait être nul, quels que soient dx el dy (n" 270). Nous ferons le calcul, sans elTectuer explicitement la sulislilulion à j de sa valeur t: — (x -f y) : il nous su fil ra d'égaler à zéro la diiïérenlielle totale de S, et d'y remplacer d: par sa valeur, olilenue en dilTérentiant les deux membres de (2). Il vient ainsi

ï (.7- — (iiUix + ï; (y — b,)dy + '!£.{: — c^)d: = 0, avec

de + (/y 4- de = 0.

On devra donc avoir, ideiili(iuemenl en dx, dy,

i; (.c -a^)dx + ^(y- 6, ) c/y - v . ; - cj {dx + dy) = 0,

ce qui donne

V (X - uj^) - V ( - Cl) = 0, S (y - b^) - i: (c - Cl) = 0, ou

(3) V (j, fl^) ^ V (^ l^y^ V ( - £.p.

Ces deux équations, jointes à (2], vont fournir x, y, c. Elles s'écrivent nx — ^ ttj^ ^=ny — - bf. = HZ — i] c^ , ou

.T 2. a, =v Lo, =

On a donc, à cause de (2),

- vc, = 3(x + y + c) - 3-ï(a, + à, + c,).

Exemple 3. — LT'tude expérimenlale dune fonction y = f{x) a donné, pour des valeurs x^, x^, . . . , j:*,, de ar, les valeurs correspondantes (approchées) y^. y.,, ..., y,^ de y. Le graphique correspondant indique que les points x,, i/i), {x^, y„), . . ., (a?„, y„) sont, sensiblement, disposés en ligne droite: et l'on admet, par suite, que la loi du phénomène est une loi linéaire y =^ ax-h h. Quelles valeurs faut-il choisir pour les constantes a et ^'?

Pour un système de valeurs de o, h. les valeurs de y correspondant aux valeurs a-,, x,, . . . , x,, seraient

■r^^=ax^-J^ b, 'ri.,= ax,-h 0, r,,, = 007,, -h 6.

l'ROHAHILITl'; DES ERREURS

On choisira donc «, b de manière que la somme des carrés des différences entre ces valeurs ralculces, el les valeurs correspondantes viesurées,

S = (,'/, — r.^)' -h ((/. — rj- -f- . . . -f- (.V„ — ri„)\

soit minima. Celte somme s'écrit, du reste,

[1] ^ = (ij^ — nx^—b)--h{y., — ax, — /j)--{- ... -h {y„ — ax„ — ô)\

On devra égaler à zéro ses deux dérivées partielles, prises par rapport à a, et par rapport à // ; ce qui donne, pour calculer a et 0, les deux équations linéaires

bn =Z"?/A.

Rt'inai-que. — Le problème, inlerprélé géométriquement, revient à clienlicr une

droite qui s'éloigne le moins possible des divers points du graphique considéré. La

g somme des carrés des distances de ces points à la droite y — ax — 6 = 0 est ^ , ^^ •

Il serait naturel, à ce point de vue, de chercher à rendre minima cette expression; mai< on obtiendrait ainsi des éciuations diiïérenles des équations [2' et non linéaires, à savoir

('+''')-2ya-°^ =

Ceci montre que l'application de la méthode des moindres carrés peut se faire, souvent, de diverses marjières, qui conduisent à des valeurs différentes pour les inconnues. On observera cependant dans le cas actuel, (|ue si, comme on doit le supposer, les écarts (y^ — aXj, — b) sont faibles, leurs carrés pourront être considérés comme négligeables, par rapport aux écarts eux-mêmes, et le terme en S pourra être négligé dans les équations [3], (jui se réduiront pratiquement ainsi aux équations [2].

Exemple 4. — L'exemple précédent est un cas particulier du suivant. On a choisi pour représenter la loi d'un phénomène physique, cest-à-dire pour détinir une certaine fonction y d'une variable indépendante X, une formule ?/ = /'(ar, o, b), de forme déterminée (linéaire, quadratique, exponentielle, etc.), mais dans l'expression de laquelle figurent des constantes arbitraires o, A, ..., deux, par exemple. On demande de choisir les valeurs de ces coinlantes physiques a, b, de manière que la formule rende compte, le mieux possible, d'un ensemble d'expériences.

Dans ces expériences, on a trouvé, pour des valeurs a;,, x.^, . . . . x„ de T. des valeurs correspondantes ?/,, y.-,. . . ., //„ pour y. Si a et b sont choisis, les valeurs calculées correspondantes seront

[l] r,^ = f(x^. a, b), r.^rzz f{x.^,n, b), . . ., ■r^„ = f{x„, a, b).

l'IlOFJAHILITK DES KIUIKLHS 269

€l il fauclra, si on adopte la règle des moindres. carrés, choisir (7, h de manière que la somme S = ^"(J/a — o.)', ou

[2] S = [iy, — /'(.i-,, rt, /^)]--+-[.v, — /U-,, a, />)>'-+- . . . -■ M„ — f{-r.,. a, b)]^

soit minima.

Ce soûl donc les équations =0. , =0, qui fourniront la solution.

Mais si a, b ne figurent pas linéairement dans la fonction /(.r, «, />), ces équations seront compliquées, et difficiles à résoudre. On ramène pratiquement la question au cas où la fonction /(r, a, b) est linéaire en a. h de la manière suivante. On détermine d'abord, par des tâtonnements, un système a„, b^ de valeurs de a, b. tel que les différences

soient de l'ordre de grandeur de l'approximation sur laquelle on peut compter dans les mesures qui ont fourni j/j. y,, .... y,^. On peut alors admettre que les valeurs à choisir pour a, h sont peu différentes de Qq. b^; et si on pose a = a^-\- z, b = bf,-^(;i, a et ^ seront petits, et on considérera leurs carrés comme négligeables. Les quantités [1] r,i, := f{xi^, a^-h a, b^-h Jï), développées par la formule de Taylor, où on ne gardera que les termes du premier degré en a, ^, deviendront :

: —fi-,.'' n h\ I Jf'^^>'^ ^0' ^o) I r.^f^^''^ "«^ ^o)

c'est-à-dire que ce seront des expressions linéaires en a, p

y;,. — C -i-aA;,4-ftB/,.

C'est avec elles que Ton formera la somme

dont on égalera h zéro les dérivées — . ^s^- On obtiendra ainsi les équations linéaires,

a S Af -h p 2 A/.B,, = X A ( »/;. — C/.),

a V A/.B, -f- fi i: b;: = S Ba (?/A — co,

d'où on tirera a et ,3; et. par suite, on aura ainsi les valeurs cherchées